PAGE高二数学2—2第三章数系的扩充与复数人教实验版（B）【本讲教育信息】一.教学内容：2—2第三章数系的扩充与复数二.教学目的：1.掌握复数的概念、复数的
表
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示方法及其几何意义；2.掌握复数的加、减、乘、除运算。三.教学重点、难点：重点：复数的概念、复数的表示方法及其几何意义；复数的加、减、乘、除运算。难点：复数的概念、复数的向量表示、复数的模及相关内容。四.知识分析：【知识结构】【知识点剖析】1.复数及分类形如的数叫做复数，其中a为实部，b为虚部，i是虚数单位，且满足。2.复数相等的充要条件。特别地。3.i的幂。4.复数的加法和减法。5.复数的乘法和除法（1）复数的乘法按多项式相乘进行，即。（2）复数除法是乘法的逆运算，其实质是分母实数化。6.共轭复数及其运算性质与互为共轭复数，且，它的运算性质有：，，7.的性质记，则，，，，，。8.数集间的联系：9.复数集C与复平面上的点集和以原点为起点的向量集是一一对应的，见图。10.复数的加减运算是按照向量相加减的平行四边形和三角形法则进行的，见图1、图2。11.复数的模即为对应向量的模设，则且有（1）；（2）；（3）；（4）。12.复数与点的轨迹（1）两点间的距离公式：；（2）线段的中垂线：；（3）圆的方程：（以点P为圆心，r为半径）；（4）椭圆：（2a为正常数，）；（5）双曲线：（2a为正常数，）。【本章专
题
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归纳】专题一：用定义解题主要的方法是复数问题实数化，处理过程主要是根据复数相等建立方程，通过解方程式或方程组，达到解题的目的．例1已知，求z。解：设（），代入已知方程得。即。由复数相等定义得由②得y＝3，代入①，。平方得解得。。例2虚数z满足，，求z。解：设（，x、），。则。又，又，③由①②③得专题二：复数运算与技巧作为复数加、减、乘、除运算的实质是实数的加减乘除，加减法是对应实、虚部相加减，而乘法类比多项式乘法，除法类比根式的分子分母有理化，但注意在运算的过程中常用来降幂的公式有：（1）i的乘方：；（2）；（3）设，则（）等。（4）。（5）作复数除法运算时，有如下技巧：，利用此结论可使一些特殊的计算过程简化。例3复数的值是（）A.4iB.－4iC.4D.－4解：本小题主要考查复数的基本知识，利用复数代数形式的运算法则解决此类问题。。
答案
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：D例4计算：。解：原式==例5已知，求的值。解：。。专题三：有关共轭复数的问题除用共轭复数的定义解题外，也常用下列结论简化解题过程。（1）；（2）；（3）；（4），z为纯虚数。例6已知与是非零复数，且，求证：。证明：证法一（不等于零），即。证法二，∴对应点的轨迹是y轴（以复数1和－1所对应的两点的线段的中垂线），∵，故除去原点，∴为纯虚数，∴。例7（1）已知z是虚数，求证：为实数的充要条件是。（2）复数，求证：是纯虚数的充要条件是。证明：（1）证法一设（且），则。当，即，则。当，即，又，，即，因此，是的充要条件（z为虚数）。证法二当，即。。∵z为虚数，。∴，即，即，∴。（2）证法一设，且时，则，故当时，是纯虚数的充要条件是证法二为纯虚数的充要条件是且，即，即，即，即，即。专题四：有关复数模的问题在解答与复数的模相关的问题时，重视应用下列公式：（1）；（2）；（3）。例8，复数，若，求实数a。解：设，则有，，。例9若z、，且，求的值。解：解法一解法二例10已知且，求的最值。解：设，那么，又，。即。的最小值为0，最大值为3。例11已知复数，（1）求；（2）若，求的最大值。解：（1）（2）解法一，∴设，当时，取得最大值，从而得到的最大值。解法二可看成半径为1，圆心为（0，0）的圆，而对应坐标系中的点（2，－2）。∴的最大值可以看成点（2，－2）到圆上的点距离最大，由下图可知：。【模拟
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】一.选择题。1.以的虚部为实部，以的实部为虚部的复数是（）A.B.C.D.2.设，为复数，则下列四个结中正确的是（）A.若，则B.若，则C.D.是纯虚数或零3.复数对应的点在虚轴上，则（）A.或B.且C.或D.4.若复数z满足，则z等于（）A.B.C.D.5.设，，，则等于（）A.B.C.D.6.若，且，则的最小值是（）A.2B.3C.4D.57.集合中元素个数为（）A.1B.2C.3D.48.的值是（）A.1B.0C.iD.2i9.若复数z满足，则的值等于（）A.1B.0C.－1D.10.若是关于x的方程的一个根，则q的值为（）A.26B.13C.6D.511.设a、b、c都是复数，那么是的（）A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.以上都不对12.设，则集合中元素的个数是（）A.1B.2C.3D.无穷多个二.填空题。13.已知△ABC中，，对应的复数分别为，，则对应的复数为。14.若，，，则＝。15.计算＝。16.已知，则的最小值是。三.解答题。17.（05·上海）在复数范围内解方程（i为虚数单位）。18.已知复数，若，求实数a，b的值。19.设且，证明：是实数。20.已知复数，，当时，求a的取值范围。21.已知关于x的实系数方程的两根分别为，，且，求a的值。22.已知。（1）设，求；（2）如果，求实数a、b的值。[参考答案］一.选择题。1.A2.D3.D4.D5.C6.B7.C8.D9.D10.A11.A成立，和都是实数，成立。而成立，说明为实数，但，这两个数不一定为实数。不一定成立。12.C∴根据i的周期性，给n赋值可得二.填空题。13.14.15.016.三.解答题。17.解析原方程化简为，设，（），代入上述方程得，解得∴原方程的解是。18.解析则得，即得解得；。19.解析，，设，则。∴为实数。20.解析∵。∴，，∵，∴，解得。21.解析①（1）若，则方程有实根，且∴，∴代入①得（不符题意，舍去）（2）若，则方程有两个共轭虚根，且，∴或代入（1）得（舍去）所以或。22.解析（1）∵，∴。（2）由，把代入得，∴。∴。∴，。
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