高中数学 第三章 推理与证明 3.1 归纳与类比 3.1.2 类比推理知识导航素材 北师大版选修1-2（通用）

PAGE1.2类比推理自主整理1.两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征，我们把这种推理过程称为___________.2.类比推理是两类事物___________之间的推理.3.利用类比推理得出的结论___________（填“一定”或“不一定”）正确.4.根据解决问题的需要，可对___________、___________、___________进行类比.5.___________和___________是最常见的___________，___________是根据实验和实践的结果、个人的经验和直觉、已有的事实和正确的结论（定义、公理、定理等），推测出某些结果的推理公式.高手笔记1.类比推理是数学命题来源的另一条途径，也是知识推广的思维过程.学习立体几何常常要类比平面几何，发现和得到一些立体几何的结论.2.归纳推理与类比推理都是合情推理.归纳推理是从特殊过渡到一般的思想方法，类比推理是由此及彼和由彼及此的联想方法，归纳和类比离不开观察、分析、对比、联想，许多数学知识都是通过归纳与类比发掘出来.的学习数学时要注意培养自己的观察能力、分析能力、联想能力和创新能力.3.合情推理只是一种猜测，结论不一定正确.名师解惑合情推理的结果不一定正确，但合情推理是科学发现和创造的基础，你如何看待这一问题？剖析:数学真理知识的发现、发掘和推陈出新是在前面知识的基础上，通过对特殊实例的观察、分析、归纳、抽象概括和运用探索性推理得到，合情推理通常是靠猜想与联想等心智活动串联起来.这种心智活动形式能导致人们作出新的判断和预见，能帮助发现数学真理，包括发现新的数学关系结论、新的数学方法及数学命题等等，但它毕竟是一种非逻辑的思维形式，属于“发散思维”范畴，当然并不能用以精确地建立数学命题和理论，最后要 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 命题或定理，还需运用严格的逻辑分析与演绎推理，即“收敛思维”.讲练互动【例1】一个等差数列{an}，其中a10=0，则有a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19-n(1≤n≤19)，一个等比数列{bn}，其中b15=1,类比等差数列{an}有下列结论：___________.分析:在等差数列{an}中，a10=0,已知以a10为等差中项的项和为0，如a9+a11=a8+a12=…=a2+a18=a1+a19=0，而在等比数列{bn}中，b15=1,类似地有b1b29=b2b28=…=b14b16=1,从而类似的总结规律应为各项之积.解:∵在等差数列{an}中，a10=0,∴a1+a19=a2+a18=…=a8+a12=a9+a11=0,即a19-n+an+1=0,a18-n+an+2=0,a17-n+an+3=0,…∴a1+a2+…+an=a1+a2+…+an+an+1+an+2+…+a19-n.∵b15=1,∴b1b29=b2b28=…=b14b16=1,即b29-nbn+1=b28-nbn+2=…=b14b16=1.∴有b1b2…bn=b1b2…b29-n(1≤n≤29,n∈N+).绿色通道本题考查了等差中项、等比中项和等差数列、等比数列的性质及观察判断、猜想类比的能力.对于等差数列、等比数列有许多类似的性质，可结合定义进行类比.变式训练1.已知等差数列{an}，公差为d,前n项和为Sn，有如下性质：（1）通项an=am+(n-m)d.(2)若m+n=p+q,其中m、n、p、q∈N+,则am+an=ap+aq.(3)若m+n=2p,m、n、p∈N+，则am+an=2ap.(4)Sn,S2n-Sn,S3n-S2n构成等差数列.类比得出等比数列的性质.解:等比数列{bn},公比为q,前n项和Sn,有如下性质:(1)通项an=amqn-m.(2)若m+n=p+q,其中m、n、p、q∈N+,则am·an=ap·aq.(3)若m+n=2p,q、m、n∈N+,则am·an=ap2.(4)Sn,S2n-Sn,S3n-S2n构成等比数列.【例2】若射线OM、ON上分别存在点M1、M2与N1、N2，则三角形面积之比为·.若不在同一平面内的射线OP、OQ和OR上，分别存在点P1、P2，点Q1、Q2，点R1、R2，则类似的结论是什么？分析:本题已知三角形的面积之比需弄清楚点分得到的结论，然后才能类比得结论扩展到空间的问题.解:∵=，其面积比中有一个共同的角，类似地，连结P1Q1、Q1R1、P1R1、P2Q2、Q2R2、P2R2，得到的是锥体，需研究锥体的体积并找出不变量，两条相交线确定一个面，另一条线不在这个面内就有线面角，而线面角不随点的位置变化而变化，设OP与面QRO所成的角为θ.OP在面ORQ内的射影为OP′，P1、P2的射影分别为P1′、P2′，则=sinθ，且.∴·.∴类似地有·.绿色通道要准确地得到相似的结论，需先弄清楚前面的结论是怎么得到的，才能类似地推出.一般地平面内的面积问题推广到空间内为体积问题，平面内的线段问题，推广到空间为面积问题.变式训练2.三角形的面积为S=(a+b+c)r,a、b、c为三角形的边长，r为三角形内切圆的半径，利用类比推理，求出四面体的体积公式.解:V=(S1+S2+S3+S4)r(S1、S2、S3、S4分别为四个面的面积,r为内切球半径),设△ABC的三边与⊙O分别切于D、E、F,则OD⊥BC,OE⊥AC,OF⊥AB且OD=OE=OF=r.连结OA、OB、OC,则S△ABC=S△OAB+S△OAC+S△OBC=cr+br+ar=(a+b+c)r.类似地,三棱锥P—ABC的内切球为球O,半径为r,则球心O到各面的距离都为r,四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4,则VP—ABC=VO—ABC+VO—PBC+VO—PAC+VO—PAB=S1r+S2r+S3r+S4r=(S1+S2+S3+S4)r.【例3】若a1、a2∈R+，则有不等式≥()2成立，此不等式能推广吗？请你至少写出两个不同类型的推广.分析:注意观察不等式两边的结构，两个数的平方，若三个数、四个数、n个数怎样变化呢？若次数为三次、四次、n次又怎样变化呢？注意思维要发散开.解:第一种类型：≥()2，≥()2，…≥()2.第二种类型：≥()3，≥()4，…≥()n.第三种类型：≥()3，…≥()n.绿色通道像这样的类比推广的问题，可采用纵、横推广法，如本例中，第一种类型是从个数上进行推广——横向推广；第二种类型是从指数上进行推广——纵向推广；第三种类型则是纵、横综合推广.变式训练3.设f(x)(x∈［a,b］)满足≤f()(其中x1、x2为［a,b］上任意两点)，你能将此不等式推广吗？解:设在［a,b］上任意n个点x1,x2,x3,…,xn,则≤f().【例4】设F1、F2分别为椭圆C：+=1(a>b>0)的左、右两个焦点.（1）若椭圆C上的点A（1,）到F1、F2两点的距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标.（2）设点K是（1）中所得椭圆上的动点，求线段F1K的中点的轨迹方程.（3）已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM、kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值，试写出双曲线=1具有类似特性的性质并加以证明.分析:由已知条件可写出椭圆方程及代入法求轨迹，本题不是直接证明椭圆中的性质，而是类似地转化到双曲线中证明双曲线具有的性质,用斜率公式及双曲线方程即可得证.解:（1）椭圆C的焦点在x轴上，由椭圆上的点A到F1、F2两点的距离之和是4，得2a=4，即a=2.又点A（1，）在椭圆上，因此+=1,b2=3.∴c2=a2-b2=1.∴椭圆C的方程为+=1,焦点F1（-1，0），F2（1，0）.(2)设椭圆C上的动点为K(x1,y1)，线段F1K的中点Q（x,y）满足x=,y=,∴x1=2x+1,y1=2y.∴+=1,即（x+）2+=1为所求的轨迹方程.（3）类似的性质为：若M、N是双曲线=1上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM、kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值.设点M的坐标为（m,n），则点N的坐标为（-m,-n），其中=1.又设点P的坐标为（x,y），由kPM=,kPN=,得kPM·kPN=·=.将y2=x2-b2,n2=m2-b2,代入得kPM·kPN=.绿色通道类比定义和性质是中学数学中最常考查的一类问题，它能很好地培养学生探索问题的能力，应该给予足够的重视.有兴趣的同学也可证明椭圆具有的性质.类比是研究圆锥曲线的一种方法.变式训练4.类比圆的下列特征，找出球的相关特征:(1)平面内与定点距离等于定长的点的集合是圆；(2)平面内不共线的3个点确定一个圆；(3)圆的周长与面积可求；(4)在平面直角坐标系中，以点（x0,y0）为圆心、r为半径的圆的方程为(x-x0)2+(y-y0)2=r2.解:(1)空间内与定点距离等于定长的点的集合是球.(2)空间内不共面的4个点确定一个球.(3)球的表面积与体积可求.(4)在空间直角坐标中,以点(x0,y0,z0)为球心,r为半径的球的方程为(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=r2.