第三节中值定理§2.3.1中值定理§2.3.2洛必达法则§2.3.3泰勒公式P162LT2LT3将f(x)=ln(1+x)(x>－1)展开为x的幂式.利用上面结果的前五项计算ln1.20P115LT3……….解:P162LT2将f(x)=ln(1+x)展开为x的幂式x>-1P162LT2将f(x)=ln(1+x)展开为x的幂式x>－1利用上面结果的前五项计算ln1.2P162LT3x=0.2P162LT3x=0.2=0.1823解P162LT5其中第三节中值定理§2.3.1中值定理§2.3.2洛必达法则§2.3.3泰勒定理P19013,15P188XT2.31,2,3,5___Rolle’LawP18912.利用洛必达法则求极限(19:第一项分母为2次方不是3次方)6,7,8,拉格朗日中值定理XT2.31.验证下列函数在给定区间是否满足洛尔定理的条件。连续可导等高尖点又f’(x)为三次多项式函数，至多有三个不同的实数根，所以f’(x)=0有三个根分别位于内。证明：假设方程还有一个根为a≠0，则对于函数f(x)在区间0，a之间满足Rolle定理,故至少存在一点ξ介于0与a之间，有这与ξ介于0与a之间矛盾，所以假设错误原命题成立。XT2.35.证明方程只有x=0一个根.拉格朗日中值定理证明第二章微分学第一节导数及其运算第二节微分第三节中值定理导数的应用§2.3.4导数的应用1——函数单调性的判别法一、单调性的判别法二、单调区间的求法一、单调性的判别法证明:应用拉格朗日中值定理,得解：@1@2解：注意:区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性.求函数在内的单调性.解严格增区间为严格减区间为@3.二、单调区间的求法1.确定函数定义区间驻点，不可导点．2.找单调区间可能的分界点——求导数y’3.由各区间内导数的符号来判断函数的单调性解定义域为严格减少区间为：严格增加区间为：列
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讨论@4P157LT1P157LT2证明(1)P157LT2证明(2)综上(1)(2)命题不等式得证！P157LT2单调区间的求法1.确定函数定义区间驻点;不可导点．2.找单调区间可能的分界点——求导数y’3.由各区间内导数的符号来判断函数的单调性作业：XT2.318（2、5），19一、曲线的凹凸与拐点的定义二、曲线的凹凸与拐点的判定§2.3.4导数的应用2——曲线的凹凸与拐点一、曲线的凹凸与拐点的定义问题:如何研究曲线的弯曲方向?任意弧段位于所张弦的下(上)方上凹上凸把凹与凸的分界点称为曲线的拐点.定义若曲线弧位于其每一点的切线上方,则称该曲线是上凹的若曲线弧位于其每一点的切线下方,则称该曲线是上凸的.二、曲线凹凸与拐点的判定定理证明二、曲线凹凸与拐点的判定定理解注意到,P168LT3拐点的判定二、曲线凹凸与拐点的判定定理解上凹上凸上凹拐点拐点列表讨论：P169LT5解:例曲线拐点的充分条件注意:一、曲线的凹、凸、拐点的定义二、曲线的凹凸、拐点的判定§2.3.4导数的应用2——曲线的凹凸与拐点§2.3.4…导数的应用1.函数单调性的判别法2.曲线的凹凸与拐点3.函数的极值及其求法√√函数的极值及其求法一、函数极值的定义二、函数极值的求法§2.3.4导数的应用3——一、函数极值的定义21函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点x0称为极值点.(1)极值点只能是区间内部的点，区间端点不会是.(2)极值是局部概念，可有多个。极小值可能大于极大值。二、函数极值的求法例如,定理4(第一充分条件)P163f(x)在x0的去心δ邻域可导,x0点连续,极大值极小值(极值点情形)(不是极值点情形)(极值点情形)第一充分条件求极值的步骤:(3)根据嫌疑点两侧导数的符号，判定出极值点。@1求函数的极值.解:时，不存在,所以嫌疑点：解：@2定理4(第一充分条件)f(x)在x0的去心δ邻域可导,x0点连续,
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