专题课堂(二) 利用勾股定理解决问题一、利用勾股定理解决折叠问题【例1】如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的点B′处，点A的对应点为点A′，且B′C＝3，则AM的长为____．
分析
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：连接BM，B′M，设AM＝A′M＝x，在△ABM和△B′DM中，由折叠的性质得BM＝B′M，则有x2＋92＝(9－x)2＋(9－3)2，解方程即可得解．2【对应训练】1．如图，把长方形纸条ABCD沿EF，GH同时折叠，B，C两点恰好落在AD边的P点处，若∠FPH＝90°，PF＝8，PH＝6，则长方形ABCD的边BC的长为( )A．20B．22C．24D．302．如图，长方形纸片ABCD中，已知AD＝8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF＝3，则AB的长为( )A．3B．4C．5D．6CDCCAA7．如图，将长方形ABCD沿直线BD折叠，使点C落在点C′处，BC′交AD于点E，若AD＝8，AB＝4，则△BED的面积为____．10C32【对应训练】8．如图，已知∠AOB＝45°，A1，A2，A3，…在射线OA上，B1，B2，B3，…在射线OB上，且A1B1⊥OA，A2B2⊥OA，…，AnBn⊥OA；A2B1⊥OB，A3B2⊥OB，…，An＋1Bn⊥OB(n＝1，2，3，4，5，6，…)．若OA1＝1，则A6B6的长是____．三、利用勾股定理解决最短路径问题【例3】如图①，圆柱形玻璃杯的高为12cm，底面周长为18cm.在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜处的最短路程为____cm.分析：如图②，将圆柱展开，得到一个长方形，在上面找到A，C两点的位置，根据轴对称的性质和“两点之间，线段最短”可得A′C即为蚂蚁到达蜂蜜处的最短“路线”，再利用勾股定理求出A′C的长度即可．15【对应训练】9．如图，在一个长为2m，宽为1m的长方形场地上，放着一根长方体的木块，它的棱和场地宽AD平行且棱长大于AD，木块从正面看是边长为0.2m的正方形，一只蚂蚁从点A处到达C处需要走的最短路程是____m.2.6四、利用勾股定理的逆定理判定三角形的形状【例4】已知两条线段的长分别为15和8，当第三条线段取整数_____时，这三条线段能围成一个直角三角形．分析：由于直角三角形的斜边不能确定，故应分15为直角边和斜边两种情况进行讨论．【对应训练】11．若三角形的三边长为a，b，c，且满足等式(a＋b)2－c2＝2ab，则此三角形是______三角形．(填“直角”“锐角”或“钝角”)12．若边长为a的正方形的面积等于长为b＋c，宽为b－c的长方形的面积，则以a，b，c为三边长的三角形是______三角形．17直角直角13．已知△ABC的三边为a，b，c，且a＋b＝7，ab＝12，c＝5，试判定△ABC的形状．解：∵a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝25，c2＝25，∴a2＋b2＝c2，∴△ABC是直角三角形
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