北京四中高中数学 任意角的三角函数基础知识讲解 新人教A版必修1

此资料由网络收集而来，如有侵权请告知上传者立即删除。资料共分享，我们负责传递知识。任意角的三角函数【学习目标】1.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义，能由三角函数的定义求其定义域、函数值的符号.2.理解单位圆、正弦线、余弦线、正切线的概念及意义.3．会应用三角函数的定义解决相关问题。【要点梳理】要点一：三角函数定义设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点,那么:(1)叫做的正弦,记做,即；(2)叫做的余弦,记做,即；(3)叫做的正切,记做,即.要点诠释：三角函数的值与点在终边上的位置无关，仅与角的大小有关.我们只需计算点到原点的距离,那么,,。要点二：三角函数在各象限的符号三角函数在各象限的符号：在记忆上述三角函数值在各象限的符号时，有以下口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦。要点诠释：口诀的含义是在第一象限各三角函数值为正；在第二象限正弦值为正，在第三象限正切值为正，在第四象限余弦值为正。要点三：诱导公式一终边相同的角的同一三角函数的值相等，其中，其中，其中要点诠释：该组公式说明了终边相同的角的同一三角函数的值相等这个结论。要注意在三角函数中，角和三角函数值的对应关系是多值对应关系，即给定一个角，它的三角函数值是唯一确定的(除不存在的情况)；反之，给定一个三角函数值，有无穷多个角和它对应.要点四：单位圆中的三角函数线圆心在原点，半径等于1的圆为单位圆．设角的顶点在圆心O，始边与轴正半轴重合，终边交单位圆于P，过P作PM垂直轴于M，作PN垂直轴于点N.以A为原点建立轴与轴同向，与的终边(或其反向延长线)相交于点(或)，则有向线段0M、0N、AT(或)分别叫作的余弦线、正弦线、正切线，统称为三角函数线.有向线段：既有大小又有方向的线段.要点诠释：三条有向线段的位置：正弦线为的终边与单位圆的交点到轴的垂直线段；余弦线在轴上；正切线在过单位圆与轴的正方向的交点的切线上；三条有向线段中两条在单位圆内，一条在单位圆外.【典型例题】类型一：三角函数的定义例1．已知角的终边经过点P（－4a，3a）（a≠0），求sin，cos，tan的值。【思路点拨】先根据点P（－4a，3a）求出OP的长；再分a＞0，a＜0两种情况结合任意角的三角函数的定义即可求出结论【答案】，，或，，【解析】。若a＞0，则r=5a，是第二象限角，则，，，若a＜0，则r=－5a，是第四象限角，则，，。【 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf 升华】本题主要考查三角函数的定义和分类讨论的思想。三角函数值的大小与点在角的终边上的位置无关，只与角的大小有关。要善于利用三角函数的定义及三角函数的符号规律解题。举一反三：【变式1】已知角的终边在直线上，求sin，cos，tan的值。【答案】或【解析】因为角的终边在直线上，所以可设为角终边上任意一点。则（a≠0）。若a＞0，则为第一象限角，r=2a，所以，，。若a＜0，则为第三象限角，r=－2a，所以，，。类型二：三角函数的符号例2．判断下列各三角函数值的符号（1）；（2）tan120°·sin269°；（3）tan191°－cos191°。【答案】（1）＞（2）＞（3）＞【解析】（1）因为，且是第三象限角，所以是第三象限角。所以。（2）∵120°是第二象限的角，∴tan120°＜0。∵269°是第三象限的角，∴sin269°＜0。∴tan120°·sin269°＞0。（3）∵191°是第三象限的角，∴tan191°＞0，cos191°＜0，∴tan191°―cos191°＞0。举一反三：【高清课堂：任意角的三角函数385947例3】【变式1】确定下列各三角函数值的符号.（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6），其中是第二象限角.【答案】（1）＞（2）＞（3）＞（4）＞（5）＞（6）＜【变式2】（1）若sin=―2cos，确定tan的符号；（2）已知为第二象限角，判断3sincos+2tan的符号；（3）若sin＜0，cos＞0，则是第几象限角？【答案】（1）＜（2）＜（3）四【解析】（1）由sin=―2cos，知sin与cos异号，故是第二或第四象限角。当是第二象限角时，tan＜0；当是第四象限角时，tan＜0。综上知，tan＜0。（2）因为为第二象限，所以sin＞0，cos＜0，tan＜0，所以3sincos+2tan＜0。（3）因为sin＜0，所以为第三或第四象限角，又cos＞0，所以为第一或第四象限角，所以为第四象限角。类型三：诱导公式一的应用例3．（1）（2）sin810°+tan765°+tan1125°+cos360°。【思路点拨】首先把任意角的正弦、余弦、正切的函数分别化为0°到360°角的同一三角函数值，然后再求值。【答案】（1）（2）4【解析】（1）原式。（2）原式=sin(2×360°+90°)+tan(2×360°+45°)+tan(3×360°+45°)+cos(0°+360°)=sin90°+tan45°+tan45°+cos0°=4。【总结升华】在弧度制下，与角终边相同的角为，k∈Z，在角度制下终边相同的角为k·360°+，k∈Z。利用公式化简或求值时要熟记特殊角的函数值。举一反三：【变式1】计算：（1）（2）sin1170°+tan405°+cos720°。【答案】（1）（2）3【解析】（1）原式。（2）原式=sin(3×360°+90°)+tan(360°+45°)+cos(0°+2×360°)=sin90°+tan45°+cos0°=3。类型四：三角函数线的应用例4．（1）在单位圆中画出适合下列条件的角的终边。①；②；③tan=2；（2）比较sin1155°与sin（―1654°）的大小。【答案】（1）略（2）>【解析】（1）①作直线交单位圆于P、Q两点，则OP与OQ为角的终边，如下图①。②作直线交单位圆于M、N两点，则OM与ON为角的终边。如下图②。③在直线x=1上截取AT=2，其中点A的坐标为（1，0），设直线OT与单位圆交于C、D两点，则OC与OD为角的终边。如下图③。（2）先化成0°～360°间的角的三角函数。sin1155°=sin(3×360°+75°)=sin75°,sin(－1654°)=sin(－5×360°+146°)=sin146°。在单位圆中，分别作出sin75°和sin145°的正弦线M2P2，M1P1（如图）。因为M1P1＜M2P2，所以sin1155°>sin（－1654°）。【总结升华】（1）三角函数线可以用来求出满足形如的三角函数的角的终边，这是解三角不等式及求三角函数定义域时常用到的。（2）第（2）题主要考查公式一及单位圆中三角函数的应用，首先利用公式将1155°和1654°分别变化到0°～360°的角，然后在同一单位圆中作出它们的三角函数线，利用三角函数线即可比较出大小。举一反三：【变式1】求证：当时，sin＜＜tan。【证明】如图，设角的终边与单位圆相交于点P，单位圆与x轴正半轴的交点为A，过点A作圆的切线交OP的延长线于点T，过点P作PM⊥OA于点M，连接AP，则：在Rt△POM中，sin=MP；在Rt△AOT中，tan=AT。又根据弧度制的定义，有。易知S△POA＜S扇形POA＜S△AOT，即，即sin＜＜tan。例5．在单位圆中画出满足下列条件的角的终边范围，并由此写出角的集合：（1）；（2）。【思路点拨】利用单位圆中的三角函数线去解。【解析】（1）作直线交单位圆于A、B两点，连接OA、OB，则OA与OB围成的区域，如下图①中阴影部分，即为角的终边的范围。故满足条件的角的集合为。（2）作直线交单位圆于C、D两点，连接OC与OD，则OC与OD围成的区域如上图②中阴影部分，即为角的终边的范围。故满足条件的角的集合为。【总结升华】利用单位圆中三角函数线，可以非常直观方便地求出形如或的三角函数的角的范围，起到“以形助数”的作用。类型五：三角函数定义域的求法例6．求函数的定义域。【思路点拨】要使式子有意义，则必须使被开方数大于等于零，然后再解三角不等式。【答案】【解析】由题意得。由图可知：sinx≥0时，角x的终边落在图中横线阴影部分；tanx≤1时，角x的终边落中图中竖线阴影部分。从终边落在双重阴影部分的角中排除使的角即为所求。∴该函数的定义域为：。【总结升华】（1）在求三角函数定义域时，一般应转化为不等式（组），利用数轴或三角函数线解三角不等式是最常用的方法，因此必须牢固掌握三角函数的画法及意义。（2）不可忽略正切函数自身的定义域。举一反三：【变式1】求函数的定义域：【答案】【解析】要使函数有意义，需tanx≠0，∴（k∈Z）且x≠kπ（k∈Z）∴（k∈Z）。∴函数的定义域为。