(完整word版)天一专升本高数知识点

第一讲函数、极限、连续1、基本初等函数的定义域、值域、图像，尤其是图像包含了函数的所有信息。2、函数的性质，奇偶性、有界性奇函数：f(x)f(x)，图像关于原点对称。偶函数：f(x)f(x)，图像关于y轴对称3、无穷小量、无穷大量、阶的比较设α，β是自变量同一变化过程中的两个无穷小量，则（1）若limα0，则αβ是比β高阶的无穷小量。（2）若limαc（不为αβ0），则与β是同阶无穷小量特别地，若limα1，则αβ是等价无穷小量与β（3）若limααββ，则与是低阶无穷小量记忆方法：看谁趋向于0的速度快，谁就趋向于0的本领高。4、两个重要极限（1）limsinxlimx1x0xx0sinx使用方法：拼凑limsinlimsin0，一定保证拼凑sin后面和分母保持一致001x1（2）lim1lim(1xxex)xx0使用方法1后面一定是一个无穷小量并且和指数互为倒数，不满足条件得拼凑。a0,nmb0Pnx5、lim0,nmQmXx,nmPnx的最高次幂是n,Qmx的最高次幂是m.,只比较最高次幂，谁的次幂高，谁的头大，趋向于无穷大的速度快。nm,以相同的比例趋向于无穷大；nm，分母以更快的速度趋向于无穷大；nm，分子以更快的速度趋向于无穷大。7、左右极限左极限：limf(x)Axx0右极限：limf(x)Axx0注：此条件主要应用在分段函数分段点处的极限求解。8、连续、间断连续的定义：limylimf(x0x)f(x0)0x0x0或limf(x)f(x0)xx0间断：使得连续定义limf(x)f(x0)无法成立的三种情况xx0记忆方法：1、右边不存在2、左边不存在3、左右都存在，但不相等9、间断点类型（1）、第二类间断点：limf(x)、limf(x)至少有一个不存在xx0xx0（2）、第一类间断点：limf(x)、limf(x)都存在xx0xx0注：在应用时，先判断是不是“第二类间断点”，左右只要有一个不存在，就是“第二类”然后再判断是不是第一类间断点；左右相等是“可去”，左右不等是“跳跃”、闭区间上连续函数的性质（1）最值定理：如果f(x)在a,b上连续，则f(x)在a,b上必有最大值最小值。（2）零点定理：如果f(x)在a,b上连续，且f(a)f(b)0，则f(x)在a,b内至少存在一点，使得f()0第三讲中值定理及导数的应用1、罗尔定理如果函数yf(x)满足：（1）在闭区间a,b上连续；（2）在开区间（a,b）内可导；（3）f(a)f(b)，则在(a,b)内至少存在一点，使得f()0记忆方法：脑海里记着一幅图：2、拉格朗日定理如果yf(x)满足（1）在闭区间a,b上连续（2）在开区间（a,b）内可导；则在(a,b)内至少存在一点，使得f()f(b)f(a)bba脑海里记着一幅图：（*）推论1：如果函数yf(x)在闭区间a,b上连续，在开区间（a,b）内可导，且f(x)0，那么在(a,b)内f(x)=C恒为常数。记忆方法：只有常量函数在每一点的切线斜率都为0。（*）推论2：如果f(x),g(x)在a,b上连续，在开区间(a,b)内可导，且f(x)g(x),x(a,b)，那么f(x)g(x)c记忆方法：两条曲线在每一点切线斜率都相等3、驻点满足f(x)0的点，称为函数f(x)的驻点。几何意义：切线斜率为0的点，过此点切线为水平线4、极值的概念设f(x)在点x0的某邻域内有定义，如果对于该邻域内的任一点x,有f(x)f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)的极大值，x0称为极大值点。设f(x)在点x0的某邻域内有定义，如果对于该邻域内的任一点x,有f(x)f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)的极小值，x0称为极小值点。记忆方法：在图像上，波峰的顶点为极大值，波谷的谷底为极小值。5、拐点的概念连续曲线上，凸的曲线弧与凹的曲线弧的分界点，称为曲线的拐点。注yx3在原点即是拐点6、单调性的判定定理设f(x)在(a,b)内可导，如果f(x)0，则f(x)在(a,b)内单调增加；如果f(x)0，则f(x)在(a,b)内单调减少。记忆方法：在图像上凡是和右手向上趋势吻合的，是单调增加，f(x)0；在图像上凡是和左手向上趋势吻合的，是单调减少，f(x)0；7、取得极值的必要条件可导函数f(x)在点x0处取得极值的必要条件是f(x0)08、取得极值的充分条件第一充分条件：设f(x)在点x0的某空心邻域内可导，且f(x)在x0处连续，则（1）如果xx0时，f(x)0;xx时，f(x)0,那么f(x)在x0处取得极大值f(x0)；0（2）如果xx0时，f(x)0；xx0时，f(x)0，那么f(x)在x0处取得极小值f(x0)；（3）如果在点x0的两侧，f(x)同号，那么f(x)在x0处没有取得极值；记忆方法：在脑海里只需记三副图，波峰的顶点为极大值，波谷的谷底为极小值。第二充分条件：设函数f(x)在点x0的某邻域内具有一阶、二阶导数，且f(x0)0，f(x0)0则（1）如果f(x0)0，那么f(x)在x0处取得极大值f(x0)；（2）如果f(x0)0，那么f(x)在x0处取得极小值f(x0)9、凹凸性的判定设函数f(x)在(a,b)内具有二阶导数，（1）如果f(x)0,x(a,b)，那么曲线f(x)在(a,b)内凹的；（2）如果f(x)0,x(a,b)，那么f(x)在(a,b)内凸的。图像表现：凹的表现凸的表现10、渐近线的概念曲线f(x)在伸向无穷远处时，能够逐步逼近的直线，称为曲线的渐近线。（1）水平渐近线：若limf(x)A,则yf(x)有水平渐近线yAx(2)垂直渐近线：若存在点x0，limf(x)，则yf(x)有垂直渐近线xx0x（2）求斜渐近线：若limf(x),lim()yaxbxxaxfxaxb，则为其斜渐近线。11、洛必达法则遇到“0”，就分子分母分别求导，直至求出极限。”、“0如果遇到幂指函数，需用f(x)elnf(x)把函数变成“0”、“”。0第二讲导数与微分1、导数的定义（1）、f(x0)limylimf(x0x)f(x0)0x0x0（2）、f(x0)limf(x0h)f(x0)h0h（3）、f(x0)limf(x)f(x0)xx0xx0注：使用时务必保证x0后面和分母保持一致，不一致就拼凑。2、导数几何意义：f(x0)在xx0处切线斜率法线表示垂直于切线，法线斜率与f(x0)乘积为—13、导数的公式，记忆的时候不仅要从左到右记忆，还要从右到左记忆。4、求导方法总结1）、导数的四则运算法则2）、复合函数求导：yfx是由yf(u)与u(x)复合而成，则3对于F(x,y)0，遇到y，把y当成中间变量u，然后利用复合函数求导方法。（4）、参数方程求导x(t)f(x)，则dydy(t)dt设确定一可导函数yy(t)dxdx(t)dt、对数求导法先对等号两边取对数，再对等号两边分别求导6）、幂指函数求导幂指函数yu(x)v(x)，利用公式aelnayelnu(x)v(x)v(x)lnu(x)e然后利用复合函数求导方法对指数单独求导即可。第二种方法可使用对数求导法，先对等号两边取对数，再对等号两边分别求导注：优选选择第二种方法。5、高阶导数对函数f(x)多次求导，直至求出。6、微分记忆方法：微分公式本质上就是求导公式，后面加dx，不需要单独记忆。7、可微、可导、连续之间的关系可微可导可导连续，但连续不一定可导8、可导与连续的区别。脑海里记忆两幅图（1）（2）yx2在x=0既连续又可导。yx在x=0只连续但不可导。所以可导比连续的要求更高。第四讲不定积分一、原函数与不定积分1、原函数：若F(x)f(x)，则F(x)为f(x)的一个原函数；2、不定积分：f(x)的所有原函数F(x)+C叫做f(x)的不定积分，记作f(x)dxF(x)C二、不定积分公式记忆方法：求导公式反着记就是不定积分公式三、不定积分的重要性质1、f(x)dxf(x)或df(x)dxf(x)dx2、f(x)dxf(x)c注：求导与求不定积分互为逆运算。四、积分方法1、基本积分公式2、第一换元积分法（凑微分法）把求导公式反着看就是凑微分的方法，所以不需要单独记忆。3、第二换元积分法a2x2令xasint三角代换x2a2令xasectx2a2令xatant三角代换主要使用两个三角公式：sin2tcos2t1,1tan2tsec2t4、分部积分法udvuvvdu第五讲定积分1、定积分定义bnf(x)dxlimf(i)xiax0i1如果f(x)在a,b上连续，则f(x)在a,b上一定可积。理解：既然在闭区间上连续，那么在闭区间上形成的就是一个封闭的曲边梯形，面积存在所以一定可积，因为面积是常数，所以定积分如果可积也是常数。2、定积分的几何意义（1）如果f(x)在a,b上连续，且f(x)0bf(x)dx表示由f(x)，xa,xb,x轴所围成的曲，则ab边梯形的面积。S=af(x)dx。如果f(x)在a,b上连续，且f(x)0b（2），S=af(x)dx。3、定积分的性质：bb（1）akf(x)dxkaf(x)dxbbb（2）af(x)g(x)dx=af(x)dxag(x)dxbcb（3）af(x)dxaf(x)dxcg(x)dxbbaa0af(x)dxb（4）1dxf(x)dxbf(x)dxaaabb（5）如果f(x)g(x)，则af(x)dxag(x)dx（6）设m,M分别是f(x)在a,b的min,max,则Mm记忆：小长方形面积曲边梯形面积大长方形面积（7）积分中值定理如果f(x)在a,b上连续，则至少存在一点a,b，使得ba)f(x)dxf()(ba记忆：总可以找到一个适当的位置，把凸出来的部分切下，剁成粉末，填平在凹下去的部分使曲边梯形变成一个长方形。1b称baaf(x)dx为f(x)在a,b上的平均值。4、积分的计算（1）、变上限的定积分注：由此可看出来(x)是x而不是t2）、牛顿—莱布尼兹公式xaf(t)dt是f(x)的一个原函数。而且变上限的定积分的自变量只有一个设f(x)在a,b上连续，F(x)是f(x)的一个原函数，则babF(b)F(a)f(x)dxF(x)a由牛顿公式可以看出，求定积分，本质上就是求不定积分，只不过又多出一步代入积分上下限，所以求定积分也有四种方法。5、奇函数、偶函数在对称区间上的定积分（1）、若f(x)在a,a（2）、若f(x)在a,aa上为奇函数，则aa上为偶函数，则af(x)0af(x)20f(x)dx注：此方法只适用于对称区间上的定积分。6、广义积分（1）无穷积分7、定积分关于面积计算面积Sba,b上的定积分。f(x)g(x)dx，记忆：面积等于上函数减去下函数在边界adcd面积S=c(y)(y)dy记忆方法：把头向右旋转90°就是第一副图。8、旋转体体积1）yf(x)abx曲线f(x)绕x轴旋转一周所得旋转体体积：Vxb2af(x)dx2）、f(x)abx轴旋转一周所得旋转体体积：Vxbf2xg2(x)dx阴影部分绕绕a（3）、ydcx(y)绕y轴旋转一周所得旋转体体积：d2xVy(y)dyc(4)、ydcx阴影部分绕绕y轴旋转一周所得旋转体体积:Vyd2(y)2(y)dyc（二）、直线与平面的相关考试 内容 财务内部控制制度的内容财务内部控制制度的内容人员招聘与配置的内容项目成本控制的内容消防安全演练内容 一、二元函数的极限定义：设函数zf(x,y)在点(x0,y0)某邻域有定义（但(x0,y0)点可以除外），如果当点(x,y)无论沿着任何途径趋向于(x0,y0)时，zf(x,y)都无限接近于唯一确定的常数A，则称当点(x,y)趋向于(x0,y0)时，f(x,y)以A为极限，记为二、二元函数的连续性若limf(x,y)f(x0,y0)，则称zf(x,y)在点(x0,y0)连续。(x,y)(x0,y0)注：zf(x,y)的不连续点叫函数的间断点，二元函数的间断点可能是一些离散点，也可能是一条或多条曲线。三、二元函数的偏导数四、偏导数求法由偏导数定义可看出，对哪个变量求偏导就只把哪个变量当成自变量，其它的变量都当成常数看待。五、全微分：dzzdxzdyxy六、二元函数的连续、偏导、可微之间的关系二元函数可微，则必连续，可偏导，但反之不一定成立。若偏导存在且连续，则一定可微。函数zf(x,y)的偏导存在与否，与函数是否连续毫无关系。七、二元复合函数求偏导设zf(u,v),u(x,y),v(x,y)，zzuzvzzuzv则uxvx，uyvyxy注：有几个中间变量就处理几次，按照复合函数求导处理。八、隐函数求偏导方程F(x,y,z)0确定的隐函数为zf(x,y)，则对等号两边同时对x求导，遇到z的函数，把z当成中间变量。第八讲多元函数积分学 知识点 高中化学知识点免费下载体育概论知识点下载名人传知识点免费下载线性代数知识点汇总下载高中化学知识点免费下载 一、二重积分的概念、性质n1、f(x,y)dxdylimf(i,i)i，几何意义：代表由f(x,y)，D围成的曲顶柱体体积。Dd0i12、性质：（1）kf(x,y)dxdykf(x,y)dxdyDD2）D（3）、f(x,y)g(x,y)dxdy=f(x,y)dxdy+g(x,y)dxdyDDdxdyDD（4）DD1D2,f(x,y)dxdy=f(x,y)dxdy+f(x,y)dxdyDD1D2(5)若f(x,y)g(x,y)，则f(x,y)dxdyg(x,y)dxdyDD（6）若mf(x,y)M,则mDf(xydxdyMD,)D(7)设f(x,y)在区域D上连续，则至少存在一点(,)D，使f(x,y)dxdyf(,)DD二、计算（1）D:axb,1(x)y2(x)（2）D：cyd,1(y)x2(y)，技巧：“谁”的范围最容易确定就先确定“谁”的范围，然后通过划水平线和垂直线的方法确定另一个变量的范围（3）极坐标下：xrcos,yrsin,dxdyrdrd三、曲线积分1、第一型曲线积分的计算（1）若积分路径为L：y(x),axb，则f(x,y)ds=b1((x))2dxf(x,(x))La（2）若积分路径为L：x(y),cyd，则f(x,y)ds=d(y),y)1((y))2dyf(Lc（3）若积分路为L：x(t)，t，则y(t)Lf(x,y)ds=f((t),(t))((t))2((t))2dt2、第二型曲线积分的计算1）若积分路径为L：2）若积分路径为L：(x)x(y)，起点，起点a,终点yb，则yc，终点yd，则（3）x(t)，终点t若积分路为L：，起点t，则y(t)第九讲常微分方程一、基本概念1）微分方程：包含自变量、未知量及其导数或微分的方程叫做微分方程。其中未知函数是一元函数的叫常微分方程。2）微分方程的阶：微分方程中未知函数导数的最高阶数。（3）微分方程的解：满足微分方程yf(x)或f(x,y)0。前者为显示解，后者称为隐式解4）微分方程的通解：含有相互独立的任意常数且任意常数的个数与方程的阶数相同的解5）初始条件：用来确定通解中任意常数的附加条件。6）微分方程的特解：通解中的任意常数确定之后的解。二、一阶微分方程1、可分离变量的微分方程（1）形如dyf(x)g(y)的微分方程。dx解法：变形为1()dyfxdx，两边作不定积分求出通解。g(y)（2）形如dyfy的微分方程。dxxy解法：令u，则yux，两边对x求导，然后代入原方程，则变量分离x2、一阶线性微分方程一阶线性齐次微分方程形如一阶线性非齐次微分方程形如dyP(x)y0。解法：变量分离dxdyP(x)yQ(x)解法：常数变易法或公式法dxP(x)dxQ(x)eP(x)dx注：一阶线性非齐次微分方程的通解公式为：yedxC在通常使用中建议选择常数变易法