2016年高考文科数学全国卷1及答案解析

--------绝密★启用前在----------------2016年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标卷1)文科数学--------------------此使用地区：山西、河南、河北、湖南、湖北、江西、安徽、福建、广东本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页，满分150分.考生注意：_--------------------答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题1._卷__卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是____否一致.___2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需__号--------------------改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.第Ⅱ卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔证考上在答题卡上书写作答.若在试题卷上作答，答案无效.准3.考试结束，监考员将本试题卷、答题卡一并收回.__第Ⅰ卷____--------------------__答_一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符____合题目要求的.___1.设集合A{1,3,5,7}，B{x|2≤x≤5}，则AB（）名姓A.{1,3}B.{3,5}--------------------题C.{5,7}D.{1,7}2.设(12i)(ai)的实部与虚部相等，其中a为实数，则a=（）A.3B.2C.2D.33.为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下--------------------（）无的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是11A.B.32C.2D.536--------------------数学试卷第1页（共21页）效4.△ABC的内角ABCabc.已知a5，c2，cosA2，则b，，的对边分别为，，3（）A.2B.3C.2D.31，则该5.直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的4椭圆的离心率为（）A.1B.132C.2D.3346.将函数y2sin(2x)的图象向右平移1个周期后，所得图象对应的函数为64（）A.y2sin(2x)B.y2sin(2x)43C.y2sin(2x)D.y2sin(2x)437.如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是28，则它的表面积是（）3A.17B.18C.20D.288.若ab0，0c1，则（）A.logaclogbcB.logcalogcbC.acbcD.cacb数学试卷第2页（共21页）9.函数y2x2e|x|在[2,2]的图象大致为（）ABCD10.执行如图的程序框图，如果输入的x0，y1，n1，则输出x，y的值满足（）A.y2xB.y3xC.y4xD.y5x11.平面过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A，//平面CB1D1，平面ABCD=m，平面ABB1A1=n，则m，n所成角的正弦值为（）A.32C.312B.3D.2312.若函数f(x)xsin2xasinx)单调递增，则a的取值范围是1在(,3（）A.1,1B.1,13C.11D.13,1,33数学试卷第3页（共21页）第II卷注意事项：第Ⅱ卷共3页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，若在试题卷上作答，答案无效.本卷包括必考题和选考题两部分.第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22～24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13.设向量a(x,x1)，b(1,2)，且a，则x.b14.已知是第四象限角，且sin()3).4，则tan(4515.设直线yx2a与圆C:x2y22ay20相交于A,B两点，若|AB|23，则圆C的面积为.16.某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）已知{an}是公差为3的等差数列，数列{bn}满足b11，b21，anbn1bn1nbn.（Ⅰ）求{an}的通项公式；3（Ⅱ）求{bn}的前n项和.18.（本小题满分12分）如图，已知正三棱锥PABC的侧面是直角三角形，PA6．顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连接PE并延长交AB于点G.（Ⅰ）证明：G是AB的中点；（Ⅱ）在图中作出点E在平面PAC内的正投影F（说明作法及理由），并求四面体PDEF的体积．19.（本小题满分12分）某公司 计划 项目进度计划表范例计划下载计划下载计划下载课程教学计划下载 购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元），n表示购机的同时购买的易损零件数.（Ⅰ）若n19，求y与x的函数解析式；（Ⅱ）若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5，求n的最小值；（Ⅲ）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？20.（本小题满分12分）在直角坐标系xOy中，直线l:yt(t0)交y轴于点M，交抛物线C:y22px(p0)于点P，M关于点P的对称点为N，连结ON并延长交C于点H.|OH|（Ⅰ）求；（Ⅱ）除H以外，直线MH与C是否有其它公共点？说明理由.21.（本小题满分12分）已知函数f(x)(x2)exa(x1)2.（Ⅰ）讨论f(x)的单调性；（Ⅱ）若f(x)有两个零点，求a的取值范围.请考生在第22～24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.22.（本小题满分10分）选修41：几何证明选讲1如图，△OAB是等腰三角形，AOB120.以O为圆心，OA为半径作圆.2（Ⅰ）证明：直线AB与⊙O相切；（Ⅱ）点C,D在⊙O上，且A,B,C,D四点共圆，证明：AB∥CD.23.（本小题满分10分）选修44：坐标系与参数方程在直线坐标系xOy中，曲线C1xacost,（t为参数，a0）.在以的参数方程为y1asint,坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2:4cos.（Ⅰ）说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）直线C3的极坐标方程为0，其中0满足tan02，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.24.（本小题满分10分），选修45：不等式选讲已知函数f(x)|x1||2x3|.（Ⅰ）画出yf(x)的图象；（Ⅱ）求不等式|f(x)|1的解集.数学试卷第4页（共21页）数学试卷第5页（共21页）数学试卷第6页（共21页）2016年普通高等学校招生全国统一考试（全国新课标卷1）文科数学答案解析第Ⅰ卷一、选择题1.【答案】B【解析】集合A与集合B的公共元素有3，5，故AB{3,5}，故选B．【提示】直接利用交集的运算法则化简求解即可.【考点】集合的交集运算2.【答案】A【解析】(12i)(ai)a2(12a)i，由已知，得a212a，解得a3，选A．【提示】利用复数的乘法运算法则，通过复数相等的充要条件求解即可.【考点】复数的概念，复数的乘法运算3.【答案】C【解析】将4种颜色的花种任选2种种在一个花坛中，余下2种种在另一个花坛中，有6种种法，其中红色和紫色的花不在同一个花坛的种数有4种，故所求概率为2，选C．3【提示】确定基本事件的个数，利用古典概型的概率公式，可得结论.【考点】古典概型4.【答案】D【解析】由余弦定理得5b242b22，解得b3（b1舍去），选D．b2c2a233【提示】由余弦定理可得cosA，利用已知整理可得3b28b30，从而解2bc得b的值.【考点】余弦定理5.【答案】B【解析】如图，在椭圆中，OFc，OBb，OD11Rt△OFB中，2bb，在42|OF||OB||BF||OD|，且a2b2+c2，代入解得a24c2，所以椭圆的离心率为e1，2故选B【提示】设出椭圆的方程，求出直线的方程，利用已知条件列出方程，即可求解椭圆的离心率.【考点】椭圆的几何性质6.【答案】D【解析】函数y2sin2xππ2sin2xπ1个的周期为，将函数y的图像向右平移466周期即π个单位，所得图像对应的函数为y2sin2xππ2sin2xπD．46，故选43【提示】求得函数y的最小正周期，即有所对的函数式为y2sin2xππ，化简整46理即可得到所求函数式.【考点】三角函数图像的平移7.【答案】A【解析】由三视图知，该几何体的直观图如图所示：是一个球被切掉左上角的1，即该几何体是7个球，设球的半径为R，则88V74πR32π8，解得R2，所以它的表面积是7的球面面积和三个扇形面积之和，8338即74π223π2217π，故选A．84【提示】判断三视图复原的几何体的形状，利用体积求出几何体的半径，然后求解几何体的表面积.【考点】三视图，球的表面积与体积8.【答案】B【解析】对于选项A，logaclgclgc，∵0c1，∴lgc0，而ab0，，logbclgblga所以lgalgb，但不能确定lga、lgb的正负，所以它们的大小不能确定；对于选项B，logcalga，logcblgb1改变不等号方向，lgc，两边同时乘以一个负数lgclgc所以选项B正确；对于选项C，利用yxc在第一象限内是增函数即可得到acbc，所以C错误；对于选项D，利用ycx在R上为减函数易得cacb，所以D错误.所以本题选B．【提示】根据指数函数，对数函数，幂函数的单调性结合换底公式，逐一 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 四个结论的真假，可得答案.【考点】指数函数，对数函数9.【答案】D【解析】函数f(x)2x2e|x|在[–2，2]上是偶函数，其图像关于y轴对称，因为f(2)8e2，08e21，所以排除A，B选项；当x0,2时，f(x)=4xex有一零点，设为x0，当x(0,x0)时，f(x)为减函数，当x(x0,2)时，f(x)为增函数.故选D．【提示】根据已知中函数的解析式，分析函数的奇偶性，最大值及单调性，利用排除法，可得答案.【考点】函数的图像与性质10.【答案】C数学试卷第7页（共21页）数学试卷第8页（共21页）数学试卷第9页（共21页）【解析】第一次循环：x0，y1，n2，第二次循环：x1，y2，n3，第三次循2环：x3，y6，此时满足条件x2y236，循环结束，输出x3，y6，满足y4x.22故选C．【提示】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量x，y的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案.【考点】程序框图11.【答案】A【解析】如图，设平面CB1D1平面ABB1A1m，平面CB1D1平面ABB1A1n，因为∥平面CB1D1，所以m∥m，n∥n，则m，n所成角等于m，n所成的角.延长AD，则m，n所成的角即为A1B，BD所成的角，即为60，故m，n所成角的正弦值为3，选2A.【提示】画出图形，判断出m、n所成角，求解即可.【考点】平面的截面问题，面面平行的性质定理，异面直线所成的角12.【答案】C【解析】对f(x)12cos2xacosx0，xR恒成立，故12(2cos2x1)acosx0，33即acosx4cos2x50恒成立，即4t2at50对t1,1恒成立，构造3333f(t)4t2at5，33开口向下的二次函数f(t)的最小值的可能值为端点值，f(1)10a11故只需保证3，解得a.C．133故选a0f(1)3【提示】求出f(x)的导数，由题意可得f(x)0恒成立，设tcosx(1t1)，即有54t23at0，对t讨论，分t=0，0t1，1t0，分离参数，运用函数的单调性可得最值，解不等式即可得到所求范围.【考点】三角恒等变换，导数的应用第Ⅱ卷二、填空题213.【答案】32【解析】由题意，ab0，x2(x1)0，x3【提示】根据向量垂直的充要条件便可得出ab0，进行向量数量积的坐标运算即可得出关于x的方程，解方程便可得出x的值.【考点】向量的数量积，坐标运算14.【答案】433，cos4，sinsinπcoscosπ3【解析】由题意，sinππ445，解4545coscosπsinsinπ4445sin15,得27cos,521πtantanπ114所以tan47，tan4π1.71tan13tan147【提示】由得范围求得πcos(π的范围，结合已知求得)，再由诱导公式求得44sinπ及cosπ，进一步由诱导公式及同角三角函数基本关系式求得tanπ444的值.【考点】三角恒等变换，同角三角函数的基本关系15.【答案】4π【解析】圆C：2+y22ay20，即C：222，圆心为C(0,a)，由|AB|23，xa+2x+yax+2a的距离为|0a2a|，所以得22圆心C到直线y23+0a2aa2+2，则222a22，所以圆的面积为π(a2+2)4π.【提示】圆C：x2y22ay20的圆心坐标为(0,a)，半径为2，利用圆的弦长a+2公式，求出a值，进而求出圆半径，可得圆的面积.【考点】直线与圆的位置关系，圆的面积16.【答案】216000【解析】设生产产品A．产品B分别为x、y件，利润之和为z元，那么由题意得约束条件1.5x0.5y150,x0.3y90,5x3y600,目标函数z2100x900y.0,y0.3xy300,10x3y900,约束条件等价于5x3y600,①0,y0.作出二元一次不等式组①表示的平面区域，即可行域，如图中阴影部分所示.将z2100x900y变形，得y7z7x，作直线：yx并平移，当直线7z39003y经过点M时，z取得最大值.x9003数学试卷第10页（共21页）数学试卷第11页（共21页）数学试卷第12页（共21页）解方程组10x3y9005x3y，得M的坐标为(60,100).600所以当x60，y100时，zmax210060900100216000.故生产产品A，产品B的利润之和的最大值为216000元.【提示】设A、B两种产品分别是x件和y件，根据题干的等量关系建立不等式组以及目标函数，利用线性规划作出可行域，通过目标函数的几何意义，求出其最大值即可【考点】简单线性规划三、解答题17.【答案】（Ⅰ）an3n1（Ⅱ）31223n11a1b2+b2b1，b1，得a12，所以数列an【解析】（Ⅰ）由已知，1，b2是首项为32，公比为3的等比数列，通项公式为an3n1（Ⅱ）由（Ⅰ）和anbn1+bn+1nbn得bn1bn，因此bn是首项为1，公比为1的等比数331n1列.记bn的前n项和为Sn，则S331n11223n13【提示】（Ⅰ）用等差数列通项公式求；（Ⅱ）求出通项，再利用等比数列求和公式来求.【考点】等差数列，等比数列18.【答案】（Ⅰ）因为P在平面ABC内的正投影为D，所以ABPD.因为D在平面PAB内的正投影为E，所以ABDE，所以AB平面PED，故ABPG数学试卷第13页（共21页）又由已知可得，PAPB，从而G是AB的中点.（Ⅱ）在平面PAB内，过点E作PB的平行线交PA于点F，F即为E在平面PAC内的正投影.理由如下：由已知可得PBPA，PBPC，又EF∥PB，所以EFPA，EFPC，因此EF平面PAC，即点F为E在平面PAC内的正投影.连结CG，因为P在平面ABC内的正投影为D，所以D是正三角形ABC的中心.由（Ⅰ）知，G是AB的中点，所以D在CG上，故CD2CG.3由题设可得PC平面PAB，DE平面PAB，所以DE∥PC，因此PE2PG，DE1PC33由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且PA6，可得DE2，PE22在等腰直角三角形EFP中，可得EFPH21124所以四面体PDEF的体积V2233【提示】（Ⅰ）根据题意分析可得PD平面ABC，进而可得PDAB，同理可得DEAB，结合两者分析可得AB平面PDE，进而分析可得ABPG，又由PAPB，由等腰三角形的性质可得证明；（Ⅱ）由线面垂直的判定方法可得EF平面PAC，可得F为E在平面PAC内的正投影.由棱锥的体积公式计算可得答案.【考点】空间几何体的线、面位置关系，几何体体积的计算19.【答案】（Ⅰ）y3800,x19,(xN)500x5700,x19,（Ⅱ）19（Ⅲ）19【解析】（Ⅰ）当x19时，y3800；当x19时，y3800500(x19)500x5700，所以y与x的函数解析式为y3800,x19,500x5700,x(xN).19,（Ⅱ）由柱状图知，需更换的零件数不大于18的频率为0.46，不大于19的频率为0.7，故n的最小值为19.数学试卷第14页（共21页）（Ⅲ）若每台机器在购机同时都购买19个易损零件，则这100台机器中有70台在购买易损零件上的费用为3800，20台的费用为4300，10台的费用为4800，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为170430020480010)4000.(3800100若每台机器在购机同时都购买20个易损零件，则这100台机器中有90台在购买易损零件上的费用为4000，10台的费用为4500，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为1(400090450010)4050.100比较两个平均数可知，购买1台机器的同时应购买19个易损零件.【提示】（Ⅰ）分x19及x>19，分别求解析式；（Ⅱ）通过频率大小进行比较；（Ⅲ）分别求出n19，n20时所需费用的平均数来确定.【考点】柱状图，频率，平均数20.【答案】（Ⅰ）2（Ⅱ）没有.【解答】（Ⅰ）由已知得M(0,t)，P(t2,t)又N为M关于点P的对称点，故N(t2,t)，ON2pp的方程为ypx，代入y22px整理得px22t2x0，解得x10，x22t2p，因此tH2t2,2tp所以N为OH的中点，即|OH|2|ON|（Ⅱ）直线MH与C除H以外没有其它公共点.理由如下：直线MH的方程为ytpx，即x2t(yt).代入y22px得y24ty4t20，解得2tpy1y22t，即直线MH与C只有一个公共点，所以除H以外直线MH与C没有其它公共点.【提示】（Ⅰ）先确定N(t2,t)，ON的方程为ypx，代入y22px整理得px22t2x0，pt数学试卷第15页（共21页）解得x0，x22t2，因此H(2t2,2t)，所以N为OH的中点，即|OH|2.1pp|ON|（Ⅱ）直线MH的方程为ytpx，与y22px联立得y24ty4t20，解得2ty1y22t，即直线MH与C只有一个公共点，所以除H以外直线MH与C没有其它公共点【考点】直线与抛物线的位置关系，抛物线的图像性质21.【答案】（Ⅰ）（ⅰ）设a0，则当x(,1)时，f'(x)0；当x(1,)时，f'(x)0.所以f（x）在(,1)单调递减，在(1,)单调递增.（ⅱ）设a0，由f'(x)0得x1或xln(2a).①若ae，则f'(x)(x1)(exe)，所以f(x)在(,)单调递增.2②若ae2a)1，故当x(,ln(2a))(1,)时，f'(x)0；，则ln(2当x(ln(2a),1)时，f'(x)0，所以f(x)在(,ln(2a)),1,+∞单调递增，在(ln(2a),1)单调递减.③若ae，则ln(a2)，1故当x(,1)(lna(2)时,，f'(x)0，当2x(1,lna(2时，f'(x)0，所以f(x)在(,1)，(ln(2a),)单调递增，在(1,ln(2a))单调递减.（Ⅱ）（ⅰ）设a0，则由（Ⅰ）知，f(x)在(,1)单调递减，在1,单调递增.又f(1)e，f(2)a，取b满足b<0且blna，则2f(b)a(b2)a(b1)2ab23b0，所以f(x)有两个零点.22(ii)设a=0，则f(x)(x2)ex，所以f(x)只有一个零点.(iii)a<0e(I)f(x)在(1,)单调递增.设，则由知，，若a2又当x1时，f(x)<0，故f(x)不存在两个零点；若aef(x)在，则由（Ⅰ）知，2(1,ln(2a))单调递减，在(ln(2a),)单调递增.又当x1时f(x)<0，故f(x)不存在两个零点.综上，a的取值范围为(0,).【提示】（Ⅰ）先求得f'(x)(x1)(ex2a)再根据1，0，2a的大小进行分类确定f(x)的单调性；（Ⅱ）借助第（Ⅰ）问的结论，通过分类讨论函数的单调性，确定零点个数，从而可得a的取值范围为(0,).【考点】函数单调性，导数应用22.【答案】（Ⅰ）设E是AB的中点，连结OE，因为OAOB，AOB120，所以OEAB，AOE60.在Rt△AOE中，OE1OD，所以O不是A，B，C，D四点所在圆的圆心，设O是A，2B，C，D四点所（Ⅱ）在圆的圆心，作直线OO'.由已知得O在线段AB的垂直平分线上，又O'在线段AB的垂直平分线上，所以OO'AB.同理可证，OO'CD，所以AB//CD.【提示】（Ⅰ）设E是AB的中点，证明AOE60；（Ⅱ）设O'是A，B，C，D四点所在圆的圆心，作直线OO'，证明OO'AB，OO'CD，由此可证明AB//CD.【考点】四点共圆、直线与圆的位置关系及证明23.【答案】（Ⅰ）圆，22sin1a20（Ⅱ）1【解析】（Ⅰ）消去参数t得到C1的普通方程x2(y1)2a2.C1是以(0,1)为圆心，a为半径的圆.将xcos,ysin代入C1的普通方程中，得到C1的极坐标方程为22sin1a20.22sin1a20,（Ⅱ）曲线C1,C2的公共点的极坐标满足方程组4cos,若0，由方程组得16cos28sincos1a20，由已知tan2，可得16cos28sincos0，从而1a20，解得a1（舍去），a1.a1时，极点也为C1,C2的公共点，在C3上.所以a1.xacost【提示】（Ⅰ）把化为普通方程，再化为极坐标方程；y1asint（Ⅱ）通过解方程组可以求得.【考点】参数方程，极坐标方程与直角坐标方程的互化x4,x1,24.【答案】（Ⅰ）f(x)3x2,1x3,yf(x)的图像如图所示.24,x3.2（Ⅱ）由f(x)的表达式及图像，当f(x)1时，可得x1或x3；当f(x)1或x5，故f(x)1的解集为x|1x31时，可得x=31或x1f(x)1的解集为{x|x5}，所以|f(x)|1的解集为{x|x或1x3或33x5}数学试卷第16页（共21页）数学试卷第17页（共21页）数学试卷第18页（共21页）【提示】（Ⅰ）化为分段函数作图；（Ⅱ）用零点分区间法求解.【考点】分段函数的图像，绝对值不等式的解法数学试卷第19页（共21页）数学试卷第20页（共21页）数学试卷第21页（共21页）