大学数学高数微积分22Laplace变换性质课件

Laplace变换的性质这一节将介绍Laplace变换的几个重要性质.为了叙述方便,假定在这些性质中,凡是需要求Laplace变换的函数都满足Laplace积分定理中的条件.在证明这些性质时,不再重述这些条件.说明注意和Fourier变换比较区分.七、小结一、线性性质二、微分性质六、初值定理与终值定理三、积分性质四、位移性质五、延迟定理这个性质表明了函数线性组合的Laplace变换等于各个函数Laplace变换的线性组合.它的证明只需根据定义就可推出.1122[()](),[()](),??ftFsftFsLL1212-1-1-11212()()()()()()()()ftftftftFsFsFsFs???????????????????????????????????????????LLLLLL一、线性性质设?,?是常数,则[()](),ftFs?如果L??[()]()0ftsFsf???L??????[()]0Re0sftfs???L二、微分性质证明:由Laplace变换的定义,并利用分部积分可得0[()]()edstftftt???????L00()e()edststftsftt???????????[()]()0.ftsFsf???有L有它表明一个函数的导数的变换等于这个函数的变换乘以参变数，再减去函数的初值.LaplacLaplacees推论:[()](),ftFs?如果L????2[()]()00ftsFssff??????L????????12(1)[()]()000nnnnnftsFssfsff?????????LL????????110()0ReninniisFssfsc????????二、微分性质则??????（）特别地，当时，10000nfff??????[()]()ftsFs??L2[()]()ftsFs???L??[()]().nnftsFs?L此性质可以使我们有可能将的微分方程转化为的代数方程。??ft??Fs二、微分性质有LLLL例1利用微分性质求函数f(t)=coskt的Laplace变换.移项化简得22[cos](Re()0).sktssk???L由于2(0)1,(0)1,()cos,ffftkkt???????则????22cos()()(0)(0)kktftsftsff????????????LLL即????22coscos,kktskts???LL例2利用微分性质求函数f(t)=tm的Laplace变换所以10).mmmtss???L(其中m是正整数).![!]![1]mmms??LL由于(1)(0)(0)(0)0,mfff??????L而()()!.mftm?所以()[!][()]mmft?LL12(1)[()](0)(0)(0)mmmmsftsfsff?????????LL即[!][]mmmst?LL而象函数的微分性质[()]()ftFs?，L????()[()]ReFstftsc??L若则推论:????????()()1[()]RennnnFstftsc???L象函数的微分性质:例3求函数f(t)=tsinkt的Laplace变换.22[sin]kktsk??L因为22[sin]ddktktssk?????????L由象函数的微分性质,有??2222(Re()0)ksssk???同理22[cos]ddstktssk?????????L??22222(Re()0)skssk????三、积分性质0()()dthtftt??证明:，????(),ftFs?如果则L????()()(0)htshth???LL??01()dtfttFss????????L()()(0)0htfth???，??()sht?L根据微分性质:????011()().tfttftFsss?????????dLL故它表明一个函数积分后的变换等于这个函数的变换除以复参数.LaplaceLaplaces推论:0001dd()d()tttnttfttFssn??????????????L次三、积分性质由Laplace变换存在定理,可得象函数积分性质:若L[f(t)]=F(s),则()()dsftFsst?????????L()dd()dnsssnftssFsst?????????????次L三、积分性质求函数sinh()tftt??的Laplace变换.例4??2sinh1sinhdd1ssttssts?????????????LL21[sinh]1ts??因L1111lnln2121sssss???????，由微分性质得000()d,0()d()d,fttstfttFsst??????????如果存在取有其中F(s)=L[f(t)].此公式常用来计算某些积分.例421[sin],1ts??L例如,π0200sin1ddarctan|12ttssts??????????因为所以四、位移性质证明:根据Laplace变换式,有0[e()]e()edatatstftftt?????L()0()edsatftt??????L[eatf(t)]=F(s-a)(Re(s-a)>c)若L[f(t)]=F(s),则有上式右边只是在F(s)中将s换为s-a,得L[eatf(t)]=F(s-a)(Re(s-a)>c)性质表明了一个象原函数乘以指数函数eat的Laplace变换等于其象函数做位移a.四、位移性质求L[eattm].例51(1)[],mmmts????L1(1)[]()eatmmmtsa?????L可得:已知利用位移性质，例6求L[e–atsinkt].22[sin],kktsk??L22[esin]()atkktsak????L可得:利用位移性质，已知证明:五、延迟性质若L[f(t)]=F(s),又t<0时f(t)=0,则对于任一非负数t?0,有0[()]()edstftftt?????????L0()ed()edststfttftt??????????????????-1[()]ee()ststftFsFsft?????????????????LL()00()ede()edsussufuufuu??????????????,,dd)tututu???????(令e()(Re())sFssc????函数与f(t)相比,f(t)从t=0开始有非零数值.而是从开始才有非零数值.即延迟了一个时间t.从它的图像讲,是由沿t轴向右平移而得,其Laplace变换也多一个因子.??ft??t????ft????ftes????ft??五、延迟性质?Ot?f(t)f(t??)五、延迟性质求函数0,()1,tutt???????????的Laplace变换.?O例71[()],uts?已知L1[()]esuts?????L1()ut??则求如图所示的阶梯函数f(t)的Laplace变换.例8()[()()(2)]ftAututut????????L0()kAutk???????利用单位阶跃函数u(t)可将f(t)表示为3A2AAOtt2t3t4Af(t)利用Laplace变换的线性性质及延迟性质,可得?当时,有,所以,上式右端括号中为一公比的模小于1的等比级数,从而231111[()]eeesssftAssss?????????????????LL例8Re()0s?e1st??2211[()]1e1e1esssAAftss???????????????????????L1coth(Re()0)22Asss??????????例8一般地,若L[f(t)]=F(s),则对于任何,有00()[()]kkftkftk?????????????????LL0()e1()(Re())1eksksFsFssc????????????例80??求如图所示的单个半正弦波的Laplace变换.??ftEOt2T例9??ft??1ft??2ftEOtOtE2T2TTT由前图可知,例9所以??????12ftftft??12[()][()][()]ftftft??LLLππ2sin()2sin22EtutTTTEtutT??????????????????????????????LL例92222π2π(1e),2πTsETTsT????????????例10求如下图所示的半正弦波的Laplace变换.??Tft??TftOE2TT32T2T52Tt例10由例9可得从t=0开始的单个半正弦波的Laplace变换为222()(1e)TsEFss??????从而222()1[()]1e1eTTsTsFsEfts??????????L2πT??其中这是一个求周期函数Laplace变换的简单方法,即设是周期为的周期函数,如果(),0()0,TfttTft??????其他?且则????0Tftt?T()[()]1eTsTFsft???L[()](),ftFs?L例10六、初值定理与终值定理lim(),ssFs??且存在则[()](),ftFs?L若1.初值定理0lim()lim()tsftsFs????(0)lim()sfsFs???或写为证明:根据Laplace变换的微分性质,??limSsFs??存在,??Re()limssFs??也存在.0Re()Re()lim[()]lim()ed0stssftftt????????????L因此Re()lim()(0)0.ssFsf????0(0)lim()lim()tsfftsFs?????即六、初值定理与终值定理[()][()](0)()(0)ftsftfsFsf?????LL若且的奇点全在s平面的左半部,则2.终值定理0lim()lim()tsftsFs?????[()]()ftFs?L()sFs证明:根据定理给出的条件和微分性质两边取s?0的极限,得六、初值定理与终值定理0()lim()sfsFs????或写为[()]()(0)ftsFsf???L0lim()()lim()tsftfsFs????????000lim[()]lim()edstssftftt?????????L00()d()lim()(0)tfttftftf?????????????得0lim()(0)lim()(0)tsftfsFsf???????六、初值定理与终值定理即这个性质表明在t?＋?时的数值(稳定值),可以通过的Laplace变换乘以s取s?0时的极限值而得到,它建立了函数在无限远的值与函数在原点的值之间的关系.在Laplace变换的应用中,往往先得到再去求出但经常并不关心函数的表达式,而是需要知道在t?＋?和t?0时的性态,这两个性质给了我们方便,能使我们直接由来求出的两个特殊值??ft??ft??ft??sFs??Fs??ft??ft??ft??ft??Fs????0,.ff??六、初值定理与终值定理若?根据初值定理和终值定理,得1[()],(0),().ftffsa????L求例1100()lim()lim0sssfsFssa????????(0)lim()lim1sssfsFssa????????上面所求与结果一致.1[e],()e.atatftsa?????我们已知即L21,()(),1ftFss??但应用终值定理时需要注意定理条件是否满足例如函数的2()j1,.ssFsss????则的奇点为位于虚轴上就不满足定理的条件例11lim()limsinttftt???????是不存在的.200lim()lim0,1ssssFss?????虽然而121()sin1ftts??????????L例11七、小结1212-1-1-11212()()()()()()()()ftftftftFsFsFsFs???????????????????????????????????????????LLLLLL线性性质：[()](),ftFs?如果L??[()]()0.ftsFsf???有L微分性质：积分性质：????(),ftFs?如果则L??01().dtfttFss????????L若L[f(t)]=F(s),则有L[eatf(t)]=F(s-a)(Re(s-a)>c)位移性质：延迟性质：????-1[()]ee()ststftFsFsft????????????LL七、小结lim(),ssFs??且存在则[()](),ftFs?L若初值定理：0lim()lim()tsftsFs????七、小结(0)lim()sfsFs???或写为若且的奇点全在s平面的左半部,则终值定理：0lim()lim()tsftF?????ss[()]()ftFs?L()sFs七、小结0()lim()sfF????ss或写为