er二次函数复习

二次函数知识点总结相关概念及定义二次函数的概念：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数，而可以为零．二次函数的定义域是全体实数．二次函数各种形式之间的变换二次函数用配方法可化成：的形式，其中.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①；②；③；④；⑤.二次函数解析式的 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示方法一般式：（，，为常数，）；顶点式：（，，为常数，）；两根式：（，，是抛物线与轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.二次函数的性质二次函数的性质二次函数的性质：二次函数的性质抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同.对称轴：平行于轴（或重合）的直线记作.特别地，轴记作直线.顶点坐标坐标：顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.抛物线中，与函数图像的关系二次项系数二次函数中，作为二次项系数，显然．⑴当时，抛物线开口向上，越大，开口越小，反之的值越小，开口越大；⑵当时，抛物线开口向下，越小，开口越小，反之的值越大，开口越大．总结起来，决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小．一次项系数总结起来，在确定的前提下，决定了抛物线对称轴的位置．(左同右异)b=0时对称轴是y轴总结：常数项⑴当时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正；⑵当时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为；⑶当时，抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为负．总结起来，决定了抛物线与轴交点的位置．总之，只要都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．求抛物线的顶点、对称轴的方法公式法：，∴顶点是，对称轴是直线.配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为的形式，得到顶点为(,)，对称轴是直线.运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.用待定系数法求二次函数的解析式一般式：.已知图像上三点或三对、的值，通常选择一般式.顶点式：.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.交点式：已知图像与轴的交点坐标、，通常选用交点式：.直线与抛物线的交点轴与抛物线得交点为(0,).与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点(,).抛物线与轴的交点:二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3抛物线与轴相交；②有一个交点（顶点在轴上）EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3抛物线与轴相切；③没有交点EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3抛物线与轴相离.平行于轴的直线与抛物线的交点可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为，则横坐标是的两个实数根.一次函数的图像与二次函数的图像的交点，由方程组的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时EMBEDEquation.3与有两个交点;②方程组只有一组解时EMBEDEquation.3与只有一个交点；③方程组无解时EMBEDEquation.3与没有交点.抛物线与轴两交点之间的距离：若抛物线与轴两交点为，由于、是方程的两个根，故EMBEDEquation.3二次函数图象的对称:二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达关于轴对称关于轴对称后，得到的解析式是；关于轴对称后，得到的解析式是；关于轴对称关于轴对称后，得到的解析式是；关于轴对称后，得到的解析式是；总结：根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．二次函数图象的平移平移步骤：⑴将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；⑵保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：平移规律在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．平移式。把抛物线y=-2x2向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到抛物线y=a(x-h)2+k,求此抛物线解析式。抛物线向上平移,使抛物线经过点C(0,2),求抛物线的解析式.距离式。1，抛物线y=ax2+4ax+1(a﹥0)与x轴的两个交点间的距离为2，求抛物线的解析式。2，已知抛物线y=mx2+3mx-4m(m﹥0)与x轴交于A、B两点，与一轴交于C点，且AB=BC,求此抛物线的解析式。对称轴式。1、抛物线y=x2-2x+(m2-4m+4)与x轴有两个交点，这两点间的距离等于抛物线顶点到y轴距离的2倍，求抛物线的解析式。已知抛物线y=-x2+ax+4,交x轴于A,B（点A在点B左边）两点，交y轴于点C,且OB-OA=OC，求此抛物线的解析式。对称式。平行四边形ABCD对角线AC在x轴上，且A（-10，0），AC=16，D（2，6）。AD交y轴于E，将三角形ABC沿x轴折叠，点B到B1的位置，求经过A,B,E三点的抛物线的解析式。求与抛物线y=x2+4x+3关于y轴（或x轴）对称的抛物线的解析式。切点式。1，已知直线y=ax-a2(a≠0)与抛物线y=mx2有唯一公共点，求抛物线的解析式。2，直线y=x+a与抛物线y=ax2+k的唯一公共点A（2，1）,求抛物线的解析式。判别式式。1、已知关于X的一元二次方程（m+1）x2+2(m+1)x+2=0有两个相等的实数根，求抛物线y=-x2+(m+1)x+3解析式。已知抛物线y=(a+2)x2-(a+1)x+2a的顶点在x轴上,求抛物线的解析式。已知抛物线y=(m+1)x2+(m+2)x+1与x轴有唯一公共点，求抛物线的解析式1、二次函数的概念一般地，如果特，特别注意a不为零那么y叫做x的二次函数。叫做二次函数的一般式。2、二次函数的图像二次函数的图像是一条关于对称的曲线，这条曲线叫抛物线。抛物线的主要特征：①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。3、二次函数图像的画法五点法：（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴（2）求抛物线与坐标轴的交点：当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A,B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C的对称点D。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D。由C、M、D三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A、B，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。知识点二、二次函数的解析式二次函数的解析式有三种形式：口诀-----一般两根三顶点（1）一般一般式：（2）两根当抛物线与x轴有交点时，即对应二次好方程有实根和存在时，根据二次三项式的分解因式，二次函数可转化为两根式。如果没有交点，则不能这样表示。a的绝对值越大，抛物线的开口越小,a的绝对值越大，抛物线的开口越小.（3）三顶点顶点式：知识点三、二次函数的最值如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当时，。如果自变量的取值范围是，那么，首先要看是否在自变量取值范围内，若在此范围内，则当x=时，；若不在此范围内，则需要考虑函数在范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当时，，当时，；如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当时，，当时，。☆、几种特殊的二次函数的图像特征如下： 函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标 当时开口向上当时开口向下 （轴） （0,0） （轴） (0,) (,0) (,) ()知识点四、二次函数的性质1、二次函数的性质 函数 二次函数 图像 a>0 a<0 y0x y0x 性质 （1）抛物线开口向上，并向上无限延伸；（2）对称轴是x=，顶点坐标是（，）；（3）在对称轴的左侧，即当x<时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当x>时，y随x的增大而增大，简记左减右增；（4）抛物线有最低点，当x=时，y有最小值， （1）抛物线开口向下，并向下无限延伸；（2）对称轴是x=，顶点坐标是（，）；（3）在对称轴的左侧，即当x<时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当x>时，y随x的增大而减小，简记左增右减；（4）抛物线有最高点，当x=时，y有最大值，2、二次函数中，的含义：表示开口方向：>0时，抛物线开口向上<0时，抛物线开口向下与对称轴有关：对称轴为x=表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，）3、二次函数与一元二次方程的关系一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标。因此一元二次方程中的，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点。当>0时，图像与x轴有两个交点；当=0时，图像与x轴有一个交点；当<0时，图像与x轴没有交点。知识点五中考二次函数压轴题常考公式（必记必会，理解记忆）1、两点间距离公式（当遇到没有思路的题时，可用此方法拓展思路，以寻求解题方法）y如图：点A坐标为（x1，y1）点B坐标为（x2，y2）则AB间的距离，即线段AB的长度为A0xB知识点五二次函数图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点，（若与轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.☆、已知二次函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（　　　）A、　　B、C、　D、☆、函数在同一坐标系中的图象可能是（　　　）特别记忆--同左上加异右下减(必须理解记忆)说明①函数中ab值同号，图像顶点在y轴左侧同左，ab值异号，图像顶点必在Y轴右侧异右②向左向上移动为加左上加，向右向下移动为减右下减直线斜率：b为直线在y轴上的截距4、直线方程：①两点由直线上两点确定的直线的两点式方程，简称两式:此公式有多种变形牢记②点斜③斜截直线的斜截式方程，简称斜截式:y＝kx＋b(k≠0)④截距由直线在轴和轴上的截距确定的直线的截距式方程，简称截距式：牢记口诀---两点斜截距--两点点斜斜截截距5、设两条直线分别为，：：若，则有且。若点P（x0，y0）到直线y=kx+b(即：kx-y+b=0)的距离:抛物线中，abc,的作用（1）决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.（2）和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线，故：①时，对称轴为轴；②（即、同号）时，对称轴在轴左侧；③（即、异号）时，对称轴在轴右侧.口诀---同左异右（3）的大小决定抛物线与轴交点的位置.当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点（0，）：①，抛物线经过原点;②,与轴交于正半轴；③,与轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则.二次函数、、、的性质 函数解析式 开口方向 当时,开口向上;当时,开口向下. 顶　点 （0,0） （0,k） （h,0） （h,k） 对称轴 （轴） （轴） 最　值 当x=0时,最小值为0. 当x=0时,最小值为k 当x=h时,最小值为k. 当x=h时,最小值为k 增减性　　对称轴左右　　　　　　侧 在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小.在对称轴的右侧,y随着x的增大而增大 在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小.在对称轴的右侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小.在对称轴的右侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小.在对称轴的右侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小.在对称轴的右侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小.在对称轴的右侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小.在对称轴的右侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小.在对称轴的右侧,y随着x的增大而增大. 注：图形呈上升状态→y随着x的增大而增大　　图形呈下降状态→y随着x的增大而减小xyOxyOxyOxyOABCD_1234568017.unknown_1234568081.unknown_1234568145.unknown_1234568177.unknown_1234568193.unknown_1234568201.unknown_1234568209.unknown_1234568213.unknown_1234568215.unknown_1234568217.unknown_1234568219.unknown_1234568220.unknown_1234568218.unknown_1234568216.unknown_1234568214.unknown_1234568211.unknown_1234568212.unknown_1234568210.unknown_1234568205.unknown_1234568207.unknown_1234568208.unknown_1234568206.unknown_1234568203.unknown_1234568204.unknown_1234568202.unknown_1234568197.unknown_1234568199.unknown_1234568200.unknown_1234568198.unknown_1234568195.unknown_1234568196.unknown_1234568194.unknown_1234568185.unknown_1234568189.unknown_1234568191.unknown_1234568192.unknown_1234568190.unknown_1234568187.unknown_1234568188.unknown_1234568186.unknown_1234568181.unknown_1234568183.unknown_1234568184.unknown_1234568182.unknown_1234568179.unknown_1234568180.unknown_1234568178.unknown_1234568161.unknown_1234568169.unknown_1234568173.unknown_1234568175.unknown_1234568176.unknown_1234568174.unknown_1234568171.unknown_1234568172.unknown_1234568170.unknown_1234568165.unknown_1234568167.unknown_1234568168.unknown_1234568166.unknown_1234568163.unknown_1234568164.unknown_1234568162.unknown_1234568153.unknown_1234568157.unknown_1234568159.unknown_1234568160.unknown_1234568158.unknown_1234568155.unknown_1234568156.unknown_1234568154.unknown_1234568149.unknown_1234568151.unknown_1234568152.unknown_1234568150.unknown_1234568147.unknown_1234568148.unknown_1234568146.unknown_1234568113.unknown_1234568129.unknown_1234568137.unknown_1234568141.unknown_1234568143.unknown_1234568144.unknown_1234568142.unknown_1234568139.unknown_1234568140.unknown_1234568138.unknown_1234568133.unknown_1234568135.unknown_1234568136.unknown_1234568134.unknown_1234568131.unknown_1234568132.unknown_1234568130.unknown_1234568121.unknown_1234568125.unknown_1234568127.unknown_1234568128.unknown_1234568126.unknown_1234568123.unknown_1234568124.unknown_1234568122.unknown_1234568117.unknown_1234568119.unknown_1234568120.unknown_1234568118.unknown_1234568115.unknown_1234568116.unknown_1234568114.unknown_1234568097.unknown_1234568105.unknown_1234568109.unknown_1234568111.unknown_1234568112.unknown_1234568110.unknown_1234568107.unknown_1234568108.unknown_1234568106.unknown_1234568101.unknown_1234568103.unknown_1234568104.unknown_1234568102.unknown_1234568099.unknown_1234568100.unknown_1234568098.unknown_1234568089.unknown_1234568093.unknown_1234568095.unknown_1234568096.unknown_1234568094.unknown_1234568091.unknown_1234568092.unknown_1234568090.unknown_1234568085.unknown_1234568087.unknown_1234568088.unknown_1234568086.unknown_1234568083.unknown_1234568084.unknown_1234568082.unknown_1234568049.unknown_1234568065.unknown_1234568073.unknown_1234568077.unknown_1234568079.unknown_1234568080.unknown_1234568078.unknown_1234568075.unknown_1234568076.unknown_1234568074.unknown_1234568069.unknown_1234568071.unknown_1234568072.unknown_1234568070.unknown_1234568067.unknown_1234568068.unknown_1234568066.unknown_1234568057.unknown_1234568061.unknown_1234568063.unknown_1234568064.unknown_1234568062.unknown_1234568059.unknown_1234568060.unknown_1234568058.unknown_1234568053.unknown_1234568055.unknown_1234568056.unknown_1234568054.unknown_1234568051.unknown_1234568052.unknown_1234568050.unknown_1234568033.unknown_1234568041.unknown_1234568045.unknown_1234568047.unknown_1234568048.unknown_1234568046.unknown_1234568043.unknown_1234568044.unknown_1234568042.unknown_1234568037.unknown_1234568039.unknown_1234568040.unknown_1234568038.unknown_1234568035.unknown_1234568036.unknown_1234568034.unknown_1234568025.unknown_1234568029.unknown_1234568031.unknown_1234568032.unknown_1234568030.unknown_1234568027.unknown_1234568028.unknown_1234568026.unknown_1234568021.unknown_1234568023.unknown_1234568024.unknown_1234568022.unknown_1234568019.unknown_1234568020.unknown_1234568018.unknown_1234567953.unknown_1234567985.unknown_1234568001.unknown_1234568009.unknown_1234568013.unknown_1234568015.unknown_1234568016.unknown_1234568014.unknown_1234568011.unknown_1234568012.unknown_1234568010.unknown_1234568005.unknown_1234568007.unknown_1234568008.unknown_1234568006.unknown_1234568003.unknown_1234568004.unknown_1234568002.unknown_1234567993.unknown_1234567997.unknown_1234567999.unknown_1234568000.unknown_1234567998.unknown_1234567995.unknown_1234567996.unknown_1234567994.unknown_1234567989.unknown_1234567991.unknown_1234567992.unknown_1234567990.unknown_1234567987.unknown_1234567988.unknown_1234567986.unknown_1234567969.unknown_1234567977.unknown_1234567981.unknown_1234567983.unknown_1234567984.unknown_1234567982.unknown_1234567979.unknown_1234567980.unknown_1234567978.unknown_1234567973.unknown_1234567975.unknown_1234567976.unknown_1234567974.unknown_1234567971.unknown_1234567972.unknown_1234567970.unknown_1234567961.unknown_1234567965.unknown_1234567967.unknown_1234567968.unknown_1234567966.unknown_1234567963.unknown_1234567964.unknown_123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