PAGE第3节 万有引力定律的应用一、选择题1．一飞船在某行星表面附近沿圆轨道绕该行星飞行．认为行星是密度均匀的球体，要确定该行星的密度，只需要测量( )A．飞船的轨道半径B．飞船的运行速度C．飞船的运行周期D．行星的质量2．在万有引力常量G已知的情况下，若再知道下列哪些数据，就可以计算出地球的质量( )A．地球绕太阳运动的周期及地球离太阳的距离B．人造地球卫星在地面附近绕行的速度和运行周期C．月球绕地球运行的周期及地球半径D．若不考虑地球自转，已知地球半径和地球表面的重力加速度3．我国曾发射一颗绕月运行的探月卫星“嫦娥1号”．设想“嫦娥1号”贴近月球表面做匀速圆周运动，其周期为T.“嫦娥1号”在月球上着陆后，自动机器人用测力计测得质量为m的仪器重力为P.已知引力常量为G，由以上数据可以求出的量有( )A．月球的半径B．月球的质量C．月球表面的重力加速度D．月球绕地球做匀速圆周运动的向心加速度二、非选择题4．已知地球质量大约是M＝6.0×1024kg，地球平均半径为R＝6370km，地球表面的重力加速度g＝9.8m/s2.求：(1)地球表面一质量为10kg物体受到的万有引力；(2)该物体受到的重力；(3)比较说明为什么通常情况下重力可以认为等于万有引力．5．假设在半径为R的某天体上发射一颗该天体的卫星，若它贴近天体的表面做匀速圆周运动的周期为T1，已知万有引力常量为G，则该天体的密度是多少？若这颗卫星距该天体表面的高度为h，测得在该处做圆周运动的周期为T2，则该天体的密度又是多少？6.已知万有引力常量G，地球半径R，月球和地球之间的距离r，同步卫星距地面的高度h，月球绕地球的运转周期T1.地球的自转周期T2，地球表面的重力加速度g，某同学根据以上条件，提出一种估算地球质量M的
方法
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：同步卫星绕地心做圆周运动，由Geq\f(Mm,h2)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T2)))2h，得M＝eq\f(4π2h3,GT\o\al(2,2)).(1)请判断上面的结果是否正确，并说明理由．如不正确，请给出正确的解法和结果；(2)请根据已知条件再提出两种估算地球质量的方法并解得结果．7．已知地球半径R＝6.4×106m，地面附近重力加速度g＝9.8m/s2，计算在距离地面高为h＝2.0×106m的圆形轨道上的卫星做匀速圆周运动的线速度v和周期T.(结果保留两位有效数字)第3节 万有引力定律的应用1．C [飞船在行星表面附近飞行，则Geq\f(Mm,R2)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2R，M＝eq\f(4π2R3,GT2)，行星的密度为ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(\f(4π2R3,GT2),\f(4,3)πR3)＝eq\f(3π,GT2)，即只要知道飞船的运行周期就可以确定该行星的密度．故C选项正确．]2．BD [已知地球绕太阳运动的情况只能求太阳的质量，A错．由Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(v2,R)及T＝eq\f(2πR,v)得M＝eq\f(Tv3,2πG)，B对．已知月球绕地球的周期及轨道半径才能求地球的质量，C错．由mg＝Geq\f(Mm,R2)得M＝eq\f(gR2,G)，D对．]3．ABC [万有引力提供卫星做圆周运动的向心力，设卫星质量为m′，有Geq\f(Mm′,R2)＝m′Req\f(4π2,T2)，又月球表面万有引力等于重力，Geq\f(Mm,R2)＝P＝mg月，两式联立可以求出月球的半径R、质量M、月球表面的重力加速度g月，故A、B、C都正确．]4．(1)98.6N (2)98.0N (3)见解析解析 (1)由万有引力定律得F＝Geq\f(Mm,r2)，代入数据得F≈98.6N.(2)重力G＝mg＝98.0N.(3)比较结果，万有引力比重力大，原因是在地球表面上的物体所受到的万有引力可分解为重力和随地球自转所需的向心力．但计算结果表明物体随地球自转所需的向心力远小于物体受到的万有引力，所以通常情况下可认为重力等于万有引力．5.eq\f(3π,GT\o\al(2,1)) eq\f(3πR＋h3,GT\o\al(2,2)R3)解析 设卫星的质量为m，天体的质量为M.卫星贴近天体表面运动时有Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(4π2,T\o\al(2,1))R，M＝eq\f(4π2R3,GT\o\al(2,1))根据数学知识可知星球的体积V＝eq\f(4,3)πR3故该星球密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(4π2R3,GT\o\al(2,1)·\f(4,3)πR3)＝eq\f(3π,GT\o\al(2,1))卫星距天体表面距离为h时有Geq\f(Mm,R＋h2)＝meq\f(4π2,T\o\al(2,2))(R＋h)，M＝eq\f(4π2R＋h3,GT\o\al(2,2))ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(4π2R＋h3,GT\o\al(2,2)·\f(4,3)πR3)＝eq\f(3πR＋h3,GT\o\al(2,2)R3)6．见解析解析 (1)上面结果是错误的．地球的半径R在计算过程中不能忽略．正确的解法和结果是Geq\f(Mm,R＋h2)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T2)))2(R＋h)，得M＝eq\f(4π2R＋h3,GT\o\al(2,2))(2)方法一：对于月球绕地球做圆周运动，由Geq\f(Mm,r2)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T1)))2r，得M＝eq\f(4π2r3,GT\o\al(2,1)).方法二：在地球表面重力近似等于万有引力，由Geq\f(Mm,R2)＝mg得M＝eq\f(gR2,G).7．6.9×103m/s 7.6×103s解析 根据万有引力提供卫星做圆周运动的向心力，即Geq\f(Mm,R＋h2)＝meq\f(v2,R＋h).知v＝eq\r(\f(GM,R＋h))①由地球表面附近万有引力近似等于重力，即Geq\f(Mm,R2)＝mg，得GM＝gR2②由①②两式可得v＝eq\r(\f(gR2,R＋h))＝6.4×106×eq\r(\f(9.8,6.4×106＋2.0×106))m/s≈6.9×103m/s运动周期T＝eq\f(2πR＋h,v)＝eq\f(2×3.14×6.4×106＋2.0×106,6.9×103)s≈7.6×103s
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