第PAGE\*MERGEFORMAT1页共8页天津南开中学2013届高三第四次月考数学试卷（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷本卷共8小题，每小题5分，共40分。一、选择题：在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.i是虚数单位，复数＝（）A.B.C.D.2.已知条件，条件，且是的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（）A.B.C.D.3.阅读下边的程序框图，运行相应的程序，当输入x的值为－25时，输出x的值为（）A.－1B.1C.3D.94.数列的前n项和为，则数列的前50项的和为（）A.49B.50C.99D.1005.二项式的展开式中的常数项是（）A.－28B.－7C.7D.286.为了得到函数的图象，只需将函数的图象（）A.向左平移个长度单位B.向右平移个长度单位C.向左平移个长度单位D.向右平移个长度单位7.平面向量与的夹角为，，则＝（）A.B.C.7D.38.设是定义在R上的周期函数，周期为，对都有，且当时，，若在区间内关于x的方程＝0恰有3个不同的实根，则a的取值范围是（）A.（1，2）B.C.D.第Ⅱ卷本卷共12小题，共110分。二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。9.某校
高中
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生共有2000人，其中高
一年级
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560人，高二年级640人，高三年级800人，现采取分层抽样抽取容量为100的样本，那么高二年级应抽取的人数为人。10.一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：cm2）为。11.已知变量x，y满足约束条件，则的最大值为。12.已知双曲线的左右焦点为，P为双曲线右支上的任意一点，若的最小值为8a，则双曲线的离心率的取值范围是。13.如图所示，圆O是△ABC的外接圆，过点C的切线交AB的延长线于点D，CD＝，AB＝BC＝3，则AC的长为。14.若不等式对任意都成立，则实数a取值范围是。三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.（本小题13分）已知向量，函数·（1）求函数的最小正周期T及单调减区间（2）已知分别是△ABC内角A，B，C的对边，其中A为锐角，且，求A，b和△ABC的面积S16.（本小题13分）张师傅驾车从公司开往火车站，途径4个公交站，这四个公交站将公司到火车站分成5个路段，每个路段的驾车时间都是3分钟，如果遇到红灯要停留1分钟，假设他在各交通岗是否遇到红灯是相互独立的，并且概率都是（1）求张师傅此行时间不少于16分钟的概率（2）记张师傅此行所需时间为Y分钟，求Y的分布列和均值17.（本小题13分）如图，已知四棱锥E－ABCD的底面为菱形，且∠ABC＝60°，AB＝EC＝2，AE＝BE＝（1）求证：平面EAB⊥平面ABCD（2）求二面角A－EC－D的余弦值18.（本小题13分）已知数列满足，（1）证明：数列是等比数列，并求出的通项公式（2）设数列的前n项和为，且对任意，有成立，求19.（本小题14分）设点P是曲线C：上的动点，点P到点（0，1）的距离和它到焦点F的距离之和的最小值为（1）求曲线C的方程（2）若点P的横坐标为1，过P作斜率为的直线交C与另一点Q，交x轴于点M，过点Q且与PQ垂直的直线与C交于另一点N，问是否存在实数k，使得直线MN与曲线C相切？若存在，求出k的值，若不存在，说明理由。20.（本小题14分）已知函数的最小值为0，其中。（1）求a的值（2）若对任意的，有成立，求实数k的最小值（3）证明
试题
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答案一、选择题1.B2.C3.C4.A5.C6.A7.A8.D二、填空题9.3210.11.1112.13.14.三、解答题15.解：（1）所以，最小正周期为所以，单调减区间为（2），，由得，解得故16.解：（1）（2）记张师傅此行遇到红灯的次数为X，则，，依题意，，则Y的分布列为Y1516171819PY的均值为17.解：（1）证明：取AB的中点O，连接EO，CO△AEB为等腰直角三角形∴EO⊥AB，EO＝1又∵AB＝BC，∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，，又∵EO⊥平面ABCD，又EO平面EAB，∴平面EAB⊥平面ABCD（2）以AB的中点O为坐标原点，OB所在直线为y轴，OE所在直线为z轴，如图建系则，，＝（0，2，0）设平面DCE的法向量为，则，即，解得：同理求得平面EAC的一个法向量为，所以二面角A－EC－D的余弦值为18.解：（1）由可得，是以2为首项，3为公比的等比数列（2）时，时，设则综上，19.解：（1）依题意知，解得，所以曲线C的方程为（2）由题意设直线PQ的方程为：，则点由，，得，所以直线QN的方程为由，得所以直线MN的斜率为过点N的切线的斜率为所以，解得故存在实数k＝使命题成立。20.解：（1）的定义域为，由，得，当x变化时，的变化情况如下表：x－0＋↘极小值↗因此，在处取得最小值，故由题意，所以。（Ⅱ）解：当时，取，有，故不合题意。当时，令，即。，令，得－1。（1）当时，在上恒成立，因此在上单调递减，从而对于任意的，总有，即在上恒成立。故符合题意。（2）当时，，对于，，故在内单调递增，因此当取时，，即不成立。故不合题意，综上，k的最小值为。（Ⅲ）证明：当n＝1时，不等式左边＝右边，所以不等式成立。当时，。在（Ⅱ）中取，得，从而，所以有。综上，。
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