9上22.8《一元二次方程的根与系数的关系》课案(学生用)课案（学生用）22.2.4一元二次方程的根与系数的关系（新授课）【学习目标】1．知识技能（1）要求学生在理解的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系式（2）能运用根与系数的关系由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知数（3）会求一元二次方程两个根的倒数和与平方数，两根之差2．能力方法（1）通过韦达定理的教学过程，使学生经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展推理能力（2）能有条理地、清晰地阐述自己的观点，进一步培养学生的创新意识和创新精神3．情感态度（1）通过情境教学过程，激发学生的求知欲望，培养学生积极学习数学的态度（2）体验数学活动中充满着探索与创造，体验数学活动中的成功感，建立自信心【学习重难点】一元二次方程根与系数的关系是重点，让学生从具体方程的根发现一元二次方程根与系数之间的关系，并用语言表述，以及由一个已知方程求作新方程，使新方程的根与已知的方程的根有某种关系，比较抽象，学生真正掌握有一定的难度，是学习的难点．课前延伸一、试一试：通过计算写出下列方程的两根之和与两根之积（方程两根为x1，x2）（1）2x2-3x1=0 x1x2=________ x1x2=_________ （2）3x25x=0 x1x2=________ x1x2=__________ （3）5x2x-2=0 x1x2=_________ x1x2=__________ 二、思考下列问
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
（1）已知方程6x2kx-5=0的一个根为3，求它的另一个根及k的值．（2）利用根与系数的关系，求一元二次方程2x2-3x-1=0的两个根的（1）平方和，（2）倒数和．课内探究一、导入新课：问题引探问题1．在方程ax2bxc=0中，a的取值决定什么？b2-4ac的取值呢？同学们可知道a、b、c的取值与一元二次方程ax2bxc=0的根还有其它关系？今天我们进一步研究一元二次方程的这种关系．问题2．解方程x2-5x6=0，并先指出a、b、c各是多少，然后再解方程，计算两根的和与积，你能发现什么结论（现象）？问题3．解下列方程：（1）2x25x3=0 （2）3x2-2x-2=0请观察上表，你能发现两根之和、两根之积与方程的系数之间有什么关系吗？问题4．请根据以上的观察发现进一步猜想：方程ax2bxc=0（a≠0）的根x1，x2与a、b、c之间的关系：____________．问题5．你能证明上面的猜想吗？请证明，并用文字语言叙述说明．即：如果ax2bxc=0（a≠0）的两根是x1，x2，那么x1x2= ，x1x2= ．由此得出一元二次方程的根与系数的关系；还可以让学生用自己的语言表述这种关系，来加深理解和记忆．这个关系是一个法国数学家韦达发现的，所以也称之为韦达定理．问题6．在方程ax2bxc=0（a≠0）中，a、b、c的作用吗？二、探索新知1．练习：下列方程中，两根的和与两根的积各是多少？（口答）（1）x2-2x＋1＝0；（2）x2-9x＋10＝0；（3）2x2-9x＋5＝0；（4）4x2-7x＋1＝0；（5）2x2-5x＝0；（6）x2-1＝02．
分析
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解决下列问题（1）已知实数满足关系式a2-5a6=0，b2-5b6=0，且a≠b，能否求ab与ab的值？（2）已知三角形的两边长a、b是方程x2-kx12=0的两个，等腰三角形的另一条边c=4,求这个等腰三角形的周长．（3）已知关于的方程有两个实数根，并且这两个根的平方和比这两个根的积大16，求的值．3．揭示课题，整理概念，板书归纳小结本课主要研究了什么？（1）方程的根是由系数决定的．（2）a≠0时，方程ax2bxc=0是一元二次方程．（3）a≠0，且b2-4ac≥0时，方程ax2bxc=0的根为x1、2= （4）b2-4ac的值可判定根的情况．（5）a≠0，△≥0时，x1x2= ，x1x2= ．（6）方程根与系数关系的有关应用．三、教师精讲点拨：例1．已知方程5x2kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值．例2．不解方程，求方程2x23x-1=0的两个根的（1）平方和（2）倒数和例3．已知关于x的方程（1）有两个不相等的实数根，且关于x的方程（2）没有实数根，问a取什么整数时，方程（1）有整数解？例4．已知a、b、c为直角三角形的三条边，c为斜边，求证：关于x的方程x2-2（ab）xc2ab=0有两个相等的实数根．四、课堂反馈训练１．已知等腰三角形的两边长a、b是方程x2-kx12=0的两个根，等腰三角形的另一条边c=4,求这个等腰三角形的周长．2．填空（1）已知方程的两个根分别是x和x，则==（2）已知方程的两个根分别是2与3，则，3．已知方程的一个根是2，求另一个根及c的值．4．已知方程2的两个根分别是x和x，求下列式子的值：（1）（x2）（x2） （2）课后提升一、填空题：1．设、是方程的两根，则①＝；② ＝；③＝．2．以方程的两根的倒数为根的一元二次方程是．3．已知方程的两实根差的平方为144，则＝．4．已知方程的一个根是1，则它的另一个根是，的值是．5．反比例函数的图象经过点P（、），其中、是一元二次方程 的两根，那么点P的坐标是．6．已知、是方程的两根，则的值为．二、选择题：1．如果方程的两个实根互为相反数，那么的值为（ ）A、0 B、－1 C、1 D、±12．已知≠0，方程的系数满足，则方程的两根之比为（ ）A、0∶1 B、1∶1 C、1∶2 D、2∶33．已知两圆的半径恰为方程的两根，圆心距为，则这两个圆的外公切线有（ ）A、0条 B、1条 C、2条 D、3条4．已知，在△ABC中，∠C＝900，斜边长，两直角边的长分别是关于的方程：的两个根，则△ABC的内切圆面积是（ ）A、 B、 C、 D、5．菱形ABCD的边长是5，两条对角线交于O点，且AO、BO的长分别是关于的方程：的根，则的值为（ ）A、－3 B、5 C、5或－3 D、－5或3三、解答题：1．证明：方程无整数根．2．已知关于的方程的两个实数根的倒数和等于3，关于的方程有实根，且为正整数，求代数式的值．3．已知关于的方程……①有两个不相等的实数根，且关于的方程……②没有实数根，问：取什么整数时，方程①有整数解？4．已知关于的方程（1）当取何值时，方程有两个不相等的实数根？（2）设、是方程的两根，且，求的值．5．已知关于的方程只有整数根，且关于的一元二次方程的两个实数根为、．（1）当为整数时，确定的值．（2）在（1）的条件下，若＝2，求的值．6．已知、是关于的一元二次方程的两个非零实根，问：、能否同号？若能同号，请求出相应的取值范围；若不能同号，请说明理由．
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