第三章函数第三节反比例函数考点精讲反比例函数反比例函数的图象及性质反比例函数中比例系数k的几何意义反比例函数解析式的确定反比例函数的图象及性质
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达式y=（k为常数，k≠0），也可以表示xy=k函数图象k①____0k②____0反比例函数的图象是一条双曲线，且关于原点成中心对称所在象限第③_______象限（x、y同号）第④______象限（x、y异号）增减性在每一象限内，y随x的增大而⑤_____在每一象限内，y随x的增大而⑥_____对称性关于直线y=x，y=-x成轴对称，关于⑦____成中心对称二、四增大减小><一、三原点反比例函数中比例系数k的几何意义1.k的几何意义：如图，过反比例函数图象上任一点P（x,y）作x轴、y轴的垂线PM、PN,所得矩形PMON的面积S=⑧_______=|x|·|y|=|xy|=⑨___.2.常见的反比例函数图象中有关面积的类型PM·PN|k|2.常见的反比例函数图象中有关面积的类型S△AOP＝⑩____S△BOP＝S△APB=____；S矩形OAPB=｜k｜＝___（P、P1关于原点对称）2|k|1112反比例函数解析式的确立待定系数法（2011版课标新增内容）利用k的几何意义求解待定系数法1.设出反比例函数解析式y=；2.找出满足反比例函数解析式的点P（a，b）；3.将点P（a，b）代入解析式得k=____；4.将k的值代入y=确定反比例函数解析式ab13利用k的几何意义求解若已知某点到坐标轴的垂线与坐标轴所围成图形为矩形或三角形的面积，根据函数图象所在象限确定k的符号，从而确定k值，求得过该点的反比例函数解析式；若所围图形为一般图形，可将其转化为矩形或三角形的和或差，确定k值，求得反比例函数的解析式重难点突破反比例函数与一次函数综合题（难点）例（2015舟山）如图，直线y=2x与反比例函数y=(k≠0，x＞0）的图象交于点A（1，a），B是反比例函数图象上一点，直线OB与x轴的夹角为，tan=.（1）求k的值；（2）求点B的坐标；（3）设点P（m，0），使△PAB的面积为2，求m的值.例题图【思维教练】（1）要求反比例函数系数k的值，只需找到经过反比例函数图象的点坐标，根据横、纵坐标之积即可求解；（2）要求点B的坐标，观察图象点B在反比例函数的图象上，结合已知tan＝，可得其横、纵坐标的关系，再结合反比例函数解析式，点B的坐标即可求解；例题图（3）已知P（m,0）和△PAB的面积，求m的值，观察图形△PAB的三边均不在坐标轴上，故考虑将其面积转化为一边在坐标轴上（或一边平行于坐标轴）的两个三角形的面积和差来求解.由(1)(2)知A、B两点的坐标，设直线AB与x轴交于点D，△PAB的面积就可转化为S△PAB＝S△PAD-S△PBD，m的值即可求解.解：（1）把点A（1，a）代入y=2x，得a=2，∴点A坐标为（1，2），把点A（1，2）代入y=，得k=1×2=2；（2）如解图，过点B作BC⊥x轴于点C，∵在Rt△BOC中，tan=，∴可设点B（2h，h）.∵点B（2h，h）在反比例函数y=的图象上，∴2h2=2，解得h=±1，∵h＞0，∴h=1，∴点B的坐标为（2，1）；例题解图（3）设直线AB的解析式为y=nx+t，将点A（1，2）,B（2，1）代入y＝nx+t，得∴直线AB的解析式为y=-x+3.如解图，设直线AB与x轴交于点D，则D（3，0），∵S△PAB=S△PAD-S△PBD=2，P（m，0），∴×｜3-m｜×（2-1）=2，解得m1=-1，m2=7，∴点P的坐标为（-1，0）或（7，0）.n+t=22n+t=1,n=-1t=3解得,例题解图满分技法对于一次函数与反比例函数综合题，设问常有：求函数解析式，求交点坐标，判断两函数值大小时自变量的取值范围，与线段有关的问题，与图形面积有关的问题，解决这些问题的一般方法为：1.求函数解析式：一般先通过一个已知点求得反比例函数解析式，若已知一次函数与反比例函数的两个交点坐标，求一次函数解析式只需将交点坐标代入一次函数解析式，利用待定系数法求解；2.求交点坐标：已知函数y=ax+b及y=的解析式，求它们图象的交点A、B的坐标时，根据函数与方程的关系联立两个函数关系式，求解方程组即可；对于正比例函数与反比例函数的交点问题，利用正比例函数与反比例函数均关于原点对称，只要知道一个交点坐标，然后求其关于原点对称的点坐标即可求得另一交点坐标；3.判断两函数值的大小时自变量的取值范围：（1）分区：过两函数图象的交点分别做y轴的平行线，连同y轴，将平面分为四部分，如图，即Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ；（2）观察函数图象找答案：根据函数图象上方的值总比函数图象下方的值大，在各区域内找相应的x的取值范围:①Ⅰ，Ⅲ区域内：＞ax+b，自变量的取值范围为x＜xB或0＜x＜xA；②Ⅱ，Ⅳ区域内：ax+b＞,自变量的取值范围为xB＜x＜0或x＞xA.4.与线段有关的问题，主要是将线段两端点的坐标表示出来.例：已知A（x1，y1），B（x2，y2），则AB长为.涉及线段之和最小，一般已知一条直线（或坐标轴）和直线（或坐标轴）同旁的两个点，要求直线（或坐标轴）上一动点使得两条线段之和最小，通过作其中一个已知点关于已知直线（或坐标轴）的对称点，利用两点之间线段最短求解；5.求几何图形的面积：（1）当所求图形有一边在坐标轴上或与坐标轴平行时，可将该边作为底边，利用点的坐标求得底边上的高，然后利用面积公式求解；（2）当三边均不在坐标轴上时，一般可采用割补法将其转化为一边在坐标轴上（或一边平行于坐标轴）的两个三角形面积的和或差来求解.此外，求面积时要充分利用“数形结合”的思想，即用“坐标”求“线段”，用“线段”求“坐标”.【拓展】如图，直线y1=x+2与双曲线y2=交于A（m，4）,B（-4，n）.（1）求k值；（2）当y1＞y2时请直接写出x的取值范围；（3）P为x轴上任意一点，当△ABP为直角三角形时，求P点坐标.拓展题图解：（1）根据题意可将点A（m,4），B（-4,n）代入直线y1=x+2，得m+2=4,-4+2=n,解得m=2,n=-2,∴点A坐标为（2,4）,点B坐标为（-4,-2）.将点A（2，4）代入双曲线y2=，可得k=8;（2）观察图象可得:y1＞y2时，-4＜x＜0或x＞2；（3）设x轴上的点P坐标为（a，0）,∵点A坐标为（2，4），点B坐标为（-4，-2），∴PA2＝(2-a)2+42=(a-2)2+16,PB2=(-4-a)2+(-2)2=(a+4)2+4,AB2＝(-4-2)2+(-2-4)2=72.①当∠BAP=90°时,AB2+PA2=PB2，即72+(a-2)2+16=(a+4)2+4，解得a=6，则点P坐标为（6，0）；②当∠ABP=90°时，AB2+PB2＝PA2，即72+(a+4)2+4=(a-2)2+16,解得a=-6,则点P坐标为（-6，0）；③当∠APB=90°，PA2+PB2=AB2,即(a-2)2+16+(a+4)2+4=72，解得a=或a=，则点P的坐标为（，0）或（，0），综上，点P的坐标为：（6，0）,（-6，0）,（,0），（，0）.
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