PAGE3.2.2导数的运算法则一、选择题1．f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，则a的值等于( )A.eq\f(19,3)B.eq\f(16,3)C.eq\f(13,3)D.eq\f(10,3)解析：∵f′(x)＝3ax2＋6x，∴f′(－1)＝3a－6＝4.∴a＝eq\f(10,3).
答案
八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案
：D2．函数y＝(2011－8x)3的导数y′＝( )A．3(2011－8x)2B．－24xC．－24(2011－8x)2D．24(2011－8x)2解析：y′＝3(2011－8x)2×(2011－8x)′＝3(2011－8x)2×(－8)＝－24(2011－8x)2.答案：C3．若函数y＝f(x)＝eq\f(ex,x)在x＝x0处的导数值与函数值互为相反数，则x0的值( )A．等于0B．等于1C．等于eq\f(1,2)D．不存在解析：y′＝(eq\f(ex,x))′＝eq\f(xex－ex,x2)，∴f′(x0)＝eq\f(x0ex0－ex0,x\o\al(2,0))，又f(x0)＝eq\f(ex0,x0)，依题意得eq\f(ex0x0－1,x\o\al(2,0))＋eq\f(ex0,x0)＝0，解得x0＝eq\f(1,2).答案：C4．若函数f(x)＝eq\f(1,2)f′(－1)x2－2x＋3，则f′(－1)的值为( )A．0B．－1C．1D．2解析：∵f(x)＝eq\f(1,2)f′(－1)x2－2x＋3，∴f′(x)＝f′(－1)x－2.∴f′(－1)＝f′(－1)×(－1)－2.∴f′(－1)＝－1.答案：B5．曲线y＝xlnx在点(1,0)处的切线方程为( )A．y＝2x＋2B．y＝2x－2C．y＝x－1D．y＝x＋1解析：∵y＝xlnx，∴y′＝lnx＋1，则切线斜率k＝y′|x＝1＝1.切点为(1,0)，∴切线方程为y＝x－1.答案：C6．已知y＝eq\f(sinx,1＋cosx)，x∈(－π，π)，则当y′＝2时，x的值等于( )A.eq\f(π,3)B．－eq\f(π,3)C．±eq\f(π,3)D．±eq\f(2π,3)解析：∵y＝eq\f(sinx,1＋cosx)，∴y′＝eq\f(cosx1＋cosx－sinx·－sinx,1＋cosx2)＝eq\f(1＋cosx,1＋cosx2)＝eq\f(1,1＋cosx).令eq\f(1,1＋cosx)＝2，解得cosx＝－eq\f(1,2).∵x∈(－π，π)，∴x＝±eq\f(2π,3).答案：D7．设曲线y＝eq\f(x＋1,x－1)在点(3,2)处的切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，则a等于( )A．2B.eq\f(1,2)C．－eq\f(1,2)D．－2解析：y＝eq\f(x＋1,x－1)＝1＋eq\f(2,x－1)，∴y′＝－eq\f(2,x－12).∴y′|x＝3＝－eq\f(1,2).∴－a＝2.∴a＝－2.答案：D8．[2020·辽宁卷]当x∈[－2，1]时，不等式ax3－x2＋4x＋3≥0恒成立，则实数a的取值范围是( )A．[－5，－3]B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－6，－\f(9,8)))C．[－6，－2]D．[－4，－3]8．C [解析]当－2≤x<0时，不等式转化为a≤eq\f(x2－4x－3,x3)，令f(x)＝eq\f(x2－4x－3,x3)(－2≤x<0)，则f′(x)＝eq\f(－x2＋8x＋9,x4)＝eq\f(－（x－9）（x＋1）,x4)，故f(x)在[－2，－1]上单调递减，在(－1，0)上单调递增，此时有a≤eq\f(1＋4－3,－1)＝－2.当x＝0时，g(x)恒成立．当0
0，则a的取值范围是____________11．[解析]当a＝0时，f(x)＝－3x2＋1，存在两个零点，不符合题意，故a≠0.由f′(x)＝3ax2－6x＝0，得x＝0或x＝eq\f(2,a).若a<0，则函数f(x)的极大值点为x＝0，且f(x)极大值＝f(0)＝1，极小值点为x＝eq\f(2,a)，且f(x)极小值＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)))＝eq\f(a2－4,a2)，此时只需eq\f(a2－4,a2)>0，即可解得a<－2；若a>0，则f(x)极大值＝f(0)＝1>0，此时函数f(x)一定存在小于零的零点，不符合题意．综上可知，实数a的取值范围为(－∞，－2)．11．求曲线y＝x＋eq\r(x)在点(1,2)处的切线在x轴上的截距是________．解析：f′(x)＝(x＋eq\r(x))′＝1＋eq\f(1,2\r(x))，∴f′(1)＝eq\f(3,2)，即曲线在(1,2)点处的切线斜率k＝eq\f(3,2)，故切线方程为y－2＝eq\f(3,2)(x－1)，即3x－2y＋1＝0，令y＝0得x＝－eq\f(1,3)，故切线在x轴上的截距是－eq\f(1,3).答案：－eq\f(1,3)12．设曲线y＝eax在点(0,1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝________.解析：令y＝f(x)，则曲线y＝eax在点(0,1)处的切线的斜率为f′(0)，又切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，所以f′(0)＝2.因为f(x)＝eax，所以f′(x)＝(eax)′＝eax·(ax)′＝aeax，所以f′(0)＝ae0＝a，故a＝2.答案：2三、解答题13．求下列函数的导数：(1)y＝sinx－2x2；(2)y＝cosx·lnx；(3)y＝e－2x＋1；(4)y＝eq\f(\r(2x－1),x).解：(1)y′＝(sinx－2x2)′＝(sinx)′－(2x2)′＝cosx－4x.(2)y′＝(cosx·lnx)′＝(cosx)′·lnx＋cosx·(lnx)′＝－sinx·lnx＋eq\f(cosx,x).(3)y′＝(e－2x＋1)′＝e－2x＋1·(－2x＋1)′＝－2·e－2x＋1.14．求曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积．解：依题意得y′＝e－2x×(－2)＝－2e－2x，y′|x＝0＝－2e－2×0＝－2，故曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线方程是y－2＝－2x，即y＝－2x＋2.在坐标系中画出直线y＝－2x＋2，y＝0与y＝x，注意到直线y＝－2x＋2与y＝x的交点坐标是A(eq\f(2,3)，eq\f(2,3))，直线y＝－2x＋2与x轴的交点坐标是B(1,0)，结合图形不难得知，这三条直线所围成的三角形AOB的面积等于eq\f(1,2)×1×eq\f(2,3)＝eq\f(1,3).15．设f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1的导数f′(x)满足f′(1)＝2a，f′(2)＝－b，其中常数a，b∈R.求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程．解：因为f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1，所以f′(x)＝3x2＋2ax＋b.令x＝1，得f′(1)＝3＋2a＋b，又f′(1)＝2a，因此3＋2a＋b＝2a，解得b＝－3.又令x＝2，得f′(2)＝12＋4a＋b，又f′(2)＝－b，因此12＋4a＋b＝－b，解得a＝－eq\f(3,2).因此f(x)＝x3－eq\f(3,2)x2－3x＋1，从而f(1)＝－eq\f(5,2).又f′(1)＝2×(－eq\f(3,2))＝－3，故曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－(－eq\f(5,2))＝－3(x－1)．即6x＋2y－1＝0.[拓展延伸]16．设f(x)＝x(x＋1)(x＋2)·…·(x＋2012)．求f′(0)．解：令g(x)＝(x＋1)(x＋2)·…·(x＋2012)，则f(x)＝xg(x)，两边求导得f′(x)＝x′g(x)＋xg′(x)＝g(x)＋xg′(x)，所以f′(0)＝g(0)＋0·g′(0)＝g(0)＝1×2×3×…×2012＝2012！.即f′(0)＝2012！.
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