自动控制理论 第5章-第4讲

自动控制原理第5章第4讲奈圭斯特稳定荆楚理工学院电子信息工程学院一、教学目标:掌握乃奎斯特稳定判据，能够熟练运用稳定判据判稳。二、教学重点与难点:乃奎斯特稳定判据、相对稳定性的计算三、教学 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 与手段：多媒体结合板 书 关于书的成语关于读书的排比句社区图书漂流公约怎么写关于读书的小报汉书pdf 四、教学时数：2课时五、课后作业：P154T6-13，T6-14T6-175-4乃奎斯特稳定性判据为了保证系统稳定，特征方程的全部根，都必须位于s左半平面。乃奎斯特稳定判据正是一种将开环频率响应与在s右半平面内的零点数和极点数联系起来的判据。因为闭环系统的稳定性可以由开环频率响应曲线图解确定，无需实际求出闭环极点，所以这种判据在控制工程中得到了广泛应用。对于s平面上的每一点，在F(s)平面上必有唯一的一个映射点与之对应；一、映射定理（幅角定理）：同理，对于s平面上的任意一条不通过极点和零点的闭合曲线Cs，在F(s)平面上必有唯一的一条闭合曲线CF与之对应。若s平面上的闭合曲线Cs按顺时针方向运动，则其在平面上的映射曲线CF的运动方向可能是顺时针，也可能是逆时针，它完全取决于F(s)本身的特性。s平面上不通过F(s)任何零点和极点的封闭曲线Cs包围F(s)的Z个零点和P个极点。当s以顺时针方向沿封闭曲线Cs移动一周时，在F(s)平面上的映射曲线CF将以逆时针方向绕原点旋转N圈。N，Z，P的关系为：N=P-Z。若N为负， 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示CF顺时针运动，包围原点；若N为0，表示CF不包围原点；若N为正，表示CF逆时针运动，包围原点。映射定理（幅角定理）：二、乃奎斯特稳定判据：设负反馈系统的开环传递函数闭环特征多项式可见，F(s)的极点就是开环传递函数的极点（开环极点）。设负反馈系统的开环传递函数闭环传递函数可见，F(s)的零点就是闭环传递函数的极点（闭环极点）。对于一个控制系统，若其特征根处于s右半平面，则系统是不稳定的。的零点恰好是闭环系统的极点，因此，只要搞清F(s)的的零点在s右半平面的个数，就可以给出稳定性结论。如果F(s)在s右半平面的零点个数为零，则闭环系统是稳定的。我们这里是应用开环频率特性研究闭环系统的稳定性，因此开环频率特性是已知的。设想：如果有一个s平面的封闭曲线能包围整个s右半平面，则根据幅角定理知：该封闭曲线在F(s)平面上的映射逆时针包围原点的次数应为：当已知开环右半极点数时，便可由N判断闭环右极点数。这里需要解决两个问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 ：1、如何构造一个能够包围整个s右半平面的封闭曲线，并且它是满足幅角条件的？2、如何确定相应的映射F(s)对原点的包围次数N，并将它和开环频率特性相联系？它可分为三部分：Ⅰ部分是正虚轴，Ⅱ部分是右半平面上半径为无穷大的半圆；；Ⅲ部分是负虚轴，。第1个问题：先假设F(s)在虚轴上没有零、极点。按顺时针方向做一条曲线包围整个s右半平面，这条封闭曲线称为乃奎斯特回线，简称奈氏回线。如下图：ⅠⅡⅢ第2个问题：对于实际的系统，G(s)H(s)中n≥m，当s→∞时，这意味着当s沿着半径为无穷大的半圆变化时，函数始终为一常数。由此可知，平面上的映射曲线CF是否包围坐标原点，只取决于奈氏路径上虚轴部分的映射，即由轴的映射曲线来表征。乃奎斯特稳定判据：（1）如果开环系统是稳定的，即P=0，则闭环系统稳定的充要条件是曲线不包围点。（2）如果开环系统不稳定，且已知有P个开环极点位于s的右半平面，则其闭环系统稳定的充要条件是曲线按逆时针方向围绕(-1,j0)点旋转P周。开环幅相频率特性曲线和部分是关于实轴对称的，运用乃氏判据时，可以利用对称性把乃氏曲线补全，再进行判断；也可以只画出的部分来判断，如果系统稳定，则应有。当曲线恰好通过时，说明闭环系统有极点落在虚轴上，系统也是不稳定的。[例]开环传递函数，试用乃氏判据判断闭环系统的稳定性。[解]：开环系统的乃氏图如右。系统在s右半平面没有开环极点乃氏图不包围(-1,j0)点故闭环系统是稳定的。[例]设系统开环传递函数为：，试用乃氏判据判断闭环系统的稳定性。[解]：开环极点为，都在s左半平面，所以。乃氏图如右。从图中可以看出：乃氏图顺时针围绕(-1,j0)点2圈。所以闭环系统在s右半极点数为：闭环系统是不稳定的。对于Ⅰ、Ⅱ型的开环系统，由于在虚轴上（原点）有极点，因此前述的乃氏路径不满足幅角定理。为了解决这一问题，需要重构乃奎斯特回线。上面讨论的乃奎斯特判据和例子，都是假设虚轴上没有开环极点，即开环系统都是0型的，这是为了满足幅角定理的条件。具有积分环节的系统，其开环传递函数为：可见，在坐标原点有重极点。若取乃氏回线同上时（通过虚轴的整个s右半平面），不满足映射定理。三、虚轴上有开环极点时的乃奎斯特稳定判据为了使奈氏路径不经过原点而仍然能包围整个s右半平面，对奈氏路径作如下修改：以原点为圆心，半径为无穷小做右半圆，使乃氏回线沿着小半圆绕过原点。Ⅰ部分：正虚轴，，Ⅱ部分为半径为无穷大的右半圆；Ⅲ部分负虚轴，Ⅳ部分为半径为无穷小的右半圆，ⅠⅡⅢⅣ这时的乃氏回线由以下四部分组成：下面讨论增加的第Ⅳ部分小半圆在Gk(s)平面的映射：ⅠⅡⅢⅣ当s沿小半圆移动时，有S平面当从变化到，在平面上的映射曲线将沿着半径为无穷大的圆弧按顺时针方向从变化到。下面讨论增加的第Ⅳ部分小半圆在Gk(s)平面的映射：ⅠⅡⅢⅣ这一段的映射为：半径为，角度从变到的右半圆。(a)对于Ⅰ型系统：S平面Gk(S)平面下面讨论增加的第Ⅳ部分小半圆在Gk(s)平面的映射：ⅠⅡⅢⅣ这一段的映射为：半径为，角度从变到的整个圆（顺时针）。(b)对于Ⅱ型系统：S平面Gk(S)平面[例]某系统的开环频率特性如下图所示。开环系统在s右半平面没有极点，试用乃氏判据判断闭环系统稳定性。[解]：显然这是Ⅰ型系统。先根据乃氏回线画出完整的映射曲线。从图上看出：映射曲线不包围(-1,j0)点，所以N=0，而，故闭环系统是稳定的。[例]某Ⅱ型系统的开环频率特性如下图所示，且s右半平面无开环极点，试用奈氏判据判断闭环系统稳定性。[解]：首先画出完整的奈氏曲线的映射曲线。如右图：从图上可以看出：映射曲线顺时针包围(-1,j0)两圈。因，所以，闭环系统是不稳定的。五、根据伯德图判断系统的稳定性开环系统的极坐标图（奈氏图）和对数坐标图（Bode图）的对应关系：0ReIm-11、奈氏图上单位圆对应于Bode图上的零分贝线；02、奈氏图上的负实轴对应于Bode图上的-1800线。奈氏图Bode图临界稳定点：(-1,j0)点单位圆以外对应临界稳定点：(-1,j0)点乃氏图中(-1,j0)点以左负实轴的穿越点对应伯德图中L(ω)>0范围内的与-180°线的穿越点。正穿越（相角增大）对应伯德图中L(ω)>0范围内随着ω的增加相频特性从下而上穿过-180°线。负穿越（相角减小）对应伯德图中L(ω)>0范围内随着ω的增加相频特性从上而下穿过-180°线。对数频率特性稳定判据若系统开环传递函数有P个位于s右半平面的特征根，则系统闭环稳定的充要条件是：在L(ω)>0的所有频率范围内，相频特性曲线(ω)与-180°线的正负穿越次数之差等于P/2。[例]系统开环传递函数为：在s右半平面没有开环极点，P=0L(ω)>0范围内相频特性从上而下穿越-180°线一次，正负穿越次数之差为1。闭环系统不稳定在s右半平面没有开环极点，P=0L(ω)>0范围内相频特性没有穿越-180°线。闭环系统稳定[例]已知开环传函六、系统的相对稳定性和稳定裕度对控制系统进行 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 时，往往还需要了解系统的相对稳定性，即稳定裕量的问题。最小相位系统闭环稳定的充要条件可简化为：开环频率特性曲线不包围(-1,j0)点。(-1，j0)点的幅值为1，相角为-180o，因此可以从幅值和相角两方面来讨论系统的稳定裕量。通常用开环频率特性离临界稳定点(-1，j0)点的远近程度来表征系统的相对稳定性。BA1/Kg1.幅值裕度Kg>1时，系统稳定；Kg=1时，系统临界稳定；Kg<1时，系统不稳定。-110ReIm2.相角裕度>0时，系统稳定；=0时，系统临界稳定；<0时，系统不稳定。rBA1/Kg-110ReIm0ReIm-10伯德图中：相角裕度显然，当和时，闭环系统是稳定的；否则是不稳定的。对于最小相位系统，和是同时发生或同时不发生的，所以经常只用一种稳定裕度来表示系统的稳定程度。常用相角裕度。增益裕度保持适当的稳定裕度，可以预防系统中元件性能变化可能带来的不利影响。为了得到较满意的暂态性能，一般相角裕度应当在30o至60o之间，增益裕度应大于6dB。对于最小相位系统，开环幅频特性和相频特性之间存在唯一的对应关系。通常希望系统的开环对数幅频特性在剪切频率处的斜率为-20dB/dec。稳定00ReIm-100ReIm-10临界稳定不稳定0ReIm-1-解：当K=10时，开环系统波德图如图所示。由Bode图可知：L(w)>0时穿越次数为0，系统是稳定的。[例]控制系统如图所示。1.K=10时，判断系统的稳定性，并求出相角裕量和幅值裕量；2.K=100时，判断系统的稳定性。相角裕度和增益裕度的计算：相角裕度：由于较小（小于2），所以：相角裕度为：先求幅值穿越频率增益裕度：由三角函数关系解得：增益裕度为：先求相角穿越频率当增益从K=10增大到K=100时，幅频特性曲线上移20dB，相频特性曲线不变。增大系统的开环增益，会降低系统的稳定性。由Bode图可知：当K=100时，L(w)>0时有一次负穿越，系统不稳定。K=10K=100习题：P154T6-13，T6-14T6-17