求轨迹方程的常用技巧

求轨迹方程的常用方法（一）求轨迹方程的一般方法：1.定义法：如果动点P的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。2.直译法：如果动点P的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P所满足的几何上的等量关系，再用点P的坐标（x，y）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。3.参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P运动的某个几何量t，以此量作为参变数，分别建立P点坐标x，y与该参数t的函数关系x＝f（t），y＝g（t），进而通过消参化为轨迹的普通方程F（x，y）＝0。4.代入法（相关点法）：如果动点P的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P（x，y），用（x，y）表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P的轨迹方程。5：交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这种问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法并用。一：用定义法求轨迹方程例1：已知ABC的顶点A，B的坐标分别为（-4，0），（4，0），C为动点，且满足5sinBsinAsinC,求点C的轨迹。4【变式】：已知圆的圆心为M，圆的圆心为M，一动圆与12这两个圆外切，求动圆圆心P的轨迹方程。二：用直译法求轨迹方程此类问题重在寻找数量关系。例2：一条线段两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，且BM=a，AM=b，求AB中点M的轨迹方程？|PA|【变式】:动点P（x,y）到两定点A（－3，0）和B（3，0）的距离的比等于2（即2），|PB|求动点P的轨迹方程？三：用参数法求轨迹方程此类方法主要在于设置合适的参数，求出参数方程，最后消参，化为普通方程。注意参数的取值范围。例3．过点P（2，4）作两条互相垂直的直线l，l，若l交x轴于A点，l交y轴于B点，1212求线段AB的中点M的轨迹方程。四：用代入法求轨迹方程x2y2例4.点B是椭圆1上的动点，A(2a，0)为定点，求线段AB的中点M的a2b2轨迹方程。【变式】如图所示，已知P(4，0)是圆x2+y2=36内的一点，A、B是圆上两动点，且满足∠APB=90°，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程yBQRAoxP五、用交轨法求轨迹方程x2y2例5.已知椭圆1（a＞b＞o）的两个顶点为A(a,0),A(a,0)，与y轴平行的直a2b212线交椭圆于PP，求AP与AP交点M的轨迹方程.1、21122六、用点差法求轨迹方程x2例6.已知椭圆y21，211（1）求过点P，且被P平分的弦所在直线的方程；22（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；（3）过A2，1引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；练习1.在ABC中，B，C坐标分别为（-3，0），（3，0），且三角形周长为16，则点A的轨迹方程是_______________________________.2.两条直线xmy10与mxy10的交点的轨迹方程是__________.3.已知圆的方程为(x-1)2+y2=1,过原点O作圆的弦0A，则弦的中点M的轨迹方程是_____4.当参数m随意变化时，则抛物线yx22m1xm21的顶点的轨迹方程为______。5:点M到点F（4，0）的距离比它到直线x50的距离小1，则点M的轨迹方程为________。6:求与两定点OO，0、A3，0距离的比为1：2的点的轨迹方程为_____________17.抛物线y24x的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）与抛物线交于A、B两点，动点C在抛物线上，求△ABC重心P的轨迹方程。8.已知动点P到定点F（1，0）和直线x=3的距离之和等于4，求点P的轨迹方程。9.过原点作直线l和抛物线yx24x6交于A、B两点，求线段AB的中点M的轨迹方程。高二（上）求轨迹方程的常用方法答案例1：已知ABC的顶点A，B的坐标分别为（-4，0），（4，0），C为动点，且满足5sinBsinAsinC,求点C的轨迹。455【解析】由sinBsinAsinC,可知bac10，即|AC||BC|10，满足椭44x2y2圆的定义。令椭圆方程为1，则a'5,c'4b'3，则轨迹方程为a'2b'2x2y21（x5)，图形为椭圆（不含左，右顶点）。259【点评】熟悉一些基本曲线的定义是用定义法求曲线方程的关键。（1）圆：到定点的距离等于定长（2）椭圆：到两定点的距离之和为常数（大于两定点的距离）（3）双曲线：到两定点距离之差的绝对值为常数（小于两定点的距离）（4）到定点与定直线距离相等。【变式1】:1:已知圆的圆心为M，圆的圆心为M，一动12圆与这两个圆外切，求动圆圆心P的轨迹方程。解：设动圆的半径为R，由两圆外切的条件可得：，。。∴动圆圆心P的轨迹是以M、M为焦点的双曲线的右支，c=4，a=2，b2=12。12故所求轨迹方程为2:一动圆与圆O：x2y21外切，而与圆C：x2y26x80内切，那么动圆的圆心M的轨迹是：A：抛物线B：圆：椭圆CD：双曲线一支|MO|R1【解答】令动圆半径为R，则有，则|MO|-|MC|=2，满足双曲线定义。故选D。|MC|R1二：用直译法求曲线轨迹方程此类问题重在寻找数量关系。例2：一条线段AB的长等于2a,两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，求AB中点P的轨迹方程？解设M点的坐标为(x,y)由平几的中线定理：在直角三11角形AOB中，OM=AB2aa,22x2y2a,x2y2a2M点的轨迹是以O为圆心，a为半径的圆周.1【点评】此题中找到了OM=AB这一等量关系是此题成功的关键所在。一般直译法有下2列几种情况：1）代入题设中的已知等量关系：若动点的规律由题设中的已知等量关系明显给出，则采用直接将数量关系代数化的方法求其轨迹。2）列出符合题设条件的等式：有时题中无坐标系，需选定适当位置的坐标系，再根据题设条件列出等式，得出其轨迹方程。3）运用有关公式：有时要运用符合题设的有关公式，使其公式中含有动点坐标，并作相应的恒等变换即得其轨迹方程。4）借助平几中的有关定理和性质：有时动点规律的数量关系不明显，这时可借助平面几何中的有关定理、性质、勾股定理、垂径定理、中线定理、连心线的性质等等，从而 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出其数量的关系，这种借助几何定理的方法是求动点轨迹的重要方法.|PA|【变式2】:动点P（x,y）到两定点A（－3，0）和B（3，0）的距离的比等于2（即2），|PB|求动点P的轨迹方程？【解答】∵|PA|=(x3)2y2,|PB|(x3)2y2|PA|(x3)2y2代入2得2(x3)2y24(x3)24y2|PB|(x3)2y2化简得（x－5）2+y2=16，轨迹是以（5，0）为圆心，4为半径的圆.三：用参数法求曲线轨迹方程此类方法主要在于设置合适的参数，求出参数方程，最后消参，化为普通方程。注意参数的取值范围。例3．过点P（2，4）作两条互相垂直的直线l，l，若l交x轴于A点，l交y轴于B点，1212求线段AB的中点M的轨迹方程。【解析】分析1：从运动的角度观察发现，点M的运动是由直线l引1发的，可设出l的斜率k作为参数，建立动点M坐标（x，y）满1足的参数方程。解法1：设M（x，y），设直线l的方程为y－4＝k（x－2），1（k≠０）1由ll，则直线l的方程为y4(x2)122k4l与x轴交点A的坐标为(2，0)，1k2l与y轴交点B的坐标为(0，4)，2k∵M为AB的中点，42k2x12k(k为参数)241yk22k消去k，得x＋2y－5＝0。另外，当k＝0时，AB中点为M（1，2），满足上述轨迹方程；当k不存在时，AB中点为M（1，2），也满足上述轨迹方程。综上所述，M的轨迹方程为x＋2y－5＝0。分析2：解法1中在利用kk＝－1时，需注意k、k是否存在，故而分情形讨论，能1212否避开讨论呢？只需利用△PAB为直角三角形的几何特性：1|MP||AB|2解法2：设M（x，y），连结MP，则A（2x，0），B（0，2y），∵l⊥l，∴△PAB为直角三角形121由直角三角形的性质，|MP||AB|21(x2)2(y4)2·(2x)2(2y)22化简，得x＋2y－5＝0，此即M的轨迹方程。分析3：：设M（x，y），由已知l⊥l，联想到两直线垂直的充要条件：kk＝－1，即1212可列出轨迹方程，关键是如何用M点坐标表示A、B两点坐标。事实上，由M为AB的中点，易找出它们的坐标之间的联系。解法3：设M（x，y），∵M为AB中点，∴A（2x，0），B（0，2y）。又l，l过点P（2，4），且l⊥l1212∴PA⊥PB，从而k·k＝－1，PAPB4042y而k，kPA22xPB20442y·1，化简，得x2y5022x2注意到l⊥x轴时，l⊥y轴，此时A（2，0），B（0，4）12中点M（1，2），经检验，它也满足方程x＋2y－5＝0综上可知，点M的轨迹方程为x＋2y－5＝0。【点评】1）解法1用了参数法，消参时应注意取值范围。解法2，3为直译法，运用了k·k＝PAPB1－1，|MP||AB|这些等量关系。。2用参数法求解时，一般参数可选用具有某种物理或几何意义的量，如时间，速度，距离，角度，有向线段的数量，直线的斜率，点的横，纵坐标等。也可以没有具体的意义，选定参变量还要特别注意它的取值范围对动点坐标取值范围的影响【变式3】过圆O：x2+y2=4外一点A（4，0），作圆的割线，求割线被圆截得的弦BC的中点M的轨迹。解法一：“几何法”设点M的坐标为（x,y）,因为点M是弦BC的中点，所以OM⊥BC,所以|OM|２＋|ＭＡ|２＝|ＯＡ|２，即(x2+y2)+(x－４)2+y2=16化简得：（x－2）2+y2=4................................①由方程①与方程x2+y2=4得两圆的交点的横坐标为1，所以点M的轨迹方程为（x－2）2+y2=4（0≤x＜1）。所以M的轨迹是以（2，0）为圆心，2为半径的圆在圆O内的部分。解法二：“参数法”设点M的坐标为（x,y），B（x,y）,C（x,y）直线AB的方程为y=k(x－4),1122由直线与圆的方程得（1+k2）x2－8k2x+16k2－4=0...........(*),xx4k2由点M为BC的中点，所以x=12...............(1),又OM⊥BC，所以21k2yk=.................(2)由方程（1）（2）x1消去k得（x－2）2+y2=4,又由方程（*）的△≥0得k2≤,所以x＜1.3所以点M的轨迹方程为（x－2）2+y2=4（0≤x＜1）所以M的轨迹是以（2，0）为圆心，2为半径的圆在圆O内的部分。四：用代入法等其它方法求轨迹方程x2y2例4.点B是椭圆1上的动点，A(2a，0)为定点，求线段AB的中点M的a2b2轨迹方程。分析：题中涉及了三个点A、B、M，其中A为定点，而B、M为动点，且点B的运动是有规律的，显然M的运动是由B的运动而引发的，可见M、B为相关点，故采用相关点法求动点M的轨迹方程。【解析】设动点M的坐标为（x，y），而设B点坐标为（x，y）00则由M为线段AB中点，可得x2a0x2x2x2a0y0y2y0y02即点B坐标可表为（2x－2a，2y）x2y2又点B(x，y)在椭圆1上00a2b2x2y2(2x2a)2(2y)2001从而有1，a2b2a2b24(xa)24y2整理，得动点M的轨迹方程为1a2b2【点评】代入法的关键在于找到动点和其相关点坐标间的等量关系【变式4】如图所示，已知P(4，0)是圆x2+y2=36内的一点，A、B是圆上两动点，且满足∠APB=90°，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程yBQ【解析】：设AB的中点为R，坐标为(x,y)，则在Rt△ABP中，|AR|=|PR|又因为R是弦AB的中点，依垂径定理在RRt△OAR中，|AR|2=|AO|2－|OR|2=36－(x2+y2)AoPx又|AR|=|PR|=(x4)2y2所以有(x－4)2+y2=36－(x2+y2),即x2+y2－4x－10=0因此点R在一个圆上，而当R在此圆上运动时，Q点即在所求的轨迹上运动x4y0设Q(x,y)，R(x,y)，因为R是PQ的中点，所以x=,y,111212代入方程x2+y2－4x－10=0,得x4yx4()2()24－10=0222整理得x2+y2=56,这就是所求的轨迹方程五、用交轨法求轨迹方程x2y21a2b2六、用点差法求轨迹方程分析：此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法．解：设弦两端点分别为Mx，y，Nx，y，线段MN的中点Rx，y，则1122x22y22，①①－②得xxxx2yyyy0．1112121212由题意知xx，则上式两端同除以xx，有x22y22，②121222yyxx2x，③xx2yy120，121212xxyy2y，④1212yy将③④代入得x2y120．⑤xx1211yy1（1）将x，y代入⑤，得12，故所求直线方程为：2x4y30．⑥22xx21211将⑥代入椭圆方程x22y22得6y26y0，36460符合题意，442x4y30为所求．yy（2）将122代入⑤得所求轨迹方程为：x4y0．（椭圆内部分）xx12yyy1（3）将12代入⑤得所求轨迹方程为：x22y22x2y0．（椭圆内部分）xxx212练习1【正确解答】ABC为三角形，故A，B，C不能三点共线。轨迹方程里应除去点(5,0).(5,0)，x2y2即轨迹方程为1(x5)25162.两条直线xmy10与mxy10的交点的轨迹方程是.【解答】:直接消去参数m即得(交轨法):x2y2xy03:已知圆的方程为(x-1)2+y2=1,过原点O作圆的弦0A，则弦的中点M的轨迹方程是.【解答】:令M点的坐标为(x,y),则A的坐标为(2x,2y),代入圆的方程里面11得:(x)2y2(x0)244:当参数m随意变化时，则抛物线yx22m1xm21的顶点的轨迹方程为【分析】：把所求轨迹上的动点坐标x，y分别用已有的参数m来表示，然后消去参数m，125便可得到动点的轨迹方程。【解答】：抛物线方程可化为xmym2415它的顶点坐标为xm，ym243消去参数m得：yx4故所求动点的轨迹方程为4x4y30。5:点M到点F（4，0）的距离比它到直线x50的距离小1，则点M的轨迹方程为【分析】：点M到点F（4，0）的距离比它到直线x50的距离小1，意味着点M到点F（4，0）的距离与它到直线x40的距离相等。由抛物线 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 方程可写出点M的轨迹方程。【解答】：依题意，点M到点F（4，0）的距离与它到直线x4的距离相等。则点M的轨迹是以F（4，0）为焦点、x4为准线的抛物线。故所求轨迹方程为y216x。6:求与两定点OO，0、A3，0距离的比为1：2的点的轨迹方程为_________1PO1【分析】:设动点为P，由题意，则依照点P在运动中所遵循的条件，可列出等量PA2关系式。PO1【解答】：设Px，y是所求轨迹上一点，依题意得PA2x2y21由两点间距离公式得：x32y22化简得：x2y22x307抛物线y24x的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）与抛物线交于A、B两点，动点C在抛物线上，求△ABC重心P的轨迹方程。【分析】：抛物线y24x的焦点为F1，0。设△ABC重心P的坐标为(x，y)，点C的坐标为(x，y)。其中x1111x2y【解答】：因点Px，y是重心，则由分点坐标公式得：x1，y133即x3x2，y3y11由点Cx，y在抛物线y24x上，得：y24x111142将x3x2，y3y代入并化简，得：y2x（x1)11339.已知动点P到定点F（1，0）和直线x=3的距离之和等于4，求点P的轨迹方程。【解答】：设点P的坐标为（x，y），则由题意可得。（1）当x≤3时，方程变为(x1)2y23x4,(x1)2y2x1，化简得y24x(0x3)。（2）当x>3时，方程变为(x1)2y2x34,(x1)2y27x，化简得。故所求的点P的轨迹方程是或10.过原点作直线l和抛物线yx24x6交于A、B两点，求线段AB的中点M的轨迹方程。【解答】：由题意分析知直线l的斜率一定存在，设直线l的方程y=kx。把它代入抛物线方程，得。因为直线和抛物线相交，所以△>0，解得k(,426)(426,)。设A（），B（），M（x，y），由韦达定理得。由消去k得。又，所以x(,6)(6,)。∴点M的轨迹方程为y2x24x,x(,6)(6,)。