CFD程序设计课件PPT模板

（Excellenthandouttrainingtemplate）CFD程序设计§1.1本书的范畴第一章引论传热和流体流动的重要性：几乎所有生产动力的方法都包含着流体流动和传热这样的基本过程。建筑物的取暖和空调炉子、热交换器、冷凝器以及反应器等暴风雨、洪水和着火认识和预测的必要性：对有关过程的预测可以帮助我们预报、甚至控制潜在的诸如洪水、涨潮以及着火的危险在所有这些情况中，预测提供了经济效益，并为人类造福。预测的本质：预测在给定的物理环境中的性能在于预先给出控制有关过程的各种有关变量的值。本书的目的：1.发展一种估计热与质传递，流体流动以及有关过程的通用性方法。2.尽可能设计一种具有完全通用性能的数值方法。§1.1预测的方法§1.2.l实验研究全比例实验数据可靠价钱昂贵，实现困难，不现实模型实验结果必须外推到全尺寸，外推规律很难得到并不总能模拟全比例设备各方面特征，例如燃烧、沸腾往往被忽略§1.2.2理论计算理论上的预测，是算出一个数学模型的结果，而不是一个实际物理模型的结果。为了建立数值方法求解问题的初步概念，参见下图1.1图1.1温度场数值解的网格布置已知这个区域的离散点上的温度值，求所示的区域内的温度场。只需构造和求解这些网格点上的温度值的代数方程即可。§1.2.3理论计算的优点1.成本低2.速度快3.资料完备和实验中的情况不同，在计算中几乎不存在难以接近的位置，并且，不存在由于测头引起的湍流扰动而产生的失真。4.具有模拟真实条件的能力5.具有模拟理想条件的能力§1.2.4理论计算的缺点实际问题分为两类：A类：能写出适当的数学描述的问题（如，热传导、层流流动、简单的湍流边界层）。B类：至今还不能给出适当的数学描述的问题（如，复杂的湍流流动、某些非牛顿流体流动、湍流燃烧中氧化氮的形成、某些两相流动等）。A类的缺点：1.如果需要预测的是一个很有限的目的，计算花费可能不比实验花费低。2.对几何形状复杂、非线性很强、流体的物性变化很灵敏等困难问题，数值解可能很难得到。3.当有的数学问题提供的解多于一个时，很难确定算得的解是否符合实际。B类的缺点：B类具有A类的所有缺点。此外，关于计算结果和实际符合的程度，还存在着不确定性。§1.2.5预测方法的选择1.实验是研究新的基本现象的唯一方法。2.通过和试验资料比较，充分确认计算结果是有益的，而且，使用计算作为辅助研究，实验的工作量可以显著的减少。3.一个最佳的预测结果，应该是计算和实验的审慎的组合。这两个组成部分的比例，依赖于问题的性质、预测的对象以及经济上的和其他方面的限制§1.3本书的概况本书由九章组成，它们可以按每三章一组，分成三个部分。一至三章：准备部分，包括关于数学和数值方法的初步讨论，概括了本书特有的哲理；四至六章：数值方法的主要发展；六至九章：说明和应用准备工作：第二章：开始数值解之前，必须用适当的微分方程描述物理现象，特别重要的是，从物理意义鉴定这些微分方程的抛物线型和椭圆型的性质。第三章：叙述了构造数值方法的一般步骤。阐述以四个基本规则形式 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示的普遍准则。这些规则为在本书其余各章中数值方法的发展提供了准绳，可指导我们得到较好的表示式，他们可能是一般的数学方法尚未提出的。数值方法的主要发展：第四章：处理了热传导，完成了许多处理流体流动所需要的背景材料；在这些章节中，是利用一维问题构造基本算法，然后很快的推广到多维情况。一维问题，是为了使代数的复杂性成为最小，以及集中注意力于重要的结果上。第六章：论及了速度场本身的计算。第五章：分析在流动场已知的情况下，对流和传导的互相作用，适用于流体流动的计算；说明和应用：第七章：综合了一些说明的要点和建议；第八章：论述了一些计算方法，可以看作是本书中讲解的一般方法的特殊情况。在8.4节中对基于控制容积的有限元法做了扼要的叙述，是一般方法的推广，而不是它的特殊情况。第九章：是为了给读者直接感受所述方法的可能的应用；§2.1.1微分方程的含义　　每个微分方程，都表达了一定的守恒原理。它们都使用了一定的物理量作为他的因变量，并且意味着在影响这个变量的各个因素之间必须处于平衡。这些微分方程的因变量，常常是“比”性质，即基于单位质量表示的一些量。例如，质量比数，比热焓等。　　假定J表示对典型的因变量φ影响的流量，考虑图2.1中所示的，大小为dx，dy，dz的控制容积。举例：　　Jx表示进入面积为dydz面的流量Jx+（　Jx/　x）dx表示离开与之相对的一面的流量。通过该面面积的净流出量是（　Jx/　x）dxdydz。单位容积的净流出量==divJ我们的数值方法，是通过对一个控制容积实现平衡来构造。（2.1）同时也考虑y和z方向上的贡献，并且注意到dxdydz是所论区域的容积。　　变化率　(ρφ)/　t。如果φ是一个“比”性质，ρ是密度，则ρφ表示了单位容积所包含的相应的“广延”性质的量。因而　(ρφ)/　t是单位容积内有关性质的变化率。　　一个微分方程就是这些项的汇总，每一项代表了对基于单位容积的影响，并且，所有项之和意味着一个平衡或守恒。基于单位容积表示一项的例子§2.1.2化学组分的守恒（2.2）　　设以m1表示化学组分的质量分数，在有速度场u存在的情况下，m1的守恒表达为（2.2）式中：　(ρ　)/　t，表示单位容积化学组分的质量变化率；ρu　是组分的对流量；　代表扩散流量，他一般是由　的梯度产生的。右端量　是单位容积化学组分的产生率，它的产生是由化学反应引起的。可以是正值、负值或零。（2.3）（2.4）若扩散流量　用费克扩散定律表示，可得：式中　是扩散系数。把方程(2.3)代入(2.2)得：§2.1.3能量方程　对于忽略粘性耗散的稳定低速流动，能量方程可以写成：（2.5）式中：h是比热焓，k是导热系数，T是温度，　是容积热源产生率。根据傅立叶热传导定律，div（kgradT）项代表了流体内热传导的影响。对于理想气体、固体和液体，我们可写出：CgradT=gradh式中C是定压比热。（2.5）（2.6）用式（2.6）代入式（2.5），能量方程变成：（2.7）如果C是常数，h～T的关系简化为：h=CT（2.8）就可得：（2.9）取速度u为零，就可得稳定的热传导的情况。（2.10）这样，热焓或温度都能取做因变量。CgradT=gradh§2.1.4动量方程　　对于牛顿流体，因为必须同时考虑切应力和正应力，在给定的方向上控制动量守恒的微分方程复杂的多。用u表示x方向上的速度，相应的动量方程为：（2.11）式中μ是粘度，p是压力，　是x方向上单位容积的体力，　表示除div(μgradu)以外的那些粘性项。（2.11）§2.1.5取时间平均的湍流流动方程　　湍流流动在实际应用常常遇到。有实际重要性的是流动的时间平均特性。所以，非稳定的层流流动方程，可以用平均运算，转化成以时间平均的湍流流动方程。在平均运算中，假定平均值附近存在着一个迅速和随机的波动。由这个运算产生的附加项就是所谓的雷诺应力、湍流扩散流量、热流量等。把这些流量项表达成流动的平均性质，就是湍流模型的任务。　　许多湍流模型使用了湍流粘度，或者湍流扩散系数的概念，来表达湍流应力和流量。其结果是，以时间平均的湍流流动方程，具有和层流流动方程相同的形式，但是粘度、扩散系数和导热系数等层流交换系数，要用有效的（即层流加上湍流）交换系数来替代。从计算的观点看，湍流流动是等价于层流流动的，但带有一个较为复杂的粘度描述。§2.1.6紊流动能方程　　现在普遍流行的紊流“双方程模型”，朗德与斯波尔丁把紊流脉动动能k的方程作为其中的两个方程之一，该方程可以写作：其中：　　是k的扩散系数；G是紊流能量的生成率；　　　ε是动能的耗散率；　　是方程中的净源项。（2.12）§2.1.7通用微分方程　　我们所感兴趣的所有的因变量似乎都服从一个通用的守恒原理。如果用　表示自变量，通用的微分方程就是：其中:　是扩散系数，S是源项。对于特定章义的　，具有特定的量　和S(实际上，我们直接采用符号　　及　　)。（2.13）　　上述微分方程的四项，分别是不稳态项、对流项、扩散项及源项。因变量可以代表各种不同的物理量，如：化学组分的质量分量、焓或温度、紊流动能或紊流的长度尺度．与此相应，对于这些变量中的每一个都必须给对应的扩散系数、以及源项赋以适当的意义．（2.13）　　不是所有的扩散流量密度都是受制于有关变量的梯度的。但是把作为扩散项的做法并没有把通用的　方程只限于那些以梯度驱动的扩散过程。凡是不能归入名义的扩散项的因子或项总是可以表示成源项的一部分；事实上，如果需要的话，我们甚至于可以把扩散系数取为0。　　出现在方程(2.13)中的密度，可以通过状态方程与温度和质量分量等变量相关联。这些变量与速度分量都服从通用微分方程。此外，流场还应当满足一个附加的约束条件，即质量守恒或连续性方程。即：(2.14)（2.13）　　微分方程(2.13)和连续性方程(2.14)的另一种有用的表达方式是直角坐标的张量形式：这里：下标j可以取值l、2、3，分别代表三个空间坐标。如果在一项内下标j重复出现，就意味着要取三项之和。(2.15)(2.16)　　用直角坐标张量形式表达的一个直接好处是：只要简单地把下标j抹掉，就可以由这种形式得到该方程的一维形式。例如：(2.17)(2.18)　　把任何特定的微分方程改写成通用形式(2.13)的过程，就是把有关变量的不稳态项、对流项及扩散项转换成共同的标准形式。于是，把扩散项内梯度　的系数取为对　的表达式；而把方程右端的其余各项之和定义为源项s．　　我们一直把变量当成有因次的量来考虑，但是，以无因次的变量进行研究往往更方便。再者，可以认为，任何一个用无因次变表示的微分方程，都具有通用形式（2.13），这时　代表无因次的因变量，而　和S分别代表扩散系数和源的无因次形式。许多情况下，　的无因次值可以简化为1，而S可以取值0或1．　　热质传递、流体流动、紊流各自的微分方程，都可以看成是通用的方程的一个特殊情况。我们关心的仅仅是方程(2.13)的数值解。在编制计算机程序时，也只需写出方程(2.13)的通用程序。因此，通用的　方程的概念，使我们能够列出一个通用数值方法的公式，并编制通用的计算机程序。§2.2坐标的性质§2.2.1自变量一般说来，因变量　是三个空间坐标与时间的函数：其中x，y，z以及t都是自变量。在数值求解过程中，我们将选择用来计算　值的自变量值．(2.19)　　方程(2.19)并不是唯一的形式。把稳态温度分布写成T(x，y，z)，我们可以用另外一种写法：(2.20)　这里z变为因变量，它代表在位置(x，y)处，相应于温度T的等温面的高度。　一种采用这种表达式的方法，已经由迪克斯和西切克及其合作者研究出来了，叫做等温迁移法。但是，这种方法只限于对坐标是单调函数的温度场。对于更为一般的温度场，一定的T，x和y，可能对应有几个高度z。这样，从计算的目的来看，z就不适合作为因变量了．等温迁移法　　并不是所有的问题，都要考虑所有四个自变量。所涉及的自变量数愈少，需要计算　值的位置(或网格结点)也愈少。变量选择：当有关的物理量只与一个空间坐标有关时，所研究的问题是一维的。与二个空间坐标有关是二维的，而与三个空间坐标有关者则是三维的维数：稳态：当所考虑的问题与时间无关时。非稳态：不是稳态的问题。稳态与非稳态：§2.2.2坐标的合适选择由于网格结点的数目一般都与自变量的数目有关，因而以较少的自变量进行研究可以大大节省计算时间．恰当明智地选择坐标系统有时可以减少所需要的自变量数目．任何一种描述空间位置的方式都是可以采用的．下面举例说明坐标的选择是怎样影响自变量的数目的．1．在一个静止的坐标系上看以恒定速度飞行的飞机周围的流体流动是不稳态的；但是相对于固定在飞机上的移动坐标系而言，流动则是稳态的．2.在一圆管内的轴对称流动于直角坐标系内是三维的，但是在r、θ、z的圆柱极坐标系内则是二维的，这是因为：与θ无关(2.21)3.坐标变换可能用来进一步减少自变量的数量，例如：a在一块平板上的二维层流边界层给出了速度仅与有关的相似性状态，其中:式中c是一个有因次的常数．结果二维的问题便简化为一维的问题了．(2.22)b在半无限固体内的不稳态导热问题具有x和t这样两个自变量．但是，对于某些简单的边界条件，可以把温度描写成只与有关，其中式中C代表一个适当的有因次常数．(2.23)4．改变因变量可能导致自变量数目的减少：a在一充分发展的通道流中，温度T与流动方向的坐标x以及横向坐标y有关．但是在具有均匀壁温Tw的热发展区．我们有：式中(2.24)是整体温度．它随x面变化．b．平面自由射流是一种二维流．但是，我们可以写成：式中(2.25)(2.26)这里代表中心线上的流速，y是横向坐标，δ是射流的特征宽度。和δ这两个变量都随流动方向的坐标x而变化。现在所讨论的太多数情况都将以x、y、z和t作为自变量，但所有的概念和方法同样也适用于在这里所提到过的变换的或是无因次的变量。为了提高计算机的效率．应当选择合适的坐标系统来进行数值计算．结论：§2.2.3单向与双向的坐标[定义]如果在一个坐标上的一个给定位置处的条件，要受该位置两侧条件变化的影响的话，那么这个坐标就是一个双向的坐标．如果在一个坐标上的一个给定位置处的条件，只受该位置一侧条件变化的影响，这样的坐标就是一个单向的坐标．[例]在一根圆棒内的一维稳态导热是一个双向坐标的例子．在棒内任意给定点的温度会受到两端温度变化的影响．通常，空间坐标是双向坐标．时间坐标则总是单向坐标，在一块固体的不稳态冷却期间，其某一给定瞬时的温度只能受在该瞬时以前所发生的那些条件变化的影响．如果在一个坐标方向上有很强的单向流动，那么各种重要的影响只能是从上游传播到下游．于是在某一点上的状态主要受其上游条件的影响，而受其下游条件的影响很小。空间坐标的单向特性是一种近似．对流是一种单向的过程，而扩散(总是存在的)则具有双向的效应．但是，当流量很大时，对流作用远远超过扩散作用，因而空间坐标就近乎是单向的了。空间作为单向坐标的情况：抛物型、椭圆型与双曲型通常用来进行微分方程分类的抛物型与椭圆型这两个数学术语相当于我们这里所用的计算方法上的概念——单向与双向坐标．抛物型这一术语表示一种单向的状态，而椭圆型则表示双向的概念。不稳态导热问题(通常称之为抛物型问题)实际上是时间坐标上的抛物型和空间坐标上的椭圆型问题．稳态导热问题则对所有的坐标都是椭圆型的。一个二维曲边界层，当以流动方向的坐标表示时是抛物型的，而当以横向的坐标表示时则是椭圆型的．至少存在一个单向坐标的状态是抛物型状态；不然的话，就是椭圆型状态。有的时候把具有一个单向坐标的流动称之为边界层型的流动，而全部都是双向坐标的流动就称之为回流流动。提示：双曲状态不能准确归入计算方法上的分类．双曲型问题具有一种单向的特性，但是这种单向的特性并不是沿着坐标的方向，而是沿着一些称之为特征线的特殊线的方向。双曲型计算方法上的含义关于单向和双向坐标讨论的动机在于：如果可以用一个单向的坐标来规定一个给定的状态，那么就有可能大大节省计算机的存储量与时间．不稳态的二维热传导问题：在计算域内构成一个二维网格结点的阵列．在任一瞬时．将存在一个相应的温度场．在计算机内将对时间上顺序推移的每一瞬时计算这样一个温度场．时间是单向坐标，因而某一时刻的温度场不受未来时刻温度场的影响．实际上，整个不稳态问题可以简化为按要求重复进行的一个基本的步骤，即给定t时刻的温度场，求得时刻的温度场。于是计算机内存只要供这两个温度场使用即可，对于所有的各个不同时间步可以一遍又一遍地使用同样的储存空间．不稳态的二维热传导问题：在这样的情况下，从一给定的初始温度场开始，我们就能够“前进”到在时间上顺序推移的各个瞬时．在任何时间步，需要同时处理的未知量只有一个二维的温度数组．这个温度数组与所有未来的温度值无关．而影响这一温度数组的以前瞬时的值则是已知的．于是我们需要求解的就是一个简单得多的方程组，从而可以节省计算机的时间．类似地，一个二维的边界层问题是沿着流动方向向前计算的．只要给定上游站沿垂直流线方向上的因变量值分布，就可以得到以下顺次各站沿垂直流线方向的因变量值。这样，只需要用一维的计算机储存量就可以了．同理，三维通道流沿流动方向是抛物型的，它可以处理成一系列顺次垂直流线的平面上的二维问题．本章目录§3.1数值方法的本质§3.1.1任务§3.1.2离散化的概念§3.1.3离散化方程的结构§3.2推导离散化方程的方法§3.2.1泰勒级数公式§3.2.2变分公式§3.2.3加权余数法§3.2.4控制容积公式§3.3一个说明性的例子§3.4四项法则§3.5结语§3.1数值方法的本质§3.1.1任务一个微分方程的数值解系由一组可以构成因变量的分布的数所组成。在这个意义上讲，数值方法有点类似于在实验室中进行的实验。做实验时，仪器的一组读数为我们构成在所研究的域内被测量的物理量的分布。数值分析研究人员与实验室中的实验研究人员两者所获得的数据都只能是一些有限数量的数值．让我们假设：我们决定用一个关于x的多项式来代表的变化：并采用数值方法来求得有限数量的系数a0，a1，a2…am。把x的值以及各个a的值代入方程(3.1)，我们就可以计算出在任何位置x的值．但是如果我们最终的兴趣是得到在各个不同位置上的值，那么这种做法就有点不太方便了．各个a值本身是没有什么特别的意义的．（3.1）要知道所需要的值，还必须进行前面所述的代入计算方程．因此我们将把我们的注意力放在这样一类方法上．因而数值方法就是把计算域内有限数量位置(叫做网格结点)上的因变量值当作为基本的未知量来处理．该方法的任务是提供一组关于这些未知量的代数方程并规定求解这组方程的算法．§3.1.2离散化的概念所选取的网格结点上未知值的代数方程(我们现在就把它们叫做离散化方程)系由支配的微分方程推导而得，推导过程中，我们必须对网格结点之间如何变化作某种假设．尽管可以选择在整个计算域内满足一个简单表达式的关系作为这种“分布”，但是更为实际的方法还是采用分段分布，即：一定的段仅仅用一个小区域的内部及其边界上的网格结点上的值来描述该区间内的整化。于是，一般将计算域生成一定数量的子域或单元．每一个子域可以有一个独立的分布假设．这样，我们就从另一个意义上遇到了离散化的概念．连续的计算域已经被离散开了．这种对空间和因变量所作的系统的离散化使得我们有可能用比较容易求解的简单的代数方程取代前面提到过的控制微分方程.§3.1.3离散化方程的结构一个离散化方程是连接一组网格结点处值的代数关系式．这样的一个方程系由支配的微分方程推导而得，并表示与该微分方程相同的物理信息。一定的离散化方程只与少数的几个网格结点有关，这种情况是我们选取分段分布这一特性的结果．因此，在一个网格结点处的值只影响与其紧相邻的一些点上的分布．可以预料到，当网格结点的数目变得很大时，离散化方程的解将趋近于相应微分方程的精确解．这是出自于这样的考虑：当网格结点紧挨在一起时，在相邻点之间的变化就变得很小，因此有关分布假设的实际细节就不那么重要对于一个已知的微分方程，可能的离散化方程决不是唯一的，尽管在网格结点数非常大的极限条件下，预计所有这些可能类型的离散化方程将会给出相同的解．离散化方程的不同形式起因于分布假设以及推导方法的不同．直到现在为止，为了保持慎重，我们一直都没有涉及到有限差分和有限元法的问题，可以认为这两种方法是我们已经在一般意义上描述了的离散化方法的两种可供选择的形式。有限差分法与有限元法之间的区别来自选择分布和推导离散化方程的方法不同．在本书内集中注意的方法具有有限差分法的外形，但是它采用了许多属于典型的有限元方法论所具有的思想．§3.2推导离散化方程的方法对于一个已知的微分方程，可以用许多方法推导出所要求的离散化方法。这里简单地介绍几种普通的方法§3.2.1泰勒级数公式常见的推导有限差分方程的方法是通过截断泰勒级数来近似表示微分方程的导数构成的．让我们来研究一下图3.1中的网格结点．对于位于结点1与结点3之间中点的结点2，在2周围展开的泰勒级数给出；（3.2）（3.3）这个方法含有这样的假设：的变化多少有点像是x的一个多项式，从而高阶导数是不那么重要的．但是当存在指数形式的变化时，这种假设就可能导致人们不希望要的那种公式．将两个方程相加及相减，我们得到；把这二个表达式代入微分方程就推得有限差分方程．(3.4)(3.5)§3.2.2变分公式变分法证明：求解某些微分方程的问题等效于使一称之为泛函的相关量最小化．这种等效关系就是所谓的变分原理．如果相关于因变量的网格点值使泛函最小，那么所得到的条件即给出所需要的离散化方程．变分公式非常普遍地用于应力分析的有限元法，这时可以把变分公式与虚功原理联系起来．除了代数和概念上的复杂性之外，变分公式的主要缺点在于它的适用范围有限。§3.2.3加权余数法一种强有力的求解微分方程的方珐是加权余数法，芬利逊详细地描述了这一方珐．它的基本概念既简单而又有趣．令微分方程由下式表示；进一步，让我们假设一个包含有若干不确定 参数 转速和进给参数表a氧化沟运行参数高温蒸汽处理医疗废物pid参数自整定算法口腔医院集中消毒供应 的近似解．例如：式中的各个a都是参数．将代入微分方程留下一个余数R它定义为：（3.6）（3.7）（3.8）假设：其中W是加权函教，积分在所感兴趣的某个域内进行．通过选释一系列的加权函数，我们可以得到为计算参数所需要数量的方程．求解以这些参数作为未知量的方程，即得到微分方程的近似解。选择不同种类的加杈函数，可以得到不同类型的方法。（3.9）在有限差分法几乎取代它以前，这种方法非常普遍地应用于边界层分析．但是，如果对不是采用一个在整个计算域上的简单代数表达式，而是代之以一个以网格结点值为未知参数的分段分布所求得的近似解，那么就可以把这种方法与有限差分法或者宁可说与离散化方法结合起来．实际上，最新发展的有限元方法中的许多形式也是建立在把分段分布与一种称之为迦辽金方法的特殊的加权余数法相结合的基础上的。最简单的加权函数是取W=1由此，可以通过把计算域分成许多子域或是控制容积构成一系列的加权余数方程，其中每一次令加权函数在一个子域内为1，而在所有其它的子域内为0.这种类型的加权余数法称之为子域法或是控制容积法。这就意味着:对每一个控制容积，余数的积分必须为0因为我们将在本书中采用控制容积法，比较详细地讨论这一方法是必要的，下面就将具体阐述。§3.3一个说明性的例子讨论受下列方程控制的一维稳态热传导问题：其中k是导热系数，Ｔ是温度，以及Ｓ是单位容积的发热率。（3.10）准备：为了推导离散化方程，我们将使用图3.2所示的网格结点群。我们集中注意网格结点P，该点以网格结点Ｅ及Ｗ作为它的两个邻点（E表示东侧，即正的x方向；而W表示西侧，或是负的x方向）。虚线表示控制容积面。就目前来说，它们的准确位置是无关紧要的。字母ｅ与w代表这些面。对于所考虑的一维问题，我们将假设在ｙ与z方向为单位厚度。于是，图中所示的控制容积是，如果我们在整个控制容积内积分方程（3.10），我们就得到：（3.11）（3.10）分布曲线的假设：为了进行进一步的工作，我们需要一个分布假设或是一个内插公式，在图3.3中表示了两种简单的分布假设。最简单的一种可能是：假设在一个网格结点处的Ｔ值代表它周围整个控制容积内的Ｔ值。这种情况就是图3.3a中示意表示的阶梯式分布。对于这样的分市，斜率dT/dx在控制容积面（即在w或e）上是不确定的。一种摆脱这种困境的分布曲线是分段线性的分布（图3.3b）。这时，在网格结点之间采用线性的内插函数。离散化方程：如果我们用分段线性分布来计算方程（3.11）中的dT/dx，所得到方程将为：其中为Ｓ在整个控制容积内的平均值，将离散化方程缩写成下列形式是有用的：（3.12）（3.13）（3.14a）（3.14b）（3.14d）（3.14c）说明：（3.13）1.方程（3.13）表示我们将要写出的离散化方程的标准形式。在中心网格结点上的温度出现在方程的左边，而相邻节点上的温度和常数b构成方程右侧的一些项。如我们在后面将要看到的那样，对二维与三维的情况，相邻结点的数目增加。一般说来，比较方便的是方程（3.13）看成具有如下的形式：2.在我们推导方程（3.13）时，我们已经采用了使我们能够估计dT/dx值的最简单的分布假设，当然选用许多其它形式的内插函数本来也是可以的。（3.15）3.此外，我们没有必要对所有的量都采用同样的分布函数，明白这一点是重要的。例如，既没有必要用网格结点之间线性变化的Ｓ来计算，也没有必要由kP和kE之间线性变化的k来计算ke。4.即便对于一个确定的变量，也没有必要对方程中所有各项都采用同样的分布函数假设。例如：倘若在方程（3.10）中含有一个单独包含Ｔ的附加项，或许对该项使用阶梯分布函数也是可以允许的，而不必坚持如在计算dT/dx时所采用的分段线性分布。（3.10）指导原则：上述有关选择分布函数的自由度，最终导致不同变型的离散化方程形式，事实是，当网格结点的数目增加时，可以预料所有这些不同形式的方程都会给出相同的解。但是，我们将在此提出一个附加的要求，这个要求的加入将使我们能够大大减少我们可以接受的公式（方程）的数目。即使是采用很粗的网格，解也总应该满足：。（1）物理上真实的性状（2）总的平衡图3.4所示的变化说明了这一概念。一个真实的变化应当具有与准确变化相同的定性倾向。在无内热源的热传导问题中，内部没有一处的温度可以超出边界温度所确定的温度范围之外。当一块热的固体为绕流的流体所冷却时，固体的温度不可能降低到比该流体的温度还低。我们将总是用这样的试验来检验我们的离散化方程。总平衡的要求意味着对整个计算域应当满足积分守恒。我们将坚持要求热流密度、质量流量以及动量通量必须准确地同相应的源和汇建立平衡，这种平衡不应当只是限于网格结点的数目变得很大时的情况，而是对于任何数目的网格结点都应该得到满足。我们的控制容积公式会使这一总的平衡成为可能，但是如同我们很快就会知道的那样，在计算控制容积界面上的热流密度，质量流量以及动量通量时还需要小心处置。物理上的真实性以及总的平衡这两个约束条件将用来指导我们选择分布假设以及所采用的有关措施。在这些约束条件的基础上，我们将建立起几条基本的法则，应用这些法则我们就可以对现有的一些公式进行鉴别，并进而发展出一些新的公式来。通常需要由数学上的考虑才能作出的一些决断，现在可以直接由物理学上的原理来进行指导了。（3.10）源项的处理：在我们着手建立基本法则之前，我们将对方程（3.10）中的源项S给予某些注意。一般说来，源项是因变量T本身的函数，因而在构成离散化方程的过程中需要知道这种函数关系。但是，正如我们将在后面看到的那样，由于离散化方程需要用线性代数的技术来求解，因而我们在形式上只能考虑一种线性的函数关系，这里把平均值表示成下列形式是足够的。（3.16）式中，Sc代表的常数部分，而SP又是TP的系数。在方程（3.16）中TP的出现表明，在表示平均值时，我们已经假设：TP值代表整个控制容积内的值，换句话说，已经采用了图3.3a中所示的阶梯式分布。（3.16）应用线性化的源项表达式，离散化方程的样子看起来仍然像方程（3.13），但是系数的定义（方程3.14）要有所改变。新的方程组是：式中：（3.17）（3.18a）（3.18b）（3.18d）上述导言性的讨论为我们提供了足够的预备知识，这样，我们就可以来推导我们的离散化方程所应当服从的一些基本法则公式，以确保所得到的解满足物理上真实以及总的平衡这两个要求。以及（3.18c）§3.4四项基本法则在控制容积面上的连续性当一个面作为两个相邻控制容积的公共面时，在这两个控制容积的离散化方程内必须用相同的表达式来表示通过该面的热流密度、质量流量以及动量通量。法则一显然，通过一个特定的面离开一个控制容积的热流密度必须与通过同一个面进入第二个控制容积的热流密度相同。不然的话，总的平衡就不会满足。尽管这一要求易于理解，但是稍不小心，就可能在一些微妙的地方违反。对于图3.2所示的控制容积，我们或许会用通过Tw、Tp及Tg的二次曲线来计算界面上的热流密度。讨论图3.5由二次曲线分布所得到的热流密度的不连续性正系数大多数的实际问题应该是这样的，即某个网格结点处的因变量值只是通过对流以及扩散的过程才受到相邻网格结点上的值的影响。于是，在其它条件不变的情况下，在一个网格结点处该因变量值的增加应当导致相邻网格结点上该值的增加（而不是减少）。在方程（3.13）中，如果TR的增加必然导致Tp增加的话，这就必然要求系数ag与ap具有相同的符号。这样，法则2可以表述如下：所有的系数（ap以及各相邻结点系数anp）必须总是正的。法则二由方程（3.14)所给出的系数的定义表明，我们所用的离散化方程（方程（3.13））遵守正系数法则。但是，正如我们将在后面看到的那样，有许多公式经常违反这一法则。结果往往是得到一个物理上不真实的解。存在负相邻结点系数就会导致这样的情况，在这种情况下，一个边界温度的增加会引起相邻网格结点上的温度的降低。讨论源项的负斜率线性化要是我们研究一下方程（3.18)中系数的定义，就可以发现，即便所有相邻结点的系数均为正，由于Sp项的关系，中心结点的系数ap仍可能变为负值。当然Sp不为正值，这一危险就完全可以避免。于是，我们把法则3写成下面的公式：法则三当源项线性化为S=Sc+SpTp时，系数Sp必须总是小于或等于0.大多数物理过程确实在源项与因变量之间具有负的斜率关系。实际上，要是Sp为正的话，物理状态就可能会变得不稳定了。一个正的Sp意味着，当Tp增加时，源项也随着增加；如果这时没有有效的散热机构，这可能会反过来导致Tp的增加，如此反复进行下去，造成温度飞升的不稳定现象。从计算方法上讲，保持负的Sp，使之不致产生不稳定性以及物理上的不真实解，这是至关重要的。这里要充分注意到：为了使计算成功，负Sp的原则是必不可少的。注意相邻结点系数之和控制微分方程往往只包含有因变量的导数项。于是，如果T代表因变量，则函数T与T+c（其中c是一个任意常数）两者均满足微分方程。微分方程所具有的这一特性也必定要反映在与之相对应的离散化方程中。因此，当Tp以及所有的Tnb都增加同一常数值时，方程（3.15)应当仍然适合。由这个要求可以得出结论：ap必须等于所有相邻结点的系数之和。因此，我们可以把法则4表述如下：ap=zanb(3.19)法则四方程（3.13）确实满足这一法则。本法则意味着：中心结点值Tp是各相邻结点值Tpb的一个加权平均值。与方程（3.13)不同，方程（3.17)中的系数不服从这一法则。但是，不能认为这种情况是对法则4的违背而应该是本法则对这种情况不适用。讨论理解法则4作用的另一方法是若是源项不存在，而且所有的相邻结点的温度Tab都相等，则中心结点的温度Tp必定等于它们。在这样的条件下，只有一个蹩脚的离散化方程才会算出Tp≠Tab的结果来。§3.5结语在本章内，已经对本书所要制订的一类离散化方法做出了某些基本的判断，通过一个简单的例子，已经能够推导出四条基本的法则，这些法则构成了本书所有进一步计算工作的基本指导原则。在讨论中把温度T作为因变量。这样做只是为了概念上的方便。通用微分方程（2.13)中的对流项需要特殊的公式。方程（2.13)中的其余三项将在第四章中作为热传导问题的基本结构加以处理。第四章热传导4.1本章的对象学习目的：通过对热传导方程的研究找到一种普适的解决物理问题的方法如：位势流动，质量扩散，通过多孔介质的流动，以及某些充分发展的通道流。此外，电磁场理论，热辐射的扩散模型，以及润滑流动是由传导型方程控制的现象中的另一些例子。4.2一维稳态热传导物理模型简化：为了简化问题突出重点，略去对流项，考虑稳态状况，进而得到简化后的基本方程。略去考虑稳态该项为04.2-1基本方程作为解释四项基本法则的工具，在3．3节中介绍说明性例子的过程中，我们已经推导了稳态一维导热问题的离散化方程。对这个问题的控制微分方程是：由该方程推导出离散化方程（控制容积法）式中我们简单认为e和w相对于网格点P,E和W的位置是已知的。由源项的线性化规定，其形式是：说明：至于分布假设，梯度dT/dx已经由T对x的分段性的变化算，而对于线性化的源项，假设Tp值代表整个控制容积的值。当然，应当记住：只要不违背四项基本法则，选择其它形式的分布曲线是可能的，也是允许的。这里，选择分布曲线的基本原则是在四项基本法则的约束范围内宁可采纳简单一些的分布曲线，而只是在那些必要的场合，才采用高级而复杂形式的分布曲线。4.2-2网格间距确定网格间距的思想：根据因变量随x变化程度来确定网格的划分状况。即，在T~x变化比较陡（或者称梯度较大）的区域内需要进行细分网格。确定网格间距的方法：采用仅仅几个网格点进行试探性计算，达到给定精度后停止。4.2-3界面导热系数研究主要内容：如何通过一定的方法使非线性的导热系数线性化如何将分界面上的Ke用与其相邻的点表示出来在方程4.3中，已经把导热系数ke用来代表通过控制容积面e的k值；类似地，kw代表界面w的k值。当导热系数k是x的函数时，我们往往只知道在网格点W、P、E上的k值。下列讨论并不是针对均匀导热系数的情况而言的。不均匀导热系产生的原因：1材料的不均匀性（如组合的材料板）引起；2温度分布的不均匀，导热系教随温度而变化。说明：在处理对的通用微分方程时，扩散系数将起着与导热系数相同的作用，因此根据相似理论可以做类似的处理。这里面介绍两种常用的处理方法：算术平均值法和调和平均值法。前者直截了当，但不能精确处理组合材料中导热系数突然变化，后者利用了在热传导过程中q的不变性可以很好地解决这一问题。（一）算术平均值法：假设k在P点和E点之间呈线性变化，线性插值得到：其中插入因子fw是用图4．I所示的距离所定义的一个比值：如果界面e位于两个网格点之间的中点，那么fe将是0．5，而ke就是kp与kB的算术平均值。（二）调和平均值法：我们主要关心的不是导热系数在界面e上的局部值。我们的主要目标是要得到描述的界面热流密度q的良好的表达式：让我们来讨论这样一种情况：围绕着网格点P的控制容积由具有均匀导热系数的材料所填满，而围绕着E点的控制容积则由导热系数为的材料所填满．对于在P点与E点之间的组合板，根据稳态无内热源一维导热的分析可以得出下列的结果：把方程（4.6）-（4.8）合并在一起，就得到：当界面l位于P和E之间的中点时，我们有于是有：将方程（4.9）应用于系数的定义[式(4.3)]中，可以得到表达式，这一公式的效能可以由下列两种极限情况很快看出这意味着在一个绝热层的表面上热流密度为零，正像它理应存在的情况那样．相反，算术平均公式在这种情况下地均会给出非零的热流密度。这个结果具有两方面的含义：1）方程（4.13）表明界面的导热系数完全与无关。因为围烧着P点的材料导热系数高，其热阻与围绕着E点的材料相比可以忽略不计（算术平均公式却保留Kp对Ke的影响）。2）ke不等于kE，而是它的1/fe。我们的目的是通过方程（4．7）得到一个正确的qe值。应用方程（4.13）得出：当时，温度Tp将一直扩展到界面e，而温降将实际上发生在距离内。于是正确的热流密度将由方程（4．14）给定.换句话说，在方程（4.13）中的因子fe可以看成是对方程（4，7）中所用的名义距离的补偿．说明:所推荐的界面导热系数公式(4．9)是建立在无内热源的稳态一维导热状态基础上，其中导热系数在相邻的两个控制容积之间发生阶跃变化。即便在内热源不为零或是导热系数连续变化的场合，这种调和平均的表达式也要比算术平均公式好得多。4.2-4非线性学习目的：通过迭代的方法来处理离散方程中系数本身的非线性。比如热传导过程中，传热系数k是T的函数或者源项S是T的非线性函数。迭代过程如下：1一开始在所有各个网格点上，猜测或估计一个T值2由这些估计的T值，计算出这些离散化方程中系数的试探值3解名义上的线性方程组，得到新的一组T值4以这些T值作为较好的估计值，返回到第二步，重复计算直到不引起T的任何有意义的变化为止如何促进收敛？最重要的就是遵守四项基本原则。4.2-5源项的线性化源项线性化的原因：1）名义上的线性结构框架只允许采用一种形式上的线性关系2）线性关系的组合要比把S当成常数处理要好源项线性化得方法：当S与T为非线性关系时，由S=Sc+Sp*Tp给出线性关系,且规定Sp、Sc的值，而这两个值本身也可能是T的函数，因而在每一次迭代中，Sc和Sp要根据新的T值重新算出。源项线性化遵循的原则：Sp非正的原则（四项基本原则）与已知的S=S（T)具有很好的变化趋势一致性，即与已知直线相切的是最佳选择，比已知直线更陡的直线可以接受，欠陡的不希望采纳例题3已知：某些可能的线性化是：1）,,推荐的方法是：于是：说明：这一线性化，表示在点直线与已知曲线相切4）,比较如下：4.2-6边界问题学习目的：由控制容积的离散方程，知，对于所有的计算域内网格点都可以列出上面的方程。但是对于一维的情况，其中有两个方程包含有两端边界上的温度。通过处理这些边界温度，把给定的边界条件应用到数值解法当中去。如图所示：针对三类边界条件分别论述：1.已知边界温度，这种形式处理不需要再外加任何方程。2.已知边界热流密度解决这类问题的思想，建立一种线性关系，构造一个附加的方程。具体做法如下：对图4.3所示边界附近的半控制体积微分方程积分来建立，并考虑，进而得到：界面热流密度再由可得：进一步写成对的表达式：式中第三类边界条件由于是的方程变为：式中4.2-7线性代数方程的解由于专业性，请大家参考矩阵与数值分析教材。推荐教材《数值计算方法》高等教育出版社，施吉林等§4.3不稳态一维热传导§4.3.1通用的离散化方程试探求解下面的不稳态一维热传导微分方程：为方便起见，我们还将假设是常数。因为时间是一个单向坐标。我们由一已知的初始温度分布开始，沿着时间坐标逐步向前求解．现在对图3.2所示的整个控制容积积分方程（4.30）以推导离散化方程，其中积分的时间间隔为由t到t+Δt。于是：为了表达项我们将假设：在网格点上的T值代表整个控制容积上的值．于是：对于参考我们对稳态问题时所采用的措施，我们得到某一些假设可以用下式把它们归纳一般化式中f是一个在0与1之间变化的加权因子．对于Te和Tw应用与上式相类似的公式，我们由方程（4.33）推出：在改写这个式子的时候，我们将把上标1去掉，并且记住此后Tp、Te、Tw代表T在t+Δt时刻的新值．结果是：式中：§4.3.1显式，克兰克-尼科尔森（Crank-Nicolson）模式，以及全隐式模式对于某个特定的加权因子f的值，离散化方程可以简化为适用于抛物型微分方程的大家所熟悉的模式之一．特别是f=0导致显式模式，f=0.5导致克兰克—尼科尔森模式，以及f=1导致全隐式的模式，我们将简单地讨论这些模式，并且最后指出全隐式模式是我们所喜爱的一种模式。不同的f值可以由图4.5所示的T～t变化关系来说明．对于显式模式（f=0），方程变为：（4.36）对于f≠0的任何模式都是隐式的。实际上，要使系数为正，时间步Δt就必须足够小，以使超过，对于导热系数均匀分布以及这个条件可以写作：如果违背了这个条件，就可能出现物理上不真实的解。全隐式模式（f=1）就能满足我们既简单而物理上又满意的要求。鉴于这一原因，在本书中，我们将采用全隐式进式．§4.3不稳态一维热传导§4.3.1通用的离散化方程试探求解下面的不稳态一维热传导微分方程：为方便起见，我们还将假设PC是常数。因为时间是一个单向坐标。我们由一已知的初始温度分布开始，沿着时间坐标逐步向前求解．现在对图3.2所示的整个控制容积积分方程（4.30）以推导离散化方程，其中积分的时间间隔为由t到t+Δt。于是：为了表达项我们将假设：在网格点上的T值代表整个控制容积上的值．于是：对于参考我们对稳态问题时所采用的措施，我们得到某一些假设可以用下式把它们归纳一般化式中f是一个在0与1之间变化的加权因子．对于Te和Tw应用与上式相类似的公式，我们由方程（4.33）推出：在改写这个式子的时候，我们将把上标1去掉，并且记住此后Tp、Te、Tw代表T在t+Δt时刻的新值．结果是：式中：§4.3.1显示，克兰克-尼科尔森（Crank-Nicolson）模式，以及全隐式模式对于某个特定的加权因子f的值，离散化方程可以简化为适用于抛物型微分方程的大家所熟悉的模式之一．特别是f=0导致显式模式，f=0.5导致克兰克—尼科尔森模式，以及f=1导致全隐式的模式，我们将简单地讨论这些模式，并且最后指出全隐式模式是我们所喜爱的一种模式。不同的f值可以由图4.5所示的T～t变化关系来说明．对于显式模式（f=0），方程变为：（4.36）对于f≠0的任何模式都是隐式的。实际上，要使系数为正，时间步Δt就必须足够小，以使超过，对于导热系数均匀分布以及这个条件可以写作：如果违背了这个条件，就可能出现物理上不真实的解。全隐式模式（f=1）就能满足我们既简单而物理上又满意的要求。鉴于这一原因，在本书中，我们将采用全隐式进式．§4.3.1全隐式离散化方程这里我们来讨论方程的全隐式模式．在讨论中，我们将引人曾为我们撇在一边的线性化源项．其结果是：（4．36）式中：可以看到，当Δt→∞时，这个方程简化为我们的稳态的离散化方程。全隐式模式的主实原则是Tp的新值代表整个时间步上的值。因此如果导热系数kp与温度有关，就应当反复由Tp迭代算得新的kp值。稳态程序的其它环节，如边界条件、源项线性化处理以及TDMA也都完全适用于不是稳态的问题。§4.4二维与三维问题§4.4.1二维问题的离散化方程二维网格的一小部分示于图4.6推广到二维的情况．P与E点之间的控制容积面e上的热流密度q0假设所得到的qo代表面积为Δy×1的整个表面上的值。通过其它表面的热流密度可以用同样的方式得到。这样，微分方程：可以立即转变成离散化方程：式中：乘积ΔxΔy是控制容积的体积。§4.4.2三维问题的离散化方程Z方向：加上T（顶）和B（底）点容易看出三维离散化方程式为：式中：-T时刻控制容积内部包含的内能。-控制容积的体积。§4.4.3代数方程组的解构成离散化方程时：1方程的推导2方程的求解1和2之间各自独立，各自进行，互不相关。求解二维或三维问题的代数方程的直接解法：1非常复杂2需要大量计算机存储量和时间因此舍去直接解法而不用。直接解法的替代者？迭代法第一步：估计一个因变量T的场；第二步：用某种代数方程求得一个改进的场；第三步：重复这一算法过程最后得到一个充分接近方程精确解的解。对比直接解法：只需要增加很少的计算机存储量。迭代法的种类：高斯-赛德尔逐点计算法逐行法。高斯一塞德尔逐点计算法：把离散化方程写成：式中下标nb代表一个相邻点，于是在被访问的网格点上的Tp由下式算得：其中代表在计算机存贮器中所存在的相邻点的温度值。计算机只存储一组T值：最初的估计值或上一次迭代得到的值。为了说明这个方法，我们将讨论两个非常简单的例子。方程：解：可以发现，对这个例子，不管在开始计算时初始的估计值是多少，我们都有以得到精确的解。由下面的例子，我们可以进一步加深对这种迭代方法的了解。方程：解：这看起来是令人扫兴的，这里迭代过程已经发散了。于是可以得出结论：高斯一塞德尔法并不总是可以得到收敛的解的。那么什么时候成立？当满足斯卡巴勒准则时，高斯一塞德尔法就一定可以得到收敛。斯卡巴勒准则：高斯一塞德尔法收敛的充分条件是：斯卡巴勒准则的说明充分不必要条件。不主张采用高斯-赛德尔迭代法，但同时希望离散化方程满足斯卡巴勒准则。某些基本法则是满足斯卡巴勒准则的。域的边界上的特殊点对应<1的方程。高斯-赛德尔迭代法主要缺点：收敛速度太慢，当网格数目很大时更加明显。§4.5超松弛与欠松弛松弛引入的原因？在代数方程的迭代求解过程中，人们为了希望加速或减慢前后两次迭代之间因变量的变化。超松弛：加快因变量的变化。欠松弛：减慢因变量的变化。引入松弛的方法通用离散化方程方法1：采用一个松弛因子括号内的部分表示本次迭代所产生的Tp的变化。这一变化可以通过引进一个修正因子加以修正。应当注意：迭代收敛时，Tp应与相等。当松弛因子在0到1之间变化时，作用是欠松弛的。当>1时作用是超松弛的。方法2：通过惯量进行松弛用下面的公式代替离散化方程：即T得收敛值应满足原始方程。i--惯量，正的i值产生欠松弛的作用，负的i值产生超松弛的作用。i的模值越大，产生的松弛作用越大。松弛因子和惯量i的选取原则：不存在选取和i的最佳值的一般法则。的最佳值与下面等因素有关：所研究问题本身的特性离散网格点的数目网格点之间的间距离散采用的迭代方法另外在计算过程中不必采用相同的值。Companyname4.6某些几何上的考虑4.6—1控制容积面的位置离散化方程是在一般条件下推得的，适合于任何特定的控制容积面构成方法。因此没有专门描述应在何处放置控制容积面的方法。在可能的构成方法中，我们主要讲两种：方法A和方法B.Companyname这样做所得的一个结果是：一个典型的网格P并不落在包围该点的控制容积的几何中心上。方法A：控制容积面放在两个网格点之间的中点，构成控制容积的方法是把它们的面放在相邻网格点之间的中点。布置方式示于图4.10，其中虚线表示控制容积面。Companyname方法B：先画控制容积（如图4.11所示），而后把网格点放在控制容积的几何中心。按照这种布置方式，如果控制容积的尺寸不均匀，则其表面就不会落在两个网格点之间的中点上。Companyname讨论：（1）应当注意：对均匀的网格（或是均匀的控制容积尺寸）两种方法趋于一致。因此对两种方法的比较只是在非均匀的网格间距的情况下才是有意义的。（2）方法A中—把控制容积面放在两个网格点之间的“中点”，这为计算通过该面的热流提供了较高的精度。如在3.4节中所提到的分段线性分布的斜率与在两个网格点之间的中点所算得的任何一根抛物线的斜率相等。Companyname（3）方法A中--点P可能不落在控制容积的几何中心，这个缺点造成：不能认为在计算源项、导热系数以及类似的其它一些量时Tp是对控制容积的一个好的代表值。这样，把e点的热流密度看成是代表整个控制容积面上的值的做法也会造成某些误差。例如图4.10中的e点并不位于它所在控制容积面的中点。Companyname（4）方法B中--根据定义，P点位于控制容积的中心，同时象e这样一些点也位于它们自己所代表的面的中心（见图4.11）。但是控制容积面并不位于相邻网格点之间的中点。因此，与方法A不同，方法B并不具有A具有的抛物线的偶然性质所具有的好处。Companyname（5）方法B的决定性的优点在于它的方便性。因为控制容积是迄今为止所提出的离散化方法的基本单位，先画控制容积的边界而后决定网格点的位置是比较方便例如对一组合的团体，我们可以把控制容积面放在材料性质发生不连续的地方（见图4.12）。Companyname类似地，边界条件的不连续性也易于处理。如果边界的一部分是绝热的，其余的部分是等温的，我们便可以这样来设计控制容积，以避免在一个控制容积面内存在不连续性；这种情况也示于图4.12中。在方法Ａ中，因为我们必须首先规定网格点的位置，要想把控制容积面布置在所希望放的位置就要困难得多。Companyname（6）需要对计算域的边界附近的控制容积的设计作些补充考虑，如在图4.13中所表示的那样，方法Ａ在边界的网格点周围造成“半”控制容积。Companyname对方法B来说，以规则的控制容积填满计算域、并把边界的网格点放在邻近边界的控制容积的面上，是比较方便的。这样的布置方式示于图4.11中。一个典型的边界面不是放在边界点B与内点I之间，而实际上是通过边界点。Companyname如果在边界点周围想象存在一个零厚度的控制容积，那么面i相对于网格点B和I的位置可以认为是与方法B的正常情况相一致的。按照这种布置方式，没有必要对邻近边界的控制容积采用特殊的离散化方程，现有的边界条件数据（如已知温度或热流密度）就可以直接用于边界面i上。Companyname4.6至此我们已经推导出了应用于直角坐标系中一个网格的离散化方程。这种方法不只限于直角坐标系，它还可以用于任意一种正交坐标系。为了说明在其它坐标系中离散化方程的