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2019 2020高中数学第五章两角和与差的正弦余弦和正切公式第三课时二倍角的正弦余弦正切公式课件

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2019 2020高中数学第五章两角和与差的正弦余弦和正切公式第三课时二倍角的正弦余弦正切公式课件第三课时二倍角的正弦、余弦、正切公式(一)教材梳理填空二倍角的正弦、余弦、正切公式三角函数公式简记正弦sin2α=____________S2α余弦cos2α=cos2α-sin2α=__________=__________C2α正切tan2α=T2α2sinαcosα2cos2α-11-2sin2α2tanα1-tan2α(二)基本知能小试1.判断正误(1)对于任意角α,总有sin2α=2sinα.()(2)对于任意角α,总有cos2α=1-2cos2α.()(3)对于任意角α,总有cos2α=2sin2α-1...

2019 2020高中数学第五章两角和与差的正弦余弦和正切公式第三课时二倍角的正弦余弦正切公式课件
第三课时二倍角的正弦、余弦、正切公式(一)教材梳理填空二倍角的正弦、余弦、正切公式三角函数公式简记正弦sin2α=____________S2α余弦cos2α=cos2α-sin2α=__________=__________C2α正切tan2α=T2α2sinαcosα2cos2α-11-2sin2α2tanα1-tan2α(二)基本知能小试1.判断正误(1)对于任意角α,总有sin2α=2sinα.()(2)对于任意角α,总有cos2α=1-2cos2α.()(3)对于任意角α,总有cos2α=2sin2α-1.()(4)对于任意角α,总有tan2α=2tanα1-tan2α.()(5)对于任意角α,总有1+sin2α=sinα+cosα.()(6)对于任意角α,总有1-sin2α=|sinα-cosα|.()答案:(1)×(2)×(3)×(4)×(5)×(6)√2.下列各式中,值为32的是()A.2sin15°cos15°B.cos215°-sin215°C.2sin215°-1D.sin215°+cos215°解析:对于A,2sin15°cos15°=sin30°=12,对于B,cos215°-sin215°=cos30°=32,对于C,2sin215°-1=-cos30°=-32,对于D,sin215°+cos215°=1,故选B.答案:B3.1-tan215°2tan15°=()A.3B.33C.1D.-1解析:原式=12tan15°1-tan215°=1tan30°=3.答案:A4.12-cos2π8=________.解析:原式=-12??????2cos2π8-1=-12cosπ4=-24.答案:-24题型一二倍角公式的正用、逆用[学透用活]二倍角公式的应用(1)二倍角公式的逆用:2sinαcosα=sin2α,sinαcosα=12sin2α,cosα=sin2α2sinα,cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α=cos2α,2tanα1-tan2α=tan2α.(2)二倍角公式变形用:①升幂公式:1+cos2α=2cos2α,1-cos2α=2sin2α,1+cosα=2cos2α2,1-cosα=2sin2α2,1±sin2α=sin2α+cos2α±2sinαcosα=(sinα±cosα)2.②降幂公式:cos2α=1+cos2α2,sin2α=1-cos2α2,(sinα±cosα)2=1±sin2α.[典例1]求下列各式的值:(1)sinπ12cosπ12;(2)1-2sin2750°;[解](1)原式=2sinπ12cosπ122=sinπ62=14.(2)原式=cos(2×750°)=cos1500°=cos(4×360°+60°)=cos60°=12.[解](3)原式=cos10°-3sin10°sin10°cos10°=2????????12cos10°-32sin10°sin10°cos10°=4?sin30°cos10°-cos30°sin10°?2sin10°cos10°=4sin20°sin20°=4.(4)原式=2sin20°·cos20°·cos40°·cos80°2sin20°=2sin40°·cos40°·cos80°4sin20°=2sin80°·cos80°8sin20°=sin160°8sin20°=18.(3)1sin10°-3cos10°;(4)cos20°cos40°cos80°.[方法技巧]对于给角求值问题的两种类型及解题策略(1)直接正用、逆用二倍角公式,结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式进行转化,一般可以化为特殊角.(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘,则一般逆用二倍角的正弦公式,在求解过程中,需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件,使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式.[对点练清]1.化简cos25°-sin25°sin40°cos40°=()A.1B.2C.12D.-1解析:cos25°-sin25°sin40°cos40°=cos10°12sin80°=cos10°12cos10°=2.故选B.答案:B2.3-sin70°2-cos210°=________.解析:3-sin70°2-cos210°=3-sin70°2-1+cos20°2=2?3-cos20°?3-cos20°=2.答案:2题型二条件求值[学透用活][典例2]已知cos??????π4+x=35,17π12<x<7π4,求sin2x+2sin2x1-tanx的值.[解]法一:将角π4+x视为整体,再利用倍角公式.sin2x+2sin2x1-tanx=2sinxcosx+2sin2x1-sinxcosx=2sinxcosx?cosx+sinx?cosx-sinx=2sin2x·2????????22cosx+22sinx2????????22cosx-22sinx=sin2x·sin??????x+π4cos??????x+π4.∵17π12<x<7π4,∴5π3<π4+x<2π,∴sin??????π4+x<0,∴sin??????π4+x=-45.注意到sin2x=-cos??????π2+2x=-cos??????2??????π4+x,故可利用二倍角的余弦公式求解.∴原式=-43sin2x=43cos??????2x+π2=43cos??????2??????x+π4=43??????2cos2??????x+π4-1=-2875.法二:由分母中“1-tanx”,联想到1+tanx1-tanx=tan??????π4+x,而其中的角正是“π4+x”.sin2x+2sin2x1-tanx=sin2x+2sinxcosx·sinxcosx1-tanx=sin2x·1+tanx1-tanx=sin2x·tan??????π4+x.∵17π12<x<7π4,∴5π3<π4+x<2π,∵cos??????π4+x=35,∴sin??????π4+x=-1-cos2??????π4+x=-45,∴tan??????π4+x=-43.又sin2x=-cos??????π2+2x=-cos??????2??????π4+x=-??????2cos2??????π4+x-1=1-2×925=725,∴原式=725×??????-43=-2875.法三:对所求的式子先化切为弦,再利用(sinα±cosα)2=1±sin2α.sin2x+2sin2x1-tanx=2sinxcosx+2sin2x1-sinxcosx=2sinxcosx?cosx+sinx?cosx-sinx.①由已知可得cosx-sinx=325,②∵17π12<x<7π4,∴5π3<π4+x<2π,故cosx+sinx=2sin??????π4+x<0.由②可求出2sinxcosx=725.③∴cosx+sinx=-425,④将②③④代入①得,原式=725×????????-425325=-2875.(2)当遇到π4±x这样的角时可利用互余角的关系和诱导公式,将条件与结论沟通.cos2x=sin??????π2-2x=2sin??????π4-xcos??????π4-x.类似的变换还有:cos2x=sin??????π2+2x=2sin??????π4+xcos??????π4+x,sin2x=cos??????π2-2x=2cos2??????π4-x-1,sin2x=-cos??????π2+2x=1-2cos2??????π4+x等.[方法技巧]解决条件求值问题的方法(1)有方向地将已知式或未知式化简,使关系明朗化;寻找角之间的关系,看是否适合相关公式的使用,注意常见角的变换和角之间的二倍关系.[对点练清]1.[直接求值]若sin(π-α)=13,且π2≤α≤π,则sin2α的值为()A.-429B.-229C.229D.429解析:因为sin(π-α)=13,所以sinα=13,又因为π2≤α≤π,所以cosα=-1-sin2α=-223,所以sin2α=2sinαcosα=2×13×????????-223=-429.答案:A2.[整体求值]已知sin??????π6+α=13,则cos??????2π3-2α=________.解析:cos??????2π3-2α=cos??????2??????π3-α=2cos2??????π3-α-1=2sin2??????α+π6-1=-79.答案:-793.[变角求值]已知sin??????π4-x=513,0<x<π4,求cos2xcos??????π4+x的值.解:原式=sin??????π2+2xcos??????π4+x=2sin??????π4+xcos??????π4+xcos??????π4+x=2sin??????π4+x.∵sin??????π4-x=cos??????π4+x=513,且0<x<π4,∴π4+x∈??????π4,π2,∴sin??????π4+x=1-cos2??????π4+x=1213,∴原式=2×1213=2413.题型三化简与 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 [学透用活][典例3](1)已知cos2α2sin??????α+π4=52,则tanα+1tanα等于()A.-8B.8C.18D.-18[解析]选Acos2α2sin??????α+π4=cos2α-sin2αsinα+cosα=cosα-sinα=52?(cosα-sinα)2=54?sinαcosα=-18,所以tanα+1tanα=sinαcosα+cosαsinα=1sinαcosα=-8.(2)证明:3tan12°-3sin12°?4cos212°-2?=-43.[解析]证明:左边=3tan12°-3sin12°?4cos212°-2?=3sin12°-3cos12°cos12°2sin12°?2cos212°-1?=23????????12sin12°-32cos12°2sin12°cos12°cos24°=23sin?12°-60°?sin24°cos24°=-23sin48°12sin48°=-43=右边.所以原等式成立.[方法技巧]1.应用二倍角公式化简(求值)的策略(1)关注四个方向:化简(求值)时分别从“角”“函数名”“幂”“形”着手分析,充分利用所学的三角函数的和、差、倍角等公式,首先从角入手,找出待化简(证明)的式子中角的差异,然后选择适当的公式“化异为同”,实现三角函数式的化简与证明.(2)注意统一:应用二倍角公式解题时,要注意公式中角的变化,若角的形式不统一,则需利用诱导公式统一角后再利用公式解题.2.证明三角恒等式的原则与步骤(1)观察恒等式两端的结构形式,处理原则是从复杂到简单,高次降低次,复角化单角,如果两端都比较复杂,就将两端都化简,即采用“两头凑”的思想.(2)证明恒等式的一般步骤①先观察,找出角、函数名称、式子结构等方面的差异;②本着“复角化单角”“异名化同名”“变换式子结构”“变量集中”等原则,设法消除差异,达到证明的目的.[对点练清]1.1+cos100°-1-cos100°=()A.-2cos5°B.2cos5°C.-2sin5°D.2sin5°解析:原式=2cos250°-2sin250°=2(cos50°-sin50°)=2????????22cos50°-22sin50°=2sin(45°-50°)=-2sin5°.答案:C2.求证:3-4cos2A+cos4A3+4cos2A+cos4A=tan4A.证明:左边=3-4cos2A+2cos22A-13+4cos2A+2cos22A-1=????????1-cos2A1+cos2A2=??????2sin2A2cos2A2=(tan2A)2=tan4A=右边.所以3-4cos2A+cos4A3+4cos2A+cos4A=tan4A.[课堂一刻钟巩固训练]一、基础经典题1.(2018·全国卷Ⅲ)若sinα=13,则cos2α=()A.89B.79C.-79D.-89解析:∵sinα=13,∴cos2α=1-2sin2α=1-2×??????132=79.故选B.答案:B2.(2017·全国卷Ⅲ)已知sinα-cosα=43,则sin2α=()A.-79B.-29C.29D.79解析:将sinα-cosα=43的两边进行平方,得sin2α-2sinαcosα+cos2α=169,即sin2α=-79.答案:A3.在△ABC中,已知cos2C=-14,则sinC的值为________.解析:因为cos2C=1-2sin2C=-14,且0
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