直角坐标系、伸缩变换

课前案知识梳理：(一)、直角坐标系：1、直线上点的坐标：2、平面直角坐标系：右手系：左手系：3、空间直角坐标系：（二）、平面上的伸缩变换：1、定义：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，在变换x'x(0):y'y(0)的作用下，点P(x,y)对应P’(x’,y’).称为平面直角坐标系中的伸缩变换2、注（1）0,02）把图形看成点的运动轨迹，平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换得到；3）在伸缩变换下，平面直角坐标系不变，在同一直角坐标系下进行伸缩变换。课中 案例 全员育人导师制案例信息技术应用案例心得信息技术教学案例综合实践活动案例我余额宝案例 1、由已知伸缩变换、变换后图形的方程两个条件，求出原图形的方程：x'3x(3,4)，则x=，y=.（1）、已知点（x,y）经过伸缩变换后的点的坐标是实用文档1xx'例2、在同一平面直角坐标系中，曲线C经过伸缩变换3后的曲线方程是4x'29y'236，1y'y2求曲线C的方程。x'3x例3.（1）在同一平面直角坐标系中，曲线C经过伸缩变换后的曲线方程是y'y22x'9y'9，求曲线C的方程。（2）、在同一平面直角坐标系中，求直线x-2y=2变成直线2x'y'4的伸缩变换y'2y1xx'例4.曲线C经过伸缩变换3后的曲线方程是4x'29y'236，求曲线C的方程。y'11y（2）、已知点(x,y)x'x后的点的坐标是（-2，6），则x=，y=2经过伸缩变换2；y'3y课后案1．将点（2，3）变成点（3，2）的伸缩变换是（）x'2xx'3xx'yx'x1A.3B.2C.D.32y'xy'y1y'y'yy23.将点P(x,y)的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标压缩为原来的1，得到点P的坐标为23xyyx（）A.(2,3y)B.(2x,3)C.(3x,2)D.(3,2y)xxlog2(x2)3.曲线C经过伸缩变换y1y后得到曲线C的方程为y,则曲线C的3方程为（）A.y1log2(x2)B.y3log2(x2)3C.y1D.ylog2(3x2)log2(3x2)4.把函数ysin2x的图像作怎样的变换能得到ysin(2x3)的图像（）A．向左平移B．向右平移C．向左平移3D．向右平移6635.将yf(x)的图像横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标缩短到原来的1，则所得函数的解析式为3（）A．y3f(3x)B.y1f(3x)C.y3f(1x)D.y1f(1x)33336．点(x,y)经过伸缩变换x'1x后的点的坐标是（-2，6），则x，y2；y'3y7．将直线x2y2变成直线2x'y'4的伸缩变换是.8．为了得到函数yx),xR的图像，只需将函数y2sinx,xR的图像上所有的点2sin(36A.向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的1倍（纵坐标不变）63B.向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的1倍（纵坐标不变）63C.向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）6D.向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）69.曲线ysin(xx'3x)经过伸缩变换后的曲线方程是；6y'2y10.曲线x2y22x0变成曲线x'216y'24x'0的伸缩变换是.x'1x11.曲线9x24y236经过伸缩变换2后的曲线方程是.y'1y312.将直线x2y2变成直线2x'y'4的伸缩变换是.13.函数y1cos2x3sinxcosx1,xR.22（1）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；（2）该函数的图像可由ysinx(xR)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到?（）实用文档3．在伸缩变换x'2xx'2xy21分别变成什么图形？y'与y'的作用下，单位圆x2y2y4.函数yxy1，经过怎样的平移变换与伸缩变换才能得到函数？3x1x1．点(x,y)经过伸缩变换x'3x4)，则x，y.y'后的点的坐标是(3,2y2．将直线x2y2变成直线2x'y'4的伸缩变换是.3．为得到函数y2sin(x6),xR的图像，需将y2sinx,xR的图像上所有的点（）31倍（纵坐标不变）A.向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的63B.向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的1倍（纵坐标不变）63C.向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）6D.向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）64．曲线ysin(x)经过伸缩变换x'3xy'后的曲线方程是；62y5．将曲线x2y22x0变成曲线x'216y'24x'0的伸缩变换是.6.函数f(x)的图像是将函数log2(x1)的图像上各点的横坐标变为原来的1，纵坐标变为原来的1而得到的，则与3f(x)的图像关于原点对称的图像的解析式是。21．点(x'2x,1)经过伸缩变换后的点的坐标是；2y'3y实用文档x'1x2问题一：（1）点（2，-3）经过伸缩变换后的点的坐标是1y'y3解：变式1．（1，-1）；1（2）点(x,y)经过伸缩变换x'2x后的点的坐标是（-2，6），则xy'3y解：变式2．x4,y2x'1x问题二：（1）．曲线9x24y236经过伸缩变换2后的曲线方程是1y'y3x'1x（2）曲线C经过伸缩变换3后的曲线方程是4x'29y'2361y'y；，y；x'2y'21.，则曲线C的方程是x'2y'24；4.函数yx，经过怎样的平移变换与伸缩变换才能得到函数y13x1？x解：分析：可考虑先伸缩，再平移；也可考虑先平移，再伸缩；也可交替地运用平移与伸缩。 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 一、（先伸缩，再平移）y伸长到原来的3倍：1yx1得y3x133x3x3(1x)x11x伸长到原来的3倍：y3得y11x1x1x13(x)113向左平移1个单位，再向下平移1个单位：(y1)11得y1(x。1)1x方法二、(先平移，再伸缩)1x11111向左平移3个单位:y13得y39x33(x19x)3再向下平移1个单位：(y1)11得y13339x9xx伸长到原来的9倍：y111x'2y'21.1．点(,1)x'2x(,3)；经过伸缩变换3y后的点的坐标是；2y'3．在伸缩变换x'2x与伸缩变换x'2x的作用下，单位圆x2y21分别变成什么图形？y'yy'2yx'2xx'2y'2x'2x1解：在y的作用下，单位圆变成椭圆；在的作用下，单位圆变成圆y'4y'2y9(x)x9方法三、（平移与伸缩的交替运用）1x1xx1x伸长到原来的3倍：y331x得3y111x1x13(x)3向左平移1个单位：3y11111)x(x1y伸长到原来的3倍：3(1y)11得y1131x1x向下平移1个单位：y11x得yx评注：这是一道培养发散思维能力的好题。五，作业x'3x(3,4)，则xx，1．点(x,y)经过伸缩变换后的点的坐标是y'2yyy2.2．将直线x2y2变成直线2x'y'4x'x的伸缩变换是.y'4y3．为了得到函数y2sin(x),xR的图像，只需将函数y2sinx,xR的图像上所有的点36（C）A.向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的1倍（纵坐标不变）63B.向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的1倍（纵坐标不变）63C.向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）6D.向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）64．曲线ysin(xx'3xy'2sin(x')；)经过伸缩变换后的曲线方程是6y'2y365．将曲线x2y22x0变成曲线x'216y'24x'x'2x0的伸缩变换是1.y'y6.函数f(x)的图像是将函数log2(x1)的图像上各点的横坐标变为原来的1，纵坐标变为原来的13而得到的，则与f(x)的图像关于原点对称的图像的解析式是。2解：ylog2(x1)以3x,2y分别代x,y得2ylog2(3x1)y1log2(3x1)有f(x)1log2(3x1)，它的图像关于原点对称的图像的解析式是22y13x)log2(12〖典例剖析〗【例1】：求下列点经过横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的3倍后的点的坐标：（1）（1，2）；（2）（-2，-1）.【例1】解：（1）（2，6）；（2）（-4，-3）.【变式与拓展1】．x'2x【例2】：在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形：y'3y（1）2x3y0；（2）x2y21.【例2】解：（1）x'y'0；（2）x'2y'21492实用文档实用文档坐标压缩变换：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，保持纵坐标不变，将横坐标x缩为原来1/2，得到x'1x点P’(x’,y’).坐标对应关系为：y'2通常把上式叫做平面直角坐标系中的一个压缩变y换。思考2：怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sinx?写出其坐标变换。设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，保持横坐标x不变，将纵坐标y伸长为原来3倍，x'x得到点P’(x’,y’).坐标对应关系为：y'3y通常把上式叫做平面直角坐标系中的一个伸长变换。思考3：怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sin2x?写出其坐标变换。对应P’(x’,y’).称为平面直角坐标系中的伸缩变换。【典型例题】在同一直角坐标系中，求满足下列图形变换的伸缩变换。将直线x2y2变成直线2xy4，分析：设变换为xx,(0),y4，与x2y2比yy,(可将其代入第二个方程，得2x0),较，将其变成2x4y4,比较系数得1,4.xx2y2图象上所有点的横坐标不变，纵机坐标扩大到原来的4倍【解】(1)，直线xy4y可得到直线2xy4。达标检测1A2．点(x,y)经过伸缩变换x'2x后的点的坐标是（-2，6），则x，y；y'3yA4．将直线x2y2变成直线2x'y'4的伸缩变换是.x'2xB6.在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形：y'3y（1）2x3y0；（2）x2y21.老城 高中 高中语文新课程标准高中物理选修31全套教案高中英语研修观课报告高中物理学习方法和技巧高中数学说课稿范文 高二数学选修4-4导学案编号：1.2.1极坐标系的的概念情境2：如图为某校园的平面示意图，假设某同学在教学楼处。定义：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，在变换x'x,(0)（1）他向东偏60°方向走120M后到达什么位置？该位置唯一确定吗？:'的作用下，点P(x,y)yy,(y0)（2）如果有人打听体育馆和办公楼的位置，他应如何描述？问题1：为了简便地表示上述问题中点的位置，应创建怎样的坐标系呢？问题2：如何刻画这些点的位置？二、新课导学M(,)●◆探究新知（预习 教材 民兵爆破地雷教材pdf初中剪纸校本课程教材衍纸校本课程教材排球校本教材中国舞蹈家协会第四版四级教材 P8～P10，找出疑惑之处）1、如右图，在平面内取一个O，叫做；自极点O引一条射线Ox，叫做；再选定一Ox个，一个（通常取）及其（通常取方向），这样就建立了一个。2、设M是平面内一点，极点O与M的距离|OM|叫做点M的，记为；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的，记为。有序数对叫做点M的，记作。3、思考：直角坐标系与极坐标系有何异同？___________________________________________.◆应用示例例题1：(1)写出图中A，B，C，D，E，F，G各点的极坐标(0,02).（2）：思考下列问题，给出解答。①平面上一点的极坐标是否唯一？②若不唯一，那有多少种表示方法？③坐标不唯一是由谁引起的？④不同的极坐标是否可以写出统一表达式？⑤本题点G的极坐标统一表达式。答：◆反馈练习在下面的极坐标系里描出下列各点A(3,0)B(6,2)C(3,)2D(5,4)E(3,5)F(4,)365)G(6,3O小结：在平面直角坐标系中，一个点对应个X坐标表示，一个直角坐标对应个点。极坐标系里的点的极坐标有种表示，但每个极坐标只能对应个点。三、总结提升2.有关曲线伸缩变换的一般性结论：一般地，由yxx，所确定的伸缩变换，是按伸缩系数为向着y轴的伸缩变换(当>1y时，表示伸长；当<1时，表示压缩)，即曲线上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍(这里P(x,y)是变换前的点，P(x,y)是变换后的点).同理，由xx，所确定的伸yy缩变换，是按伸缩系数为向着x轴的伸缩变换(当>1时，表示伸长；当<1时，表示压缩)，即曲线上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的倍(这里P(x,y)是变换前的点，P(x,y)是变换后的点).由xx，所确定的伸缩变换，是按伸缩系数向着x轴和按yy伸缩系数向着y轴的伸缩变换(当1时，表示伸长，1时，表示压缩；当1时，表示伸长，当<1时，表示压缩)，即曲线上所有点的横坐标和纵坐标分别变为原来的倍和倍(这里P(x,y)是变换前的点，P(x,y)是变换后的点).x'1x问题一：（1）求点（2，-3）经过伸缩变换2后的点的坐标；1y'y31（2）点(x,y)经过伸缩变换x'2x后的点的坐标是（-2，6），求点(x,y)y'3yx'1x问题二：（1）．求曲线9x24y236经过伸缩变换2后的曲线方程；y'1y3x'1x（2）曲线C经过伸缩变换3后的曲线方程是4x'29y'236，求曲线C的方程。1y'y1．一般地，由kx=x'，所确定的伸缩变换，是伸缩系数为k向着y轴的伸缩变换。y=y'当k>1时，表示伸长；当k<1时，表示压缩，即曲线上所有的点的纵坐标不变，横坐标变为原来的k倍。这里P（x，y)是变换前的点，P'(x'，y')是变换后的点。x=x'，所确定的伸缩变换是伸缩系数为k向着x轴的伸缩变换。2．同样由ky=y'4，我生成的问题：三，我的收获：本节课的知识结构、学到的方法、易错点四，课堂检测：1．点(,1)经过伸缩变换x'2x后的点的坐标是；y'3y22．将点（2，3）变成点（3，2）的伸缩变换是（）x'2xx'3xx'yx'x1A.3B.2D.C.y'3yy'2yy'xy'y1233．在伸缩变换x'2x与x'2x的作用下，单位圆x2y21分别变成什么图形？实用文档x，经过怎样的平移变换与伸缩变换才能得到函数y14.函数y？3x1x,五，作业1．点(x,y)经过伸缩变换x'3x，y.y'后的点的坐标是(3,4)，则x2y2．将直线x2y2变成直线2x'y'4的伸缩变换是.3．为得到函数yx),xR的图像，需将y2sinx,xR的图像上所有的点（）2sin(631倍（纵坐标不变）A.向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的63B.向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的1倍（纵坐标不变）63C.向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）6D.向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）64．曲线ysin(x)经过伸缩变换x'3xy'后的曲线方程是；62y5．将曲线x2y22x0变成曲线x'216y'24x'0的伸缩变换是.6.函数f(x)的图像是将函数log2(x1)的图像上各点的横坐标变为原来的1，纵坐标变为原来的1而得到的，则与3f(x)的图像关于原点对称的图像的解析式是。2y'yy'2yx'1x2问题一：（1）点（2，-3）经过伸缩变换后的点的坐标是；1y'y3解：变式1．（1，-1）；1（2）点(x,y)经过伸缩变换x'2x后的点的坐标是（-2，6），则x，y；y'3y解：变式2．x4,y2x'1x问题二：（1）．曲线9x24y236经过伸缩变换2后的曲线方程是'2y'21.1xy'y3x'1x（2）曲线C经过伸缩变换3后的曲线方程是4x'29y'236，则曲线C的方程是1yy'2x'2y'21.1．一般地，由kx=x'，y=y'所确定的伸缩变换，是伸缩系数为k向着y轴的伸缩变换。当k>1时，表示伸长；当k<1时，表示压缩，即曲线上所有的点的纵坐标不变，横坐标变为原来的k倍。这里P（x，y)是变换前的点，P'(x'，y')是变换后的点。2．同样由x=x'，向着x轴的伸缩变换。ky=y'所确定的伸缩变换是伸缩系数为k4，我生成的问题：三，我的收获：本节课的知识结构、学到的方法、易错点四，课堂检测：1．点(,1)x'2x(,3)；经过伸缩变换后的点的坐标是；2y'3y2．将点（2，3）变成点（3，2）的伸缩变换是（B）x'2xx'3xA.3B.232y'yy'y32C.x'yD.x'x1y'xy'y13．在伸缩变换x'2x与伸缩变换x'2x的作用下，单位圆x2y21分别变成什么图形？y'yy'2y解：在x'2x的作用下，单位圆变成椭圆x'2y'21；在x'2xy'y4y'的作用下，单位圆变成圆2yx'2y'24；4.函数yx，经过怎样的平移变换与伸缩变换才能得到函数y13x？1x解：分析：可考虑先伸缩，再平移；也可考虑先平移，再伸缩；也可交替地运用平移与伸缩。方法一、（先伸缩，再平移）y伸长到原来的1yx得y3x3倍：3x13x133(1x)x11x伸长到原来的3倍：y31得y11x)1x1x1x13(3向左平移1个单位，再向下平移1个单位：(y1)11得y11)。(x1x实用文档方法二、(先平移，再伸缩)1x11111x向左平移33．为了得到函数y),xR的图像，只需将函数y2sinx,xR的图像上所有的点个单位:y139x得y9x2sin(33(x1336)（C）3再向下平移1个单位：(y1)11得y1A.向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的1倍（纵坐标不变）3339x9x63x伸长到原来的9倍：y11B.向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的1倍（纵坐标不变）1x39(x)69C.向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）方法三、（平移与伸缩的交替运用）61x1xxD.向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）x伸长到原来的3倍：y331161x得3yx13(x)11x1)经过伸缩变换x'3xy'2sin(x')；34．曲线ysin(xy'后的曲线方程是1162y36向左平移1个单位：3y11)11(xxy伸长到原来的3倍：3(1y)11得y1131x1xx'2x5．将曲线x2y20变成曲线x'216y'24x'0的伸缩变换是向下平移1个单位：y11得y2xy'1.xx2y评注：这是一道培养发散思维能力的好题。6.函数f(x)的图像是将函数log2(x1)的图像上各点的横坐标变为原来的1，纵坐标变为原来的13,五，作业而得到的，则与f(x)的图像关于原点对称的图像的解析式是。2x'3x解：ylog2(x1)以3x,2y分别代x,y得2ylog2(3x1)1．点(x,y)经过伸缩变换后的点的坐标是(3,4)，则xx，y'2y11ylog2(3x1)，它的图像关于原点对称的图像的解析式是log2(3x1)有f(x)yy222.y1log2(13x)22．将直线x2y2变成直线2x'y'4的伸缩变换是x'x.y'4y4.①已知点P(2,3)按向量a(1,4)平移至点Q，求点Q的坐标;②已知点P(3,2)按向量a平移至点Q(2,0)，求平移向量a.〖典例剖析〗【例1】：求下列点经过横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的3倍后的点的坐标：（1）（1，2）；（2）（-2，-1）.【例1】解：（1）（2，6）；（2）（-4，-3）.【变式与拓展1】．x'2x【例2】：在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形：y'3y（1）2x3y0；（2）x2y21.【例2】解：（1）x'y'0；（2）x'2y'21492.将函数ysinx图象上所有点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标拉伸为原来的2倍，得到的函数图象的解析式为（）A.y1sin2xB.y1sin1xC.y2sin2xD.y2sin1x22223.将点P(2,2)变换为点P(6,1)所用的伸缩变换公式是（）11x3xx3xA.x3xB.x2xC.1D.y2yy2yy3yy2y5.将对数函数ylog3x曲线的横坐标拉伸为原来的2倍，求所得曲线的方程.x3x6.在同一直角坐标系中，已知伸缩变换:2yy.①.求点A(1,2)经过变换所得到的点A的坐标；3②.点B经过变换得到点B(3,2B的坐标1)，求点③.求直线l:y6x经过变换后所得到的直线l的方程；④.求双曲线C:x2y21经过变换后所得到的曲线C的焦点坐标.64实用文档7.在平面直角坐标系中求将曲线C:x2y21变为曲线C:x2y21的伸缩变94换.8.方程C:3x24y218x16y70表示何种曲线，求它的中心坐标、焦点坐