2021高三数学 附加题速成教材2素材 理

本资料为共享资料来自网络如有相似概不负责PAGE2020高三理科班数学附加题速成教材2（一）基础知识矩阵1.矩阵的定义：同一横（竖）排中按原来次序的两个数叫做矩阵的行（列），组成矩阵的每一个数都叫做矩阵的元素，其中，从左上角到右下角的这条对角线称为矩阵的主对角线。由4个元素a,b,c,d排成的正方形数表称为二阶矩阵。2.二阶行矩与平面向量的乘法定义：规定二阶矩阵A=，与向量的乘积为=；=1\*GB3①数乘平面向量：设，是任意一个实数，则；.=2\*GB3②平面向量的加法：设，，则=3\*GB3③数乘结合律：；分配律：；=4\*GB3④二阶行矩乘法=；=5\*GB3⑤复合变换与二阶矩阵的乘法（左乘）：；如：已知△ABC，A(－1，0)，B(3，0)，C(2，1)，对它先作关于x轴的反射变换，再将所得图形绕原点逆时针旋转90°．分别求两次变换所对应的矩阵M1，M2；求点C在两次连续的变换作用下所得到的点的坐标．解M＝M2M1＝eq\b\bc\[(\a\al(0－1,10))eq\b\bc\[(\a\al(10,0－1))＝eq\b\bc\[(\a\al(01,10))．C坐标是(1，2)．说明连续两次变换所对应二阶矩阵相乘的顺序M2M1．3.逆变换与逆矩阵：逆变换：设是一个线性变换，如果存在一个线性变换，使得＝＝，（是恒等变换）则称变换可逆，其中是的逆变换。逆矩阵：设Ａ是一个二阶可逆矩阵，如果存在二阶矩阵Ｂ，使ＡＢ＝ＢＡ＝E，则称二阶矩阵Ａ是可逆矩阵，称Ｂ是二阶矩阵Ａ的逆矩阵（简称逆阵）记作A-1。提醒：证明逆矩阵必须全面，ＡＢ＝ＢＡ＝E。如：给定矩阵M=，N=及向量e1=，e2=．（Ⅰ）证明M和N互为逆矩阵；（Ⅱ）证明e1和e2都是M特征向量．4.特征值和特征向量：,存在和非零向量满足=，即=，，则=0。设称为特征多项式，则叫A的一个特征值，叫特征向量。用特征值和特征向量定义求二阶矩阵的方法：如：已知二阶矩阵A的属于特征值－1的一个特征向量为，属于特征值3的一个特征向量为，求矩阵A．解设A=，由题知=，=3．所以A=．5.几种常见的平面变换(1)恒等变换阵（即单位矩阵）：任何一个列向量在作用下均保持不变，称为恒等变换阵。(2)伸压变换定义：将每个点的横坐标变为原来的倍，纵坐标变为原来的倍，这样的几何变换为伸缩变换；向量在矩阵的作用下变换为向量，也就是矩阵把平面上的点变换为横坐标不变，纵坐标为原来的2倍的点；从几何直观上看即把一个几何图形保持x轴方向不变，而沿y轴方向拉长为原来的2倍的变换。(3)反射变换：把平面上任意一点P对应到它关于直线对称点P’的线性变换叫做关于直线的反射；形如矩阵将图形变为关于Y轴、关于X轴轴反射以及关于原点对称中心对称图形变换矩阵，成为反射变换。（4）旋转变换：矩阵，逆时针旋转90度，顺时针旋转90度如：已知曲线：（1）将曲线绕坐标原点逆时针旋转后，求得到的曲线的方程；（2）求曲线的焦点坐标和渐近线方程.；由（1）知，只须把曲线的焦点、渐近线绕坐标原点顺时针旋转后，即可得到曲线的焦点坐标和渐近线方程。曲线的焦点坐标是，渐近线方程，矩阵变换后，曲线的焦点坐标是。而把直线要原点顺时针旋转恰为轴与轴，因此曲线的渐近线方程为和。（5）投影变换：定义：将平面上每个点P对应到它在直线上的投影P’（即垂足），这个变换称为关于直线的投影变换，点投影到X轴上，横坐标不变，纵坐标为0.，点投影到y=x上；；（6）切变换定义：将每一点P（x,y）沿着与x轴平行的方向平移个单位，称为平行于x轴的切变变换。将每一点P（x,y）沿着与y轴平行的方向平移个单位，称为平行于y轴的切变变换；如：设矩阵对应的变换是把坐标平面上的点的横坐标伸长3倍，再将纵坐标伸长2倍的两个伸压变换的复合，求其逆矩阵以及圆在的作用下的新曲线的方程．（二）基本计算1.的计算:一般地，。=1\*GB3①意义表示旋转变换，逆时针连续逆时针旋转度；如：设A=，则A6=。；=2\*GB3②归纳猜想：设矩阵A＝eq\b\bc\[(\a\al(1a,01))（a≠0）．（1）求A2 ，A3；（2）猜想An（n∈N*）；解（1）A2＝eq\b\bc\[(\a\al(12a,01))，A3＝eq\b\bc\[(\a\al(13a,01))；（2）An＝eq\b\bc\[(\a\al(1na,01))（n∈N*）；=3\*GB3③如：M=，向量求：M3；如：已知M=，试计算答案矩阵M的特征多次式为，特征向量分别为和，而，所以；=4\*GB3④设数列满足，且满足，试求二阶矩阵．解：，则2.求逆矩阵常见的方法：ＡＢ＝ＢＡ＝E（1）用待定系数法求逆矩阵：设Ａ是一个二阶可逆矩阵，ＡＢ＝ＢＡ＝E；（2）公式法：＝，记为：detA，有，当且仅当detA=0；（3）从几何变换的角度求解二阶矩阵乘法的逆矩阵；（4）(AB)－1＝B－1A－1。3.变换前后的曲线方程：坐标转移法；求变换前的曲线方程：坐标转移法；求变换矩阵：根据特殊点坐标变换待定系数法如：设平面上伸缩变换的坐标表达式为，求圆在此伸缩变换下的方程，并指出变换后的方程表示什么曲线.解：由可得，代入圆的方程得，即，它表示中心在原点、焦点在轴上的椭圆.如：已知向量,将绕原点按逆时针方向旋转得到,则与同向的单位向量是________4利用逆矩阵解方程组的步骤：可以表示成=，简写成,如：设A=，试解方程AX=B。答案：由已知，X=，即行列式解方程：，5.求特征向量和特征值的步骤：（1）=0；（2）解；（3）取或者；6.,如何求的步骤，是一个特征向量：，,,依此，。7.如何求的步骤：（1）求，即M的特征值和特征向量；（2）用特征向量线性表示向量，即是常数，但一般不是；（3）代入=,因为，=，依此，=；如：矩阵M=，向量=求M3：M3=M3（31+2）=3M31+M32=3131+232=3×43+（-2）3×=；典型例题：1．已知△ABC，A(－1，0)，B(3，0)，C(2，1)，对它先作关于x轴的反射变换，再将所得图形绕原点逆时针旋转90°．（1）分别求两次变换所对应的矩阵M1，M2；（2）求点C在两次连续的变换作用下所得到的点的坐标．解（1）M1＝eq\b\bc\[(\a\al(10,0－1))，M2＝eq\b\bc\[(\a\al(0－1,10))；（2）因为M＝M2M1＝eq\b\bc\[(\a\al(0－1,10))eq\b\bc\[(\a\al(10,0－1))＝eq\b\bc\[(\a\al(01,10))，所以Meq\b\bc\[(\a\al(2,1))＝eq\b\bc\[(\a\al(01,10))eq\b\bc\[(\a\al(2,1))＝eq\b\bc\[(\a\al(1,2))．故点C在两次连续的变换作用下所得到的点的坐标是(1，2)．说明考查常见的平面变换及二阶矩阵与平面向量的乘法、矩阵的乘法，并且理解连续两次变换所对应二阶矩阵相乘的顺序．2．二阶矩阵M对应的变换将点(1，－1)与(－2，1)分别变换成点(－1，－1)与(0，－2)．（1）求矩阵M；（2）设直线l在变换M作用下得到了直线m：x－y＝4，求l的方程．解（1）设M=，则有=，=，所以且解得，所以M=．（2）任取直线l上一点P(x，y)经矩阵M变换后为点P’(x’，y’)．因为，所以eq\b\lc\{(\a\al(x'＝x＋2y，,y'＝3x＋4y，))又m：，所以直线l的方程(x+2y)－(3x+4y)=4，即x+y+2=0．说明：考查利用二阶矩阵与平面向量乘法的知识求二阶矩阵的方法；考查求一条曲线经过二阶矩阵变换后的曲线方程的方法．3．设矩阵M的特征值为λ1=3，λ2=－1，其对应的一个特征向量分别为，．若，试求M20．解设，解得，所以M20=M20=4（M20）－3（M20）=4（λ120）－3（λ220）=．说明：考查矩阵的特征值与特征向量的应用．4．已知二阶矩阵A的属于特征值－1的一个特征向量为，属于特征值3的一个特征向量为，求矩阵A．解设A=，由题知=，=3．即，解之得：所以A=．说明考查特征值和特征向量的概念，掌握用待定系数法求二阶矩阵的方法．5．运用旋转变换矩阵．求曲线xy＝3绕原点顺时针旋转45°角后所得的曲线方程．解绕原点顺时针旋转45°的变换矩阵为eq\b\bc\[(\a\al(cos(－45°)－sin(－45°),sin(－45°)cos(－45°)))，即eq\b\bc\[(\a\al(\f(\r(2),2)\f(\r(2),2),－\f(\r(2),2)\f(\r(2),2)))．任取曲线上一点P(x，y)绕原点顺时针旋转45°角后所得点P’(x’，y’)．则eq\b\bc\[(\a\al(x',y'))＝eq\b\bc\[(\a\al(\f(\r(2),2)\f(\r(2),2),－\f(\r(2),2)\f(\r(2),2)))eq\b\bc\[(\a\al(x,y))＝eq\b\bc\[(\a\al(\f(\r(2),2)x＋\f(\r(2),2)y,－\f(\r(2),2)x＋\f(\r(2),2)y))，所以eq\b\lc\{(\a\al(x'＝\f(\r(2),2)(x＋y)，,y'＝－\f(\r(2),2)(x－y)，))解得eq\b\lc\{(\a\al(x＝\f(\r(2),2)(x'－y')，,y＝\f(\r(2),2)(x'＋y')．))代入xy＝3得，x’2－y’2＝6．故曲线的方程为x2－y2＝6．说明考查常见的旋转变换，掌握求一曲线经过二阶矩阵变换后的曲线方程的方法．6．（1）求矩阵A=eq\b\bc\[(\a\ac\co2\vs5\hs12(2,3,1,2))的逆矩阵；（2）利用逆矩阵知识解方程组eq\b\lc\{(\a\al(2x＋3y－1＝0,x＋2y－3＝0))．解（1）设逆矩阵为，则由，得，解得，所以．(2)，即．说明考查逆变换与逆矩阵的概念，掌握用逆矩阵的知识求解方程组的方法．