【学案导学设计】2020学年高中数学 3.1.3 概率的基本性质学案 新人教A版必修3

PAGE3.1.3　概率的基本性质【明目标、知重点】1．正确理解事件的包含、并事件、交事件、相等事件，以及互斥事件、对立事件的概念；2．理解并熟记概率的几个基本性质；3．会用概率的加法公式求某些事件的概率．【填要点、记疑点】事件的关系与运算定义 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示法事件的关系包含关系一般地，对于事件A与事件B，如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)B⊇A(或A⊆B)互斥事件若A∩B为不可能事件，则称事件A与事件B互斥若A∩B＝∅，则A与B互斥对立事件若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件若A∩B＝∅，且A∪B＝U，则A与B对立事件的运算并事件若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)A∪B或A＋B交事件若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)A∩B(或AB)2.概率的几个基本性质(1)概率的取值范围为[0,1]．(2)必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0.(3)概率加法公式：如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．特例：若A与B为对立事件，则P(A)＝1－P(B)．P(A∪B)＝1，P(A∩B)＝0.【探要点、究所然】[情境导学]　全运会中某省派两名女乒乓球运动员参加单打比赛，她们夺取冠军的概率分别是0.4和0.3，则该省夺取该项冠军的概率是0.4＋0.3吗？为什么？为解决这个问题，我们来学习概率的基本性质．探究点一　事件的关系与运算问题　在抛掷骰子试验中，我们用集合形式定义如下事件：C1＝{出现1点}，C2＝{出现2点}，C3＝{出现3点}，C4＝{出现4点}，C5＝{出现5点}，C6＝{出现6点}，D1＝{出现的点数不大于1}，D2＝{出现的点数大于4}，D3＝{出现的点数小于6}，E＝{出现的点数小于7}，F＝{出现的点数大于6}，G＝{出现的点数为偶数}，H＝{出现的点数为奇数}，等等．思考1　上述事件中哪些是必然事件？哪些是随机事件？哪些是不可能事件？答　E是必然事件；F是不可能事件；其余是随机事件．思考2　如果事件C1发生，则一定有哪些事件发生？反之，成立吗？在集合中，集合C1与这些集合之间的关系怎样描述？答　如果事件C1发生，则一定发生的事件有D1，D3，E，H，反之，如果事件D1，D3，E，H分别成立，能推出事件C1发生的只有D1.所以从集合的观点看，事件C1是事件D3，E，H的子集，集合C1与集合D1相等．小结　一般地，对于事件A与事件B，如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)，记作B⊇A(或A⊆B)．不可能事件记为∅，任何事件都包含不可能事件．如果事件A发生，则事件B一定发生，反之也成立，(若B⊇A同时A⊆B)，我们说这两个事件相等，即A＝B.如C1＝D1.思考3　如果事件D2与事件H同时发生，就意味着哪个事件发生？答　如果事件D2与事件H同时发生，就意味着事件C5发生．反思与感悟　如果某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与B的交事件(或积事件)，记为A∩B或AB.思考4　事件D3与事件F能同时发生吗？答　事件D3与事件F不能同时发生．小结　如果A∩B为不可能事件(A∩B＝∅)，那么称事件A与事件B互斥，即事件A与事件B在任何一次试验中不会同时发生．思考5　事件G与事件H能同时发生吗？它们两个事件有什么关系？答　事件G与事件H不能同时发生，但必有一个发生．反思与感悟　如果A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件，即事件A与事件B在一次试验中有且仅有一个发生．例1　判断下列各对事件是否是互斥事件，并说明理由．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，其中：(1)“恰有1名男生”和“恰有2名男生”；(2)“至少有1名男生”和“至少有1名女生”；(3)“至少有1名男生”和“全是男生”；(4)“至少有1名男生”和“全是女生”．解　(1)是互斥事件．理由是：在所选的2名同学中，“恰有1名男生”实质是选出的是“1名男生和1名女生”，它与“恰有2名男生”不可能同时发生，所以是一对互斥事件．(2)不是互斥事件．理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”两种结果．“至少有1名女生”包括“1名女生、1名男生”和“2名都是女生”两种结果，它们可能同时发生．(3)不是互斥事件．理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”，这与“全是男生”可同时发生．(4)是互斥事件．理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”两种结果，它和“全是女生”不可能同时发生．反思与感悟　如果A、B是两个互斥事件，反映在集合上，是表示A、B这两个事件所含结果组成的集合彼此互不相交．跟踪训练1　一个射手进行一次射击，试判断下列事件哪些是互斥事件？哪些是对立事件？事件A：命中环数大于7环；事件B：命中环数为10环；事件C：命中环数小于6环；事件D：命中环数为6、7、8、9、10环．解　A与C互斥(不可能同时发生)，B与C互斥，C与D互斥，C与D是对立事件(至少一个发生)．探究点二　概率的几个基本性质思考1　概率的取值范围是什么？为什么？答　概率的取值范围是0～1之间，即0≤P(A)≤1；由于事件的频数总是小于或等于试验的次数，所以，频率在0～1之间，因而概率的取值范围也在0～1之间．思考2　必然事件、不可能事件的概率分别是多少？为什么？答　必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0；必然事件是在试验中一定要发生的事件，所以频率为1，因而概率是1，不可能事件是在试验中一定不发生的事件，所以频率为0，因而概率是0.思考3　如果事件A与事件B互斥，则事件A∪B发生的频数与事件A、B发生的频数有什么关系？fn(A∪B)与fn(A)、fn(B)有什么关系？进一步得到P(A∪B)与P(A)、P(B)有什么关系？答　若事件A与事件B互斥，则A∪B发生的频数等于事件A发生的频数与事件B发生的频数之和，从而有fn(A∪B)＝fn(A)＋fn(B)，由此得到P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，这就是概率的加法公式.小结　如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．思考4　如果事件A与事件B互为对立事件，P(A∪B)与P(A)、P(B)有什么关系？由此可得出什么结论？答　由对立事件的定义可知，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，即1＝P(A)＋P(B)，从而得出P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)．例2　如果从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取一张，那么取到红心(事件A)的概率是eq\f(1,4)，取到方块(事件B)的概率是eq\f(1,4)，问：(1)取到红色牌(事件C)的概率是多少？(2)取到黑色牌(事件D)的概率是多少？解　(1)因为C＝A∪B，且A与B不会同时发生，所以事件A与事件B互斥，根据概率的加法公式得P(C)＝P(A)＋P(B)＝eq\f(1,2).(2)事件C与事件D互斥，且C∪D为必然事件，因此事件C与事件D是对立事件，P(D)＝1－P(C)＝eq\f(1,2).反思与感悟　事件C是事件A与事件B的并，且A与B互斥，因此可用互斥事件的概率加法公式求解，事件C与事件D是对立事件，因此P(D)＝1－P(C)．跟踪训练2　袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，已知得到红球的概率是eq\f(1,3)，得到黑球或黄球的概率是eq\f(5,12)，得到黄球或绿球的概率也是eq\f(5,12)，试求得到黑球、黄球、绿球的概率分别是多少？解　设得到黑球、黄球的概率分别为x，y，由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝\f(5,12)，,y＋1－\f(1,3)－x－y＝\f(5,12).))解得：x＝eq\f(1,4)，y＝eq\f(1,6)，1－eq\f(1,3)－eq\f(1,4)－eq\f(1,6)＝eq\f(1,4).所以得到黑球、黄球、绿球的概率分别是eq\f(1,4)，eq\f(1,6)，eq\f(1,4).例3　某公务员去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为0.3,0.2,0.1,0.4.(1)求他乘火车或乘飞机去的概率；(2)求他不乘轮船去的概率；(3)如果他乘某种交通工具的概率为0.5，请问他有可能乘哪种交通工具？解　(1)记“他乘火车”为事件A，“他乘轮船”为事件B，“他乘汽车”为事件C，“他乘飞机”为事件D.这四个事件两两不可能同时发生，故它们彼此互斥，所以P(A∪D)＝P(A)＋P(D)＝0.3＋0.4＝0.7.即他乘火车或乘飞机去的概率为0.7.(2)设他不乘轮船去的概率为P，则P＝1－P(B)＝1－0.2＝0.8，所以他不乘轮船去的概率为0.8.(3)由于P(A)＋P(B)＝0.3＋0.2＝0.5，P(C)＋P(D)＝0.1＋0.4＝0.5，故他可能乘火车或乘轮船去，也有可能乘汽车或乘飞机去．反思与感悟　1.互斥事件的概率的加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．2．对于一个较复杂的事件，一般将其分解成几个简单的事件，当这些事件彼此互斥时，原事件的概率就是这些简单事件的概率的和．3．当求解的问题中有“至多”、“至少”、“最少”等关键词语时，常常考虑其反面，通过求其反面，然后转化为所求问题．跟踪训练3　甲、乙两人下棋，和棋的概率为eq\f(1,2)，乙获胜的概率为eq\f(1,3)，求：(1)甲获胜的概率；(2)甲不输的概率．解　(1)“甲获胜”和“和棋或乙获胜”是对立事件，所以“甲获胜”的概率P＝1－eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＝eq\f(1,6).即甲获胜的概率是eq\f(1,6).(2)方法一：设事件A为“甲不输”，可看成是“甲获胜”“和棋”这两个互斥事件的并事件，所以P(A)＝eq\f(1,6)＋eq\f(1,2)＝eq\f(2,3).方法二：设事件A为“甲不输”，可看成是“乙获胜”的对立事件，所以P(A)＝1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3).即甲不输的概率是eq\f(2,3).【当堂测、查疑缺】　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1．给出以下结论：①互斥事件一定对立．②对立事件一定互斥．③互斥事件不一定对立．④事件A与B的和事件的概率一定大于事件A的概率．⑤事件A与B互斥，则有P(A)＝1－P(B)．其中正确命题的个数为(　　)A．0B．1C．2D．3 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 　C解析　对立必互斥，互斥不一定对立，∴②③正确，①错；又当A∪B＝A时，P(A∪B)＝P(A)，∴④错；只有A与B为对立事件时，才有P(A)＝1－P(B)，∴⑤错．2．抛掷一枚骰子，“向上的点数是1或2”为事件A，“向上的点数是2或3”为事件B，则(　　)A．A⊆BB．A＝BC．A＋B表示向上的点数是1或2或3D．AB表示向上的点数是1或2或3答案　C解析　设A＝{1,2}，B＝{2,3}，A∩B＝{1}，A∪B＝{1,2,3}，∴A＋B表示向上的点数为1或2或3.3．从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么，互斥而不对立的事件是(　　)A．至少有一个红球与都是红球B．至少有一个红球与都是白球C．至少有一个红球与至少有一个白球D．恰有一个红球与恰有两个红球答案　D解析　A项中，若取出的3个球是3个红球，则这两个事件同时发生，故它们不是互斥事件，所以A项不符合题意；B项中，这两个事件不能同时发生，且必有一个发生，则它们是互斥事件且是对立事件，所以B项不符合题意；C项中，若取出的3个球是1个红球2个白球时，它们同时发生，则它们不是互斥事件，所以C项不符合题意；D项中，这两个事件不能同时发生，是互斥事件，若取出的3个球都是红球，则它们都没有发生，故它们不是对立事件，所以D项符合题意．4．一商店有奖促销活动中有一等奖与二等奖两个奖项，其中中一等奖的概率为0.1，中二等奖的概率为0.25，则不中奖的概率为________．答案　0.65解析　中奖的概率为0.1＋0.25＝0.35，中奖与不中奖互为对立事件，所以不中奖的概率为1－0.35＝0.65.5．在掷骰子的游戏中，向上的数字是1或2的概率是________．答案　eq\f(1,3)解析　事件“向上的数字是1”与事件“向上的数字是2”为互斥事件，且二者发生的概率都是eq\f(1,6)，所以“向上的数字是1或2”的概率是eq\f(1,6)＋eq\f(1,6)＝eq\f(1,3).【呈重点、现规律】1．互斥事件和对立事件都是针对两个事件而言的，它们两者之间既有区别又有联系．在一次试验中，两个互斥事件有可能都不发生，也可能有一个发生，但不可能两个都发生；而两个对立事件必有一个发生，但是不可能两个事件同时发生，也不可能两个事件都不发生．所以两个事件互斥，它们未必对立；反之两个事件对立，它们一定互斥．2．互斥事件的概率加法公式是一个很基本的计算公式，解题时要在具体的情景中判断各事件间是否互斥，只有互斥事件才能用概率加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．3．求复杂事件的概率通常有两种方法：(1)将所求事件转化成彼此互斥事件的并事件；(2)先求其对立事件的概率，再求所求事件的概率．