椭圆及其
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方程教学目标：理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程的推导和标准方程。通过椭圆方程的推导培养学生的分析探索能力，掌握解决解析几何问
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——数形结合。重点：椭圆的定义和椭圆的标准方程。难点：椭圆的标准方程的推导，椭圆的定义中加以限制的原因。 1．
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背景：1997年初，中国科学院紫金山天文台发布了一条消息，从1997年2月中旬起,海尔·波普彗星将逐渐接近地球，过4月以后,又将渐渐离去,并预测3000年后,它还将光临地球上空．1997年2月至3月间,许多人目睹了这一天文现象，天文学家是如何计算出彗星出现的准确时间呢？原来，海尔·波普彗星运行的轨道是一个椭圆，通过观察它运行中的一些有关数据，可以推算出它的运行轨道的方程，从而算出它运行周期及轨道的的周长。引入：行星运动轨迹2.探究：取一条一定长的细绳，把它的两个端点固定在图板上的F1和F2两点，用笔尖拉紧绳，使笔尖在小黑板上慢慢地移动，移动笔尖的过程中，细绳长度保持不变，画出一条曲线。学生演示M定义：我们把平面内与两定点F1，F2，的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。注意:（1）必须在平面内.（2）|F1F2|<常数思考：在同样的绳长下，两定点间距离较长，则所画出的椭圆较——在同样的绳长下，两定点间距离较短，则所画出的椭圆较—由此可知，椭圆的形状与两定点间距离、绳长有关．扁圆结论:当绳长等于|F1F2|时,作出的是一条线段。当绳长小于|F1F2|时，不能作出任何曲线。如何求椭圆的轨迹方程？思考：求曲线方程的方法步骤是什么？思考：当绳长等于|F1F2|时，笔尖的轨迹是什么？当绳长小于|F1F2|时，笔尖的轨迹是什么？怎样建立平面直角坐标系呢？椭圆的焦距为2c(c>0)，M与F1、F2的距离的和为2a2、椭圆的标准方程以F1、F2所在的直线为x轴，线段F1F2的中点为原点建立直角坐标系。设M(x,y)是椭圆上任一点，椭圆的焦距为2c(c>0)，M与F1、F2的距离的和等于2a，则F1(-c,0)、F2(c,0)，移项平方整理得叫做椭圆的标准方程。12yoFFMx它所
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示的椭圆的焦点在x轴上，焦点是，中心在坐标原点的椭圆方程,其中通常2c表示焦距，2a表示距离和注意:若坐标系的选取不同，可得到椭圆的不同的方程.如果椭圆的焦点在y轴上（选取方式不同，调换x,y轴）焦点则变成,只要将方程中的调换，即可得(a>b>0)也是椭圆的标准方程．如图所示：.p0xy（０，a）(0,-a)(a222)0ba1ybx2>>=+*椭圆的两种标准方程的异同点:同:形状相同,大小相同都有a>b>0,a>c>0, .异：两种椭圆相对于坐标系的位置不同，它们的焦点坐标也不同．判定下列椭圆的焦点在？轴，并指明a2、b2，写出焦点坐标：答：在X轴。（-3，0）和（3，0）答：在y轴。（0，-5）和（0，5）答：在y轴。（0，-1）和（0，1）判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则：焦点在分母大的那个轴上。例1．椭圆的两个焦点的坐标分别是（－4，0）（4，0），椭圆上一点P到两焦点距离之和等于10，求椭圆的标准方程。讲评例题12yoFFMx.解：∵椭圆的焦点在x轴上∴设它的标准方程为:∵2a=10,2c=8∴a=5,c=4∴b2=a2－c2=52－42=9∴所求椭圆的标准方程为例2已知椭圆的两个焦点的坐标分别是（-2，0）、（2，0）并且经过点求椭圆适合下列条件的标准方程。解：（1）因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为（a>b>0)由椭圆的定义知，所以所求椭圆的标准方程为求椭圆的标准方程（1）首先要判断类型，（2）用待定系数法求利用椭圆的定义求方程,有等式：a2=b2+c2例3、已知△ABC的一边BC固定，长为6，周长为16，求顶点A的轨迹方程。课堂练习yoBCAx.解：以BC的中点为原点，BC所在的直线为x轴建立直角坐标系。根据椭圆的定义知所求轨迹方程是椭圆，且焦点在轴上，所以可设椭圆的标准方程为：∵2a=10,2c=6∴a=5,c=3∴b2=a2－c2=52－32=16∴所求椭圆的标准方程为4:课堂练习1椭圆 上一点P到一个焦点的距离为5，则P到另一个焦点的距离为（）A.5B.6C.4D.102.椭圆 的焦点坐标是（）A.(±5，0) B.(0，±5)C.(0，±12) D.(±12，0)CA3.已知椭圆的方程为，焦点在X轴上，则其焦距为（）A2B2C2D2A,焦点在y轴上的椭圆的标准方程是__________.1、椭圆的定义（强调2a>|F1F2|）和椭圆的标准方程2、椭圆的标准方程有两种，注意区分4、求椭圆标准方程的方法3、根据椭圆标准方程判断焦点位置的方法应注意以下几点:①椭圆的定义中,； ． ②椭圆的标准方程中,焦点的位置看x,y的分母大小来确定；③a、b、c的几何意义．cba1、推导焦点在y轴时椭圆的标准方程2、习题2.1（2）、（3）
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