PAGE山西省山西大学附属中学2020学年高二数学下学期5月模块诊断
试题
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理考试时间：120分钟满分：150分选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.）1.复数的虚部为()A.B.C.2D.-22.下面几种推理过程是演绎推理的是()A．某校高二8个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班人数都超过50人B．由三角形的性质，推测空间四面体的性质C．平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分D．在数列中，，，由此归纳出的通项
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3.6本相同的数学书和3本相同的语文书分给9个人,每人1本,共有不同分法()A.B.C.D.4.已知，则常数的值为（）A.B.C.D.5.已知函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是()A．B．C．D.6.用数学归纳法证明“能被3整除”的第二步中，时，为了使用假设，应将变形为( )A.B.C.D.7.的展开式中常数项为（）A.B.C.D.8.已知，为的导函数，则的图像是（）A.B.C.D.9.某地区高考改革，实行“”模式，即“”指语文、数学、外语三门必考科目“”指在物理、历史两门科目中必选一门，“”指在化学、生物、政治、地理以及除了必选一门以外的历史或物理这五门学科中任意选择两门学科，则一名学生的不同选科组合有（）A.8种B.12种C.16种D.20种10.已知函数恰有两个零点，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.11.定义在上的奇函数存在导函数，当时，，则使得成立的的取值范围是（）A.B.C.D.12.已知函数，若函数的图象上存在点，使得在点处的切线与的图象也相切，则的取值范围是()A.B.C.D.二.填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分.）13.设复数满足，则________.14.已知，设，则__________.15.在探究“杨辉三角”中的一些秘密时，小明同学发现了一组有趣的数：；；；，请根据上面数字的排列规律，写出下一组的规律并计算其结果：____________________.16.已知函数（为自然对数的底数），若，使得成立，则的取值范围为__________________.三.解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.（本小题10分）已知为实数，设复数.（1）当复数为纯虚数时，求的值；（2）当复数对应的点在直线的下方，求的取值范围。18.（本小题12分）(请写出式子再计算结果)有4个不同的球，4个不同的盒子，现在要把球全部放入盒内．（1）共有多少种放法？（2）若每个盒子不空，共有多少种不同的
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？（3）恰有一个盒不放球，有多少种放法？19．（本小题12分）已知二项式.（1）若它的二项式系数之和为.求展开式中二项式系数最大的项；（2）若，求二项式的值被除的余数.20．（本小题12分）已知正项数列满足，前项和满足（1）求，，的值，并猜想数列的通项公式；（2）用数学归纳法证明猜想成立.21．（本小题12分）已知函数，其中.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若不等式在定义域内恒成立，求实数的取值范围．22．（本小题12分）已知函数，（1）讨论的单调性；（2）若，证明：对任意的，．山西大学附中2020～2020学年高二第二学期5月（总第四次）模块诊断数学试题（理科）
答案
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考试时间：120分钟满分：150分选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.）DCAAB BDACABB1023三.解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.解：（1）由题意得：，解之得，所以。（2）复数对应的点的坐标为，直线的下方的点的坐标应满足，即：，解之得，所以的取值范围为。18.解：（1）每个球都有4种方法，故有：种 种不同的放法（2）将4个不同的球放入4个不同的盒子，若没个盒子不空，则共有=24种不同的放法，（3）四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，恰有一个空盒，说明恰有一个盒子中有2个小球，从4个小球中选两个作为一个元素，同另外两个元素在三个位置全排列，故共有：种不同的放法． 19．解：（1）展开式中二项式系数最大的项为第项.（2）转化为被除的余数，，即余数为.20．（本小题12分）解：（1）当时，，解得当时，，当时，，.（2）猜想得下面用数学归纳法证明：①时，满足②假设时，结论成立，即，则时，将代入化简得，故时结论成立.综合①②可知，．21．（本小题12分）解：（1）当时，，∴，则.又，∴曲线在点处的切线方程为.（2）函数的定义域为，且．①当时，恒成立，满足条件；②当时，由，得，所以函数在上单调递增；同理函数在上单调递减．因此在处取得最小值.∴，解得.综上所述，当时，不等式在定义域内恒成立．22．（本小题12分）解：（1）①当1＞1-m，即m＞0时，（-∞，1-m）和（1，+∞）上f′（x）＜0，f（x）单调减；（1-m，1）上f′（x）＞0，f（x）单调增②当1=1-m，即m=0时，（-∞，+∞）上f′（x）＜0，f（x）单调减③当1＜1-m，即m＜0时，（-∞，1）和（1-m，+∞）上f′（x）＜0，f（x）单调减；（1，1-m）上f′（x）＞0，f（x）单调增（2）对任意的x1，x2∈[1，1-m]，4f（x1）+x2＜5可转化为，设g（x）=-x+，则问题等价于x1，x2∈[1，1-m]，f（x）max＜g（x）min由（1）知，当m∈（-1，0）时，f（x）在[1，1-m]上单调递增，，g（x）在[1，1-m]上单调递减，，即证，化简得4（2-m）＜e1-m[5-（1-m）]令1-m=t，t∈（1，2）设h（t）=et（5-t）-4（t+1），t∈（1，2），h′（t）=et（4-t）-4＞2et-4＞0，故h（t）在（1，2）上单调递增．∴h（t）＞h（1）=4e-8＞0，即4（2-m）＜e1-m[5-（1-m）]故，得证．
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