*E(X+Y)=E(X)+E(Y)E(XY)=E(X)E(Y).B.数学期望的性质E(aX)=aE(X)E(C)=C当X,Y相互独立时，*性质4的逆命题不成立，即若E(XY)=E(X)E(Y)，X,Y不一定相互独立.反例XYpij-101-1010p•jpi•注*XYP-101但*若X≥0，且EX存在，则EX≥0。推论:若X≤Y，则EX≤EY。证明：设X为连续型，密度函数为f(x),则由X≥0得：所以证明：由已知Y-X≥0，则E(Y-X)≥0。而E(Y-X)=E(Y)-E(X),所以，E(X)≤E(Y)。*性质2和3性质4例1.设X～N(10,4)，Y～U[1,5]，且X与Y相互独立，求E(3X＋2XY－Y＋5)。解：由已知，有E(X)＝10,E(Y)＝3.*例2.(二项分布B(n,p))设单次实验成功的概率是p，问n次独立重复试验中，期望几次成功？解:引入则X＝X1+X2+…+Xn是n次试验中的成功次数。因此，这里，X～B(n,p)。*例3.将4个可区分的球随机地放入4个盒子中,每盒容纳的球数无限,求空着的盒子数的数学期望.解一:设X为空着的盒子数,则X的概率分布为XP0123*解二:再引入Xi,i=1,2,3,4.XiP10*例4.将n个球放入M个盒子中,设每个球落入各个盒子是等可能的,求有球的盒子数X的期望。解:引入随机变量:则X=X1+X2+…+XM,于是E(X)=E(X1)+E(X2)+…+E(XM).每个随机变量Xi都服从两点分布,i=1,2,…,M.*因为每个球落入每个盒子是等可能的均为1/M,所以，对第i个盒子,没有一个球落入这个盒子内的概率为(1-1/M).故，n个球都不落入这个盒子内的概率为(1-1/M)n,即:*注：129页4.27以此题为模型。*例5.用某台机器生产某种产品，已知正品率随着该机器所用次数的增加而指数下降，即P{第k次生产出的产品是正品}=假设每次生产100件产品，试求这台机器前10次生产中平均生产的正品总数。解：设X是前10次生产的产品中的正品数，并设*例5.（续）*例6.某厂家的自动生产线，生产一件正品的概率为p(0
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差或均方差，记为(X).A.方差的概念Var(X)=E(X-E(X))2*若X的取值比较分散，则方差较大.刻划了随机变量的取值相对于其数学期望的离散程度。若X的取值比较集中，则方差较小；Var(X)=E[X-E(X)]2方差*注意：1)Var(X)0，即方差是一个非负实数。2）当X服从某分布时，我们也称某分布的方差为Var(X)。方差是刻划随机变量取值的分散程度的一个特征。*方差的计算公式(1)若X为离散型，概率分布为(2)若X为连续型，概率密度为f(x),则则*方差的计算公式常用的公式：证明:*常见随机变量的方差(1)参数为p的0－1分布概率分布为：前面已经计算过：E(X)=p，又所以*概率分布为：已计算过：E(X)=np，又所以(2)二项分布B(n,p)*概率分布为：已计算过：E(X)=λ，又所以(3)泊松分布P(λ)*概率密度为：已计算过：E(X)=(a+b)/2，又所以(4)区间[a,b]上的均匀分布U[a,b]*概率密度为：已计算过：E(X)=1/λ，又所以(5)指数分布E(λ)*概率密度为：已计算过：E(X)=，所以(6)正态分布N(,2)*例7.设求E(Y),D(Y).解:**例8.已知X的密度函数为其中A，B是常数，且E(X)=0.5.求A，B.(2)设Y=X2,求E(Y),D(Y).*解:(1)*(2)f(x)=(-6x2+6x)I(0,1)
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