2013山东高考数学理科试题及答案1

2013年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)理科数学第I卷（共60分）一、选择题：本大题共12小题,每小题5分，共60分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若复数z满足(z3)(2i)5(i为虚数单位),则z的共轭复数z为(A)2i（B)2i(C）5i（D）5i2．已知集合A=｛0,1,2},则集合BxyxA,yA中元素的个数是(A）1(B）3(C）5（D)93．已知函数f(x)为奇函数，且当x0时,f(x)x21，则f(1)2x(A）（B）0(C）1（D)24．已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为9，底面是边长为3的正三角形。若P为4底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为（A）5(B）（C)(D)124365．将函数ysin(2x)的图象沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象,则的一个可能取值为8（A)3（B)（C）0(D）4442xy20,6．在平面直角坐标系xoy中，M为不等式组x2y10,所 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示的区域上一动点，则直线OM斜3xy80,率的最小值为（A）2（B）1（C)1（D)132p，q.若7．给定两个命题p是q的必要而不充分条件，则p是q的（A）充分而不必要条件(B）必要而不充分条件（C）充要条件（D)既不充分也不必要条件8．函数yxcosxsinx的图象大致为9．过点(3,1)作圆(x1)2y21的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（A）2xy30（B）2xy30（C）4xy30（D)4xy3010．用0,1，，9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为（A)243（B）252（C）261（D）27911．已知抛物线C:y1x2(p0)的焦点与双曲线C：x2y21的右焦点的连线交C于第一12p231象限的点M。若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p（A）3（B)3（C）23（D）431683321212．设正实数x,y,z满足x23xy4y2z0，则当xy取得最大值时，y的最大值为zxz（A）0（B）1(C）9(D）34二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。13．执行右图的程序框图，若输入的的值为0。25,则输出的n的值为_____。开始输入(0)F01,F12,n1F1F0F1F0F1F0nn11?否F1是输出n结束14．在区间3,3上随机取一个数x，使得x1x21成立的概率为。______15．已知向量AB与AC的夹角为120°，且AB3,AC2，若APABAC，且APBC，则实数的值为__________.16．定义“正对数"：lnx0,0x1,lnx,x1,现有四个命题:①若a0,b0,则ln(ab)blna；②若a0,b0,则ln(ab)lnalnb③若a0,b0，则ln(a)lnalnb④若a0,b0b，则ln(ab)lnalnbln2其中的真命题有__________________。(写出所有真命题的编号)三、解答题：本大题共6小题，共74分.17．（本小题满分12分)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且ac6，b2，cosB7.9(Ⅰ）求a,c的值；(Ⅱ）求sin(AB)的值。18．（本小题满分12分）如图所示，在三棱锥PABQ中,PB平面ABQ,BABPBQ，D,C,E,F分别是AQ,BQ,AP,BP的中点，AQ2BD，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连接GH。（Ⅰ）求证：ABGH；(Ⅱ）求二面角DGHE的余弦值。19．（本小题满分12分）甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束,除第五局甲队获胜的概率是1外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是2，假设各局比赛结果相互独立.23（Ⅰ)分别求甲队以3:0，3：1,3：2胜利的概率；(Ⅱ）若比赛结果为3：0或3:1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3：2，则胜利方得分、对方得1分。求乙队得分X的分布列及数学期望.20．(本小题满分12分）设等差数列an的前n项和为Sn,且S44S2,a2n2an1。（Ⅰ）求数列an的通项公式;（Ⅱ）设数列b前n项和为Tn，且Tan1（为常数）。令cnb2n(n*)。求数nnnN列cn2的前n项和Rn。21．（本小题满分13分）设函数f(x)xc(e=2。71828是自然对数的底数，cR）.e2x（Ⅰ）求f(x)的单调区间、最大值;x的方程lnxf(x)根的个数。（Ⅱ）讨论关于22．(本小题满分13分)椭圆C:x2y21(ab0)的左、右焦点分别是F,F，离心率为3,a2b2122过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1。（Ⅰ）求椭圆C的方程；(Ⅱ)点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1,PF2,设F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M(m,0),求m的取值范围;（Ⅲ)在(Ⅱ）的条件下，过P点作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点，设直线PF1,PF2的斜率分别为k1,k2，若k011,试 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 为定值，并求出这个定值。kk1kk2参考答案一、选择题1．D【解析】由（z—3）(2-i）=5，得z535(2i)35(2i)2i35i，2i(2i)(2i)53所以z5i,选D.2．C【解析】因为x,yA，所以xy2,1,0,1,2，即B{2,1,0,1,2}，有5个元素,选C。3．A【解析】因为函数为奇函数，所以f(1)f(1)(11)2，选A。4．B【解析】取正三角形ABC的中心，连结OP，则PAO是PA与平面ABC所成的角。因为底面边长为3，所以AD333,AO2AD231。三棱柱的体积为1(3)23AA19，解得22332224AA13，即OPAA13,所以tanOP3PAOPAO，即，选B.OA35．B【解析】将函数y=sin（2x+)的图像沿x轴向左平移个单位,得到函数8ysin[2(x)]sin(2x),因为此时函数为偶函数，所以4k,kZ,即842k,kZ,所以选B.46．C【解析】作出可行域如图由图象可知当x2y10x31),此时OM的斜M位于点D处时,OM的斜率最小。由y8得y，即D(3,3x01率为113，选C。37．A【解析】因为﹁p是q的必要而不充分条件，所以﹁q是p的必要而不充分条件，即p是﹁q的充分而不必要条件,选A.B，C。当x8．D【解析】函数y=xcosx+sinx为奇函数,所以图象关于原点对称,所以排除时，f()0，排除A,选D。AB直线的斜率9．A【解析】由图象可知，A(1,1)是一个切点,所以代入选项知，B,D不成立，排除。又为负,所以排除C，选A10．B【解析】有重复数字的三位数个数为91010900。没有重复数字的三位数有C91A92648,所以有重复数字的三位数的个数为900648=252，选B。11．D【解析】经过第一象限的双曲线的渐近线为y3x。抛物线的焦点为F(0,p),双曲线的右焦点32F2(2,0)。y'1M(x0,x0231x03，所以x03为px，所以在2p)处的切线斜率为3即p33p，即,p3pp0pp43三点F(0,(2,0)，M()共线，所以262即p,)，F2p,602,选D.233p3312．B【解析】由x23xy4y2z0，得zx23xy4yxyxy111，当且仅当x4y,即x2yzx23xy4y2x4y3x4yyx23yxyx2。所以时取等号此时z2y2，(xy)max1。2122122(11)2(11)zxyz2yyxyyxy2y114(2y22y)21,故选B。1113．3【解析】第一次循环，F1123,F0312,n0.25不成立。第二次循2，此时3F1环,F1235,F0523,n110.25成立,输出n3.3,此时5F114．13,3x1【解析】设f(x)x1x2,则f(x)x1x22x1,1x2。由2x11,33,2x3解得1x2,即当1x3时,f(x)1。由几何概型公式得所求概率为33121。(3)6315．7【解析】向量AB与AC的夹角为120，且|AB|3,|AC|2,所以121ABACABACcos120323.由APBC得,APBC0，即222APBC(ABAC)(ACAB)0(1)ABAC0,，所以ACAB即493(1)0,解得7。120时，ab1,ln(ab)lnab16．①③④【解析】①当a1,bblna,blnablna，所以ln(ab)blna成立。当0a1,b0时，0ab1,此时ln(ab)0,blna0，即ln(ab)blna成立。综上ln(ab)blna恒成立。②当ae,b1时，eln(ab)ln10,lnalne1,lnb0，所以ln(ab)lnalnb不成立。③讨论a,b的取值,可知正确.④讨论a,b的取值，可知正确.所以正确的命题为①③④。17．解:（Ⅰ）由余弦定理b2a2c22accosB，得b2a22ac(1cosB)，c又ac6,b2，7,.cosB，所以ac9a3，c3解得9(Ⅱ）在△ABC中，sinB1cos2B42，9由正弦定理得sinAasinB22,b31因为ac，所以A为锐角，所以cosA1sin2A3因此sin(AB)sinAcosBcosAsinB102。2718．解：（Ⅰ)证明：因为D,C,E,F分别是AQ,BQ,AP,BP的中点，所以EF∥AB，DC∥AB，所以EF∥DC，又EF平面PCD，DC平面PCD，所以EF∥平面PCD，又EF平面EFQ，平面EFQ平面PCDGH，所以EF∥GH，又EF∥AB,所以AB∥GH。（Ⅱ)解法一:在△ABQ中,AQ2BD,ADDQ,所以ABQ=90,即ABBQ，因为PB平面ABQ,所以ABPB，又BPBQB，所以AB平面PBQ,由（Ⅰ）知AB∥GH，所以GH平面PBQ，又FH平面PBQ，所以GHFH，同理可得GHHC，所以FHC为二面角DGHE的平面角，设BABQBP2，连接PC,在Rt△FBC中,由勾股定理得，FC2，在Rt△PBC中，由勾股定理得,PC5,又H为△PBQ的重心,所以HC153PC3同理FH5，3在△FHC中，由余弦定理得cosFHC即二面角D4。GHE的余弦值为5解法二：在△ABQ中，AQ2BD,AD5524995，259DQ，所以ABQ90，又PB平面ABQ，所以BA,BQ,BP两两垂直，以B为坐标原点，分别以BA,BQ,BP所在直线为x轴,y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设BABQBP2,则E(1,0,1)，F(0,0,1)，Q(0,2,0)，D(1,1,0)，C(0,1,0)P(0,0,2)，,所以EQ(1,2,1)，FQ(0,2,1),DP(1,1,2),CP(0,1,2)，设平面EFQ的一个法向量为m(x1,y1,z1)，由mEQ0,mFQ0，x12y1z10得02y1z1取y11，得m(0,1,2)。设平面PDC的一个法向量为n(x2,y2,z2)由nDP0，nCP0，得x2y22z20y22z20取z21，得n(0,2,1)。所以cosm,nmn4mn5因为二面角DGHE为钝角，所以二面角DGHE的余弦值为4。519．解：（Ⅰ）记“甲队以3：0胜利”为事件A1，“甲队以3:1胜利”为事件A2，“甲队以3:2胜利”为事件A3，由题意,各局比赛结果相互独立，故P(A1)(2)38，327P(A2)C32(2)2(12)28,33327P(A3)C41(2)2(12)214332278，8，4；所以，甲队以3：0，3：1，3：2胜利的概率分别是272727（Ⅱ）设“乙队以3:2胜利"为事件A4，由题意，各局比赛结果相互独立,所以P(A4)C41(12)2(2)2(11)433227由题意，随机变量X的所有可能的取值为0,1，2,3，，根据事件的互斥性得P(X0)P(A116A2)P(A1)P(A2)，427P(X1)P(A3)，27P(X2)P(A4)4，273P(X3)1P(X0)P(X1)P(X2)27故X的分布列为X0123P1644327272727所以EX016142433727272727920．解：（Ⅰ）设等差数列an的首项为a1，公差为d,由S44S2,a2n2an1得4a16d8a14d，a1(2n1)2a12(n1)d1解得，a11，d2因此an2n1(nN*)（Ⅱ）由题意知:Tnn2n1nn1所以n2时,bnTnTn12n12n2故，cnb2n2n2(n1)(1)n1(nN*)22n14所以Rn0(1)01(1)12(1)23(1)3(n1)(1)n1,44444则11112131n11n4Rn0(4)1(4)2(4)(n2)(4)(n1)(4)两式相减得3Rn(1112(131n1(n1)(1n44)(4)4)(4)4)1(1)n144(n)n11)(144整理得Rn13n1(44n1)913n1所以数列数列cn的前n项和Rn9(44n1)21．解：（Ⅰ)f'(x)(12x)e2x，由f'(x)0,解得x1，12当x时，f'(x)0,f(x)单调递减211所以,函数f(x)的单调递增区间是()，单调递减区间是,),,(最大值为f(1)122c22ex（Ⅱ）令g(x)lnxf(x)lnxcx(0,)2xex（1）当x(1,)时，lnx0，则g(x)lnxc,e2x所以，g'(x)e2x(e2x2x1)x因为2x10，e2x0所以g'(x)0x因此g(x)在(1,)上单调递增.（2）当x(0,1)时,当时，lnx0,则所以，g'(x)e2x(e2x2x1)x因为e2x(1,e2)，e2x1x0，又所以e2x2x10所以g'(x)xg(x)lnxxc，e2x2x110因此g(x)在(0,1)上单调递减。综合(1）（2）可知当x(0,)时，g(x)g(1)e2c，当g(1)e2c0，即ce2时,g(x)没有零点，故关于x的方程lnxf(x)根的个数为0；当g(1)e2c0，即ce2时，g(x)只有一个零点,故关于x的方程lnxf(x)根的个数为1；当g(1)e2c0，即ce2时，①当x(1,)时，由（Ⅰ）知g(x)lnxxclnx(1e1c)lnx1c要使g(x)0e2x2(e1c,);,只需使lnx1c0,即x②当x(0,1)时,由（Ⅰ）知g(x)lnxxclnx(1e1c)lnx1c；e2x2要使g(x)0，只需使lnx1c0，即x(0,e1c);所以当ce2时，g(x)有两个零点,故关于x的方程lnxf(x)根的个数为2；综上所述：当ce2时，关于x的方程lnxf(x)根的个数为0；当ce2时,关于x的方程lnxf(x)根的个数为1;当ce2时，关于x的方程lnxf(x)根的个数为2。22．解:（Ⅰ)由于c2a2b2,将xc代入椭圆方程x2y21得yb22a2b2a由题意知2b2b2c31，即a又eaa2所以a2，b1所以椭圆方程为x2y214（Ⅱ)由题意可知：PF1PM=PF2PM，PF1PM=PF2PM，设P(x0,y0)其中x024，|PF1||PM||PF2||PM||PF1||PF2|将向量坐标代入并化简得：m（4x0216)3x0312x0，因为x024，所以m3x0，而x0(2,2)，所以m(3,3)422（3）由题意可知，l为椭圆的在p点处的切线，由导数法可求得，切线方程为：x0xy0y1，所以kx0，而k1y0,k2y0，代入11中得44y0x3x3kk1kk2114(x03x03)8为定值。kk1kk2x0x0