极大似然估计在生活中的应用

极大似然估计在生活中的应用 本科毕业 论文 政研论文下载论文大学下载论文大学下载关于长拳的论文浙大论文封面下载 ，设计， 题 目 极大似然估计在生活中的应用 院,系, 数学系 专 业 数学与应用数学 学生姓名 张鑫 学 号 09020132 指导教师 彭维才 职称 讲师 论文字数 完成日期: 2013 年 4月 10日 巢湖学院本科毕业论文(设计)诚信承诺书 本人郑重声明:所呈交的本科毕业论文(设计)～是本人在导师的指导下～独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外～本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体～均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 本人签名: 日期: 巢湖学院本科毕业论文 (设计)使用授权说明 本人完全了解巢湖学院有关收集、保留和使用毕业论文 (设计)的规定～即:本科生在校期间进行毕业论文(设计)工作的知识产权单位属巢湖学院。学校根据需要～有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版～允许毕业论文 (设计)被查阅和借阅,学校可以将毕业论文(设计)的全部或部分内容编入有关数据库进行检索～可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编毕业～并且本人电子文档和纸质论文的内容相一致。 巢湖学院2012届本科毕业论文(设计) 本人签名: 日期: 导师签名: 日期: I 极大似然估计在生活中的应用 摘 要:基于对电器可靠性分析、无线传感器APIT的定位精度、交通流量预测，及视频监控系统中摄像机参数获取问题的分析，并用极大似然估计法对数据进行加工处理，结果表明:在电器可靠性分析方面极大似然估计法可以通过计算机软件处理，具有较高的计算精度，提高了对电器可靠性分析的效率;在定位精度方面，该方法可以使节点的定位精度大大提高;在交通流量预测方面，通过该方法估计观测量与下游量之间的关系从而预测交通流量，大大减少估计值与实际值的误差率;在视频监控方面，该方法有效减低了信息获取过程中噪声对摄像机标定的影响，能够得到较理想的摄像机标定效果。 关键词:极大似然估计法 ;电器可靠性;无线传感器APIT的定位精度;交通流预测;视频监控; 巢湖学院2012届本科毕业论文(设计) In the life of the application of maximum likelihood estimation Abstract Based on the reliability analysis of electrical appliances, wireless sensor APIT positioning accuracy, traffic prediction, analysis of camera parameters acquisition and video monitoring system, and using the maximum likelihood estimation method of data processing, the results showed that: in the electric reliability analysis of maximum likelihood estimation with computer software can method, the calculation accuracy is high, improves the efficiency of analysis on reliability of electrical apparatus; in location accuracy, this method can make the node localization accuracy is greatly improved; on the prediction of traffic flow, the method to estimate the measurements and the relationship between the amount of downstream to predict traffic flow, greatly reduce the estimated value and actual value of the error rate in video surveillance; the method effectively, reduces the information acquisition process the influence of noise on the camera calibration, camera calibration can obtain ideal effect. Key words: Maximum likelihood estimation method; reliability of electrical apparatus; localization accuracy in wireless sensor APIT; traffic flow forecasting; video surveillance III 目录 中文摘要 .......................................... 错误～未定义书签。I 英文摘要 ......................................... 错误～未定义书签。II 引言 .............................................. 错误～未定义书签。1 巢湖学院2012届本科毕业论文(设计) 引言 德国数学家C. F. Gauss提出求估计的一种方法——极大似然估计 1821年 法。但并没有对极大似然估计法的性质进行探讨，直到1922年英国统计学家R.A Fisher在他的论文《在统计理论的数学基础》中提到，1950年J. Wiley & Sons 再次提到这个思想，并且首次探讨了极大似然估计这种方法的一些性质，极大似 然估计这以名称也是Fisher命名的。这种方法目前仍然得到很广泛的应用，它是 建立在极大似然原理的基础上的统计方法，极大似然估计具有非常好的性质，这 使得其在现实中有非常广泛的应用，例如气象预报、质量检测、可靠性分析、 遗传工程、机器制造、国防、化工、冶金、医药卫生、环境等领域。 Fisher等人对极大似然估计的性质进行了探讨， 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf 并得出了一些性质，如 一致性、不变性等，这使得极大似然估计法能更好的估计参数，为了更好的理解 极大似然估计法在现实生活中的作用，本文主要从可靠性分析、无线传感器APIT 定位精度、交通流量预测，及视频监控系统中摄像机参数获取四个实例来阐述其 应用，同时让我们体会到数学的魔力。 1. 极大似然估计 1.1 极大似然估计的原理 极大似然估计法是求估计的一种的方法，最早由高斯提出，Fisher在1921 年重新提出并证明了一些性质，极大似然估计法这个名称也是Fisher命名的。这种方法至今仍然得到很广泛的应用，极大似然原理的直观想法是:一个随机试验 V 如有若干个可能的结果A,B,C,…,在一次试验中。结果A出现。则一般认为实验 条件对A出现有利，即A出现的概率很大。 例1.1 设有两个形状大小相同的盒子，A盒有99个红色的玻璃球和1 个绿色的玻璃球，B盒里面有1个绿色的玻璃球和99个红色的玻璃球，现在任 取一盒，再从该盒中取一球，结果取得红色玻璃球。请问这个球最有可能从哪一 盒子取出, 99解 A盒取的红球的概率为P(红,A)=, 100 1 B盒取得红球的概率为P(红,B)=. 100 从上面的结果可以看到，这一红球从A盒中抽取的概率大于从B盒中抽取 的概率。由极大似然原理，在一次抽样中取得红球，可以认为从概率大的盒子中 抽取的。 我们通过对连续型与离散型母体两种情况来进一步阐述极大似然估计法。 ,,,1,2,...,n,fx;:,,,,设为取自具有概率密度函数的母体的一个子样，，，,, ,,,1,2,...,n,ixini,,1,...,子样的联合分布概率函数在取已知观测值时的值fxfxfx12;;...;,,,nLLxxx,,,;...,1,2,n是的函数。用表示，称为这个,，，，，，，，，，， LLxxx,,,;...,1,2,n,fxfxfx123;;...;,,,子样的似然函数。于是 ，，，，，，，，，， ,fx;,,,,,(1) 当是连续型母体，表示密度函数。于是子样，， n fxxii;,,,,,1,2,...,nxxx1,2,...,n落入点的邻域内的概率为，要使，，，，，，,,1i ,xxx1,2,...,n概率最大，只要找出使概率达到最大值时,的值即可。，， ,xi由于是不依赖于,的增量，只要求出使的 n Lxxxfx,,;;1,2,...,,ni,xxx1,2,...,n达到极大的，即得到极大似，，，，，，,,1i 然估计。 ,Lxxx,;1,2,...,nxxx1,2,...,n(2) 当是离散型，给出观测到的概率。可以，，，， 巢湖学院2012届本科毕业论文(设计) 把看作观测时出现什么样的可能性的测Lxxx,;1,2,...,nxxx1,2,...,n,，，，， 度，只要寻找观测值xxx1,2,...,n的函数,xxx1,2,...,n，以替换,,,,，，，， 使得Lxxx,;1,2,...,n=sup;Lxxx,,1,2,...,n其中,,成立。 ，，，， 1.2 极大似然估计的求法 常见的极大似然估计的求法有3种。分别为微分法、定义法和比值法。 ,1.2.1 微分法 当似然函数关于的连续函数，并且关于的各分量的偏导数都, nP存在，此时可以用微分法来求极大似然估计。设是维的，是的开区域，,,n 设L是的可导函数，我们用求导的方法来获得极大值点，让关于的偏导 ,, 等于0，于是得方程 ,Lx,,，， ,0， i=1,2,…,n i,x InLx,,为了计算方便，通常对似然函数两边取对数，由于Lx,,与在开区域，，，，上有相同的极值点，所以方程也可写为 ,InLx,,，，,0 ，i=1,2,...,n i,x 注意: 由极值的必要条件知极大似然估计一定是似然方程的解，但似然方程 的解不一定是极大似然估计，要通过验证才能确定极大似然估计。 1.2.2 定义法 若似然函数关于有间断点，似然方程无解或者解不在其开区 , 域内，此时可以由似然函数的形式利用定义来判断其极大值点。 1.2.3 比值法 若参数是离散型情形，通常取参数相邻两项的值，用所得的似 然参数的比值或差来找出似然函数的最大值点。 22Nu,,,,,12,,...,n,例1.2.1 设是取自正态母体的一个子样，其中，是未u，， 22,,,,,,，,,u,0,,知参数，参数空间，求与的极大似然估计。 u,, 解 正态分布的似然函数为 2 LLuxxx,(,;,,...,),12n VII n,,112,, i ,,,expxu，，,,,222,,,(2)2,,,1i,, 两边取对数 n1nn22 ,,,,,,,i2InLInInxu，，，，,2222,,1i 2,分别求关于与的偏导数，得到似然方程组 u n,InLn1,2,,，,xui，，,,224,,,,22,i,1 ,n,InL1,i,,,xu0，，,2,,u,,1i, 解得 n,,1 ,,iuxx,n,1i 2,n,1,,2 ,i,,xx,,,n,,,1i ,,,222,u经微积分学方法验证与满足条件，所以与分别是与的极大似然估,u,sn 计量。 例1.2.2 蜂箱中有很多蜜蜂，捉住50只做上记号，再放入蜂箱中，等到充分 混合后，再捉100只发现其中有记号的有10只，试估计蜂箱中有多少只蜜蜂, 解 设蜂箱中有P只蜜蜂，其中r只有记号，随机捉取s只蜜蜂发现有x只作 了记号，用X记为捉住s只蜜蜂带有记号的蜜蜂数，则 prr,，，，， ,,,,sxs,，，，， pXx(),,， p，， ,,s，， LPpXx()(),,似然函数为，讨论: 2,，srp+sr，，LPprp-s,p，，，，，，,,， 2LPp,1p+x-r-s，，，，-()srpxp，，p 巢湖学院2012届本科毕业论文(设计) rs当sr > xp，L(p)>L(P-1);当sr < xp,L(P)0，,求，的极大似然，，，，，，，， 估计。 ,,,11,,22222，，,解:p(P,Q,,,)= ,,,,21exp2PQPQ,,，,，，,,22，，21,,,，，,,,, IX ,1x2221,2222，，令，于是，， xx21,,,,x1,,,((1))0,,,,,1xx,,,12，，1x 代入于是 ,,11，，2222 p(P,Q,，)=，其中 x1x2,1212exp2xPQxPQInxxIn,，，，,,，，，，，，,,,,22，，,, 122; 1212CxxInxx,,,，，，，2 于是似然方程为 121x122 ii,，PQ，，,,221222xxn, 121x2 ii,PQ，，,22122xxn, 由于极大似然估计的不变性可以得到 2,,2PQii1,22,,，PQii ; ,,，，,,22n2，PQii，，, 1.3.3 极大似然估计的存在性 求极大似然估计就是求似然函数的极值点，一般是通过求其驻点即解似然方程的方法得到，而驻点不一定是函数的极大值点，所以似然方程的解未必是极大似然估计，即极大似然估计不一定存在。因此通过解似然方程的方法求极大似然估计时，需要验证似然方程的解是否是似然函数的极大值点，如果是极值点，那么极大似然估计存在，若不是，那么极大似然估计不一定存在。 ,n,,R,(1) 若 ，且L( ,x)关于可微，InL(,x)在,的内点达,,, 到最大，则极大似然估计必为似然方程的解。 (2) 对于一维实参数的情形，似然方程的解如果满足条件: ,2,,,,In(,x)/<0,则一定是极大似然估计。 YY1,...nP, 例1.3.2 设为取自泊松分布的一个简单的随机样本，求参数,的，， 极大似然估计。 解: 由于样本服从泊松分布，所以似然函数为 nnn,，，,,,,npYi|,eeY/(!)i,, L(,y)= = ,，，,,,,,Yi!，，11,1,ii,i n,ly(|)1,i,,,yn0 两边取对数整理得: ,,,,,1i n,1yi,,所以方程有唯一解为.易验证的极大似然估计是存在的，为唯一的极,ni,1 巢湖学院2012届本科毕业论文(设计) ,, 大值点，即为 的极大似然估计。 ,,,y 1.3.4 极大似然估计的唯一性 极大似然估计一般不具有唯一性，但都收敛于真值，只是收敛的速度不同，,在求参数的似然估计时，可以利用定义求它的最大值对应的参数值。然而当,达到最大值对应的参数的值可能不止一个，由此可见，参数的极大似然估计, 不具备唯一性。 例1.3.3 设是取自柯西分布: yy12， 1 fy|,,，的样本，求参数的极大似,,,,，,y,，，2，，，,1y,,,，，，， 然估计。 1解: 似然函数为:Ly,|, ，，222，，，，12，,，,11yy,,,，，，，，，，， 22，，，，两边取对数得: InLyInInyIny(|)211,,,,12,,,，,,，,，，，，，，，， 并对参数求导令其为0. , /2，， InLyyyyyyy(|)2(2)()10,,,,,,，,,，，，,121212,,，， 22(+)4yyyy1212，,,(+)4yyyy1212,,,，，，，yy12+,, 解为:，2=，3, . ,,1222 //InL(),由 的符号可知可知，当为的极大似然估计时，， 不是的,1,,2,3,,, 极大似然估计;反之，当， 为的极大似然估计时，不是的极大似 ,2,3,,1, 然估计。由此可见参数的极大似然估计是不唯一。 , 1.3.5 极大似然估计的相合性 , XXX,(,...,)1nf(), 样本量为的样本，的参数函数的估计量若满足fXn()n ,, ,,,,,,,0,f(),?，，则称估计量为的相合估计。 fXn()lim(()()|PfXf,n,,,n,, 在一些正则条件下，极大似然估计是相合估计，但在很多非正则的情况下也是 会碰到的。让我们来看一下在非正则条件下的极大似然估计不相合的例子。 例1.3.4 (1)由于参数多造成的一个参数的极大似然估计不相合 ,i,,22, 如:，的极大似然估计为xNPin(,),,1,2,...,2ii,,,,,,,,,,i,,, XI 22n,1,2,而不是。 nii12,,,xx,，，,42n1,i (2)由于密度函数处处不连续而造成极大似然估计不相合。 ,,,若为有理数,XXX12,,...,n，为随机样本，似如,UX(1)1,,，0??,,1,，若为无理数,,, np,p,nn,,,1,是有理数,,,，，,i然函数:Lxfx(|)|,,;px,i， ,,，，,,,,,p,,n-p1,是无理数,，，1i,,,,1,,,i,, ,,,p,,n,,,n,,1的极大似然估计，当是有理数，.但当是无理数时，.,,,,,n , ,n可见并不是都收敛于，所以不是的相合估计. ,, 3)由于原分布为混合分布而造成极大似然估计有无穷个，所以不收 ( 敛于真值. 例如: 22()y,,()y,,,,1,aa222, 其中已知，若取,fyee(|),，a 22,,, n ,,,yini,1,2,...,(,0)yi，此时，可见任何都可作为的极大,sup|i,,,fy，，, ,1i 似然估计，显然不收敛于真值. , 1.3.6 极大似然估计的渐进正态性 ,,,,,n,2N(0,1),设是的估计，如果存在满足要求,,,n(),,nn,(,...,)XX1()n,, ,,,22,n,n则称是的渐进正态估计，称为的渐进方差，记:. ,,,n(),,,,nnAN(,()) px(|),,,,,定理:假设,为开区间，概率密度函数满足: 2233,0(1) 在参数真值的邻域内，对所有的,,,,,,InpInpInp/,/,/,,, 都存在。 x 33,0(2) 在参数真值的邻域内，; |/|,,,InpH,?(x)且EH(x)< ,0(3) 在参数真值处， 2////，，，，，，PXPXPX,,,,,,000，，，，，，,,,0,0,()0IEEE0000,,,,,,,,,,,PXPXPX,,,000，，，，，，,,,，，，，，， 巢湖学院2012届本科毕业论文(设计) , ,n记为时似然方程的相合解则 n,, ,,1 nNI()(0,()),,,n00,, 在正则的情况下，定理的条件一般会满足的，故极大似然估计是渐进正态 的;在非正则条件下极大似然估计也可能是渐进正态的。 1,,||y,例1.3.5 设是来自总体的一个样本，该分部yyy12,,...,nYeRxR1,,,,,2不是正则组，其对数似然函数为 n (|)2||,,,,,,ilynIny, ,1i 记为样本次序统计量，对上述似然函数进行分段可以写为: yyy(1)(2)(),,...,n n,2,i,,(1),,，,nInyny,, 1i,, ,......,mn,()()(1)iimm，lynInyynmyy(|)2(2),,,，,，,,, ,,,,,, ii,,11, ,......,n,()()in?,,，2,nInnyy,,,,,1i, ly(|),ly(|),可见，当2mn时是的递减函数，,, n，1nny()所以，若n为奇数，是的极大似然估计;若n为偶数则之间任,yy()(1)与，222意值都是的极大似然估计。 , 1nn例如:取样本中位数，很显然是的极大似然估计，对,)()(1)yy，+m0.5,,222 于此分布，也是总体的中位数，由渐进分布定理得: , nmN()(0,1)0.5,,, 一般极大似然估计被认为是渐进正态的，但也有反例. (0,),如:对上的均匀分布，极大似然估计是，但的渐进分布是极值 x(n) x(n)分布，而不是正态分布 1.3.7总结. 总结 由以上几例，可以得到: (一) 在非正则情况下，先要找到使之不正则未知参数集合。针对这个集合是个别 XIII 点，还是一个区域，再分析造成非正则的原因，消除这个不正则的因素。再用似 然原则，或者改变一点似然函数值来替代原似然函数，而不改变其实质，即称为 )就不必用极大似然去考虑，而采用其它估计方法。 惩罚函数的办法。如例1.3.4(三 这当然离极大似然原则远一点，如果产生多个极大似然估计，则可选择所有混合 下最优的极大似然估计。 (二) 在非正则情况下，处理极大似然原则时，必然注意是否有样本点，使似然函 数只在边界点达到极大，注意这个极大点有限唯一。如果采用其他的估计法，方 程的根是否唯一，有可能是局部的极值点，若有很多根，我们只取使之达到最大 的根作为参数的极大似然估计。 (三) 从统计决策理论来看，任何统计推断都应依赖损失函数，而极大似然方法未 曾考虑到损失函数，难免让人觉得不满意。因此，极大似然估计虽然有一些优良 性，虽然其应用很广，但有其局限性:有时极大似然估计并不存在如:(1)有 时极大似然估计并不唯一;(2)在一些非正则条件下极大似然估计也可能不相 合;(3)有时极大似然估计并不是渐近正态的;这些情况，在应用的时候也应 注意。 2. 极大似然估计在生活中的应用 上一章我们通过对极大似然估计的原理，求法，以及性质作了相关的阐述， 对极大似然估计也应该有了一定的认识。极大似然估计在社会的各个领域中有很 广泛的应用，特别是在生活中的应用。比如在电器可靠性分析方面极大似然估计 法可以通过计算机软件处理，具有较高的计算精度，提高了对电器可靠性分析的 效率;在定位精度方面，该方法可以使节点的定位精度大大提高;在交通流量预 测方面，通过该方法估计观测量与下游量之间的关系从而预测交通流量，大大减 巢湖学院2012届本科毕业论文(设计) 少估计值与实际值的误差率;在视频监控方面，该方法有效减低了信息获取过程 中噪声对摄像机标定的影响，能够得到较理想的摄像机标定效果。现在让我们来 一一对极大似然估计在这些方面的应用进行分析、阐述。 2.1极大似然估计在电器可靠性失效分析中的应用 传统电器可靠性寿命试验方法一般有全寿命试验方法、定时截尾试验方法、 定数结尾试验方法。下面的实例我们运用全寿命试验方法和定时截尾试验方法建 立数学模型。 1) 全寿命试验方法 ( 在一批电器产品中随机抽取n个样品进行寿命试验，试验到全部样品失效，得到n个失效时间分别为用这些全部子样的数据估计失效分布中的未知ttt12,,...,n 参数。 (2) 定时截尾试验法 假设从某型号的电器产品中抽取n个样品进行寿命试验，试验到全部截止时 间为止，共有k个产品失效，其失效时间从小到大排序为ttt12??...tk?l，而另tl 外的n-k样品在内失效，用这些截尾子样数据估计失效分布中的未知特征(tl,), 参数。 2.11某研究所对某公司的15个某型号的电阻器进行可靠性寿命试验，当出现7 个电阻器失效时结束试验，其统计的失败的数据如下表所示 失效时间数据 n 1 2 3 4 5 6 7 4 t(10)n，12.06 14.00 17.00 18.00 18.50 19.00 20.00 分别假设失效的时间数据服从指数分布，正态分布，威布尔分布，用极大似然估 计的方法得到如下表: 分布类型 特征参数 均方误差 XV ,6,,，1.952310 E,,0.0892指数分布 5, ,,，1.72210 Eu,,,2.4625正态分布 4,,，2.42210 , mv,,6.14,0.0,威布儿分布 E0.0029m,,v,, 5 ,,，2.27310 ,,2,所以本题的失效分布为威布尔分布. 因为minE,E,,,,,,EEmvmv,,,,,,,, 通过运用图估计法、最好线性无偏点估计法及最好线性无偏区间估计法对上面的 实例进行分析计算，结果如下表: 计算结果比较 ,5 ,/10m 1,,参数 极大似然估计法 6.14 2.3 图估计法 4.9 2.4 最好线性无偏估计 法 4.6 2.35 最好线性无偏区间 1.99~10.5 2.05~3.59 96% 估计法 2.48~9.19 2.08~3.14 90% 2.98~8.2 2.13~2.87 80% 由上表可知极大似然估计法与图估计法、最好线性无偏点估计法一样，其估计 结果都在最好线性无偏估计区间中，所以，极大似然估计方法是有效的。 总结: (1) 对于全寿命试验，指数分布和正太分布的特征参数可以直接由相应的似然 方程进行估计，威尔分布的特征参数可以利用非线性规划计算方法进行估计;对 于截寿命试验，无论是哪一种分布，其特征参数都需采用非线性规划计算方法进 行估计。 (2) 采用均方误差最小原则作为失效分布判别准则，可以有效的确定失效分布 的类型。 巢湖学院2012届本科毕业论文(设计) (3) 此方法可以由计算机软件完成，有较高的计算精度和数据的重复性，效率 高、实用性强。该方法使用于各种仪器仪表及电子元件的可靠性失效分析。 2.2 极大似然估计在无线传感器网络APIT定位算法中的应用 无线传感器网络已经是以一种全新的信息获取手段，在很多领域有广泛的应 用。但在随机监控区域内获取信息的传感器节点，自身位置信息的确定对于无线 传感器网络的应用性有着非常重要的意义。 2.2.1 APIT定位算法 APIT 算法的基本思想是:每个未知节点根据自身无线射程范围，获得能与 其通信的信标节点集合，假设其中有p 个信标节点，称为该未知节点的邻居信标 节点。在这p个信标节点中取出3 个，以它们为顶点组成三角形，判断该未知节 点在这个三角形的内部还是外部，然后再选择另外3 个信标节点进行同样的测 3试，直到穷尽所有的信标节点组合有种组合)。这样，通过上述判断来逐步 Cp 缩小未知节点所在的区域，从而优化信标节点对定位的作用。最后求出包含 该未知节点的所有三角形的重叠区域，并将重叠区域的质心作为该未知节点的估 计位置. 2.2.2极大似然估计算法 BxyBxyBxy111222(,),(,),...,(,)ppp 极大似然估计算法:假设有p个信标节点坐标为 (,)xy未知节点C的坐标为，未知节点到C到各个信标节点的距离分别为 ccc12,,...,p 222,xxyyc,，,,111，，，，,222,xxyyc,，,,222，，，，,则有线性方程组:; ,....................................., ,222xxyyc,，,,ppp，，，，,, 上式中，从第一个到第p-1个都减去第p个式子整理可写成矩阵方程 Ax=B XVII 2222222......2xxyy11,,pp，，，，，，，，xxyycc111,，,,，ppp,,,,22222222pp2......2xxyy,,，，，，222pppxxyycc,，,,，,,,, A, B,,,,,................................................................................,,,,222222,,,,pppp112......2xxyy,,pppppp111,,,，，，，,,，,,，,xxyycc，，，， x，， X,,,y，， 用极大似然估计法求解上面的矩阵方程，可得到未知节点的最小二乘估计: ,T1T, XAAAB,() 2.2.3 基于极大似然估计的APIT算法 算法的基本思想:首先利用A P I T 算法确定由信标节点组成的用于每个未 知节点定位的有效三角形集合，并求出每个三角形集合中各三角形的重叠区域， 算法求 近而确定该重叠区域各顶点的坐标，然后根据这些顶点坐标，运用M L E 出其对应的最小二乘估计解，将该估计位置作为本重叠区域中未知节点的坐标。 2.2.4 实例分析 在100cmx100cm的正方形区域内随机抛洒100个未知节点，并将信标节点设置 为不同数量，从而构成相应的无线传感器网络;每个节点的覆盖区域是一个规则 圆形;每个信标节点的自身定位误差为0 ，所有距离的单位为厘米(cm) 用于说明定位性能的参数: R:节点通信半径; N D:连通度，用网络的平均连通度表示，指每个节点所连通的其他节点的个数的平均值; A N R:信标节点通信半径与未知节点通信半径比; 平均定位位差: (,)xyprpr假设第p个待定位未知节点的实际坐标为，通过计算得到的未知节点 (,)xypp的估计坐标为，则该未知节点的定位误差为: 22,ppprppr,,，,xxyy ，，，， 若通过未知节点的个数为n个，则节点的平均定位误差为 巢湖学院2012届本科毕业论文(设计) nn22pprpprp,，,,xxyy，，，，,, 11,,ii ,,,，，nRnR ANR=1，每组参数至少进行100次试验，采用MATLAB对各种算法进行试验仿若 真并进行比较。 在R=20时200个信标节点。100个未知节点的分布如下(1)所示,连通分布如 下图(2)所示,ND=11.350，(*表示信标节点，0表示未知节点。) 图(1) 图(2) XIX 下图为不同节点通信半径下网络平均连通度随信标节点数变化 图(3) 由图(3)知调整节点通信半径或者增大信标节点密度未知节点就能够连接更多的信标节点，网络连通度就会相应增加，可用于未知节点定位的三角形就会增加，这样就会降低节点的随机分布对定位的影响程度，从而优化信标节点对定位的作用，定位精度的提高也就成为必然。下图为不同通讯半径下的平均定位误差。 (1) R=20cm 巢湖学院2012届本科毕业论文(设计) (2)R=25cm (2) R=30cm XXI (3) R=30m (4)R=35cm 上图可知随着节点半径的不断增大，基于极大似然估计的APIT算法定位误差 都在降低，并且随着信标节点密度的不断增大，基于极大似然估计的APIT定位算 法的定位精度明显优于质心定位算法的定位精度。 巢湖学院2012届本科毕业论文(设计) 总结:基于极大然估计的无线传感器网络APIT算法，通过相邻未知节点交换信标 节点信息，进行A P I T 测试，优化了信标节点对定位的作用，并运用极大似然 估计算法估计未知节点的位置，使得随机分布状况下的节点定位精度有很大的提 高。 2.3 基于极大似然估计的路段交通流量预测 现在，城市交通控制系统在全球范围内应用非常广泛，但所有控制决策的前 提条件是存在大量的实时交通流量数据信息，提供动态控制的一个必要条件是系 统能够利用所采集的实时数据对未来几分钟内的交通做出连续的同步的预测。流 量的预测是交通预测的基础，极大似然估计对某点某时刻的车辆到达的平均值做 出预测，极大似然估计在交通流预测中都有体现。 2.3.1.极大似然估计方法及其检验 下游路段预测点车辆到达数量除与上游路段预测点发出的车辆数量有关外， 还与车辆的性能、外界干扰以及司机的心里因素有关，这些因素决定了车辆的速 度，进而影响下游路段预测点车辆的预测。由此可见下游某时刻到达车辆的数量 是包括上游所发出车辆数量在内的多个变量的多维函数。上游所发出的的车辆数 量易于观测，其他变量都不易观测，可以把路段看作一个黑洞，上游发出的车辆 为输入量，并对下游预测点的输出量作出预测，用统计的方法减少函数的维数。 图(1)中 qi表示上游观测点i时段出发的车辆数量，d表示下游预测点车辆到达的数量i=1,2，…,k,k为时间段的数量它决定了对d解释的充分性，如 果k太小会忽略一部分重要的数据使得d的即使不够充分，导致估计量的有偏性 和非一致性;如果k过大将会增加计算的费用，还会影响估计的有效性，但不影 响无偏性和一致性。 设因变量d是自变量为qi和误差项的线性函数: XXIII dqqqiiiikii,，，，，，,,,,,01122...其中:是回归参数;为误差项. ,, 假设:(1)两个或多个观测值之间线性不相关;(2)所有的观测值的误差项都为 ;(3)所有观测值的误差项有相同的方差;(4)不同观测值的误差项之间相互 0 独立;(5)误差项服从正态分布:线性估计决定系数估计值的必要条件是使得误 差的平方和H最小化即: n2 minmin(...),,,,,,iiiiki,,,,01122Hdqqq, ,1i 用极大似然估计法解决该问题，可以使估计量一致且渐进有效，并存在多样，有 效的检验方法。 2,设下游到达车辆分布服从正态分布方差为，则d的概率密度函数为 11，，2pddqqqiiiiki,,,,01122()exp(...),,,,,,, 22,,22,,,，， 所以似然函数为: ，，n112,, iiiiiki,,,,01122 Lpddqqq()exp(...),,,,,,,,,n2,,2,,221i,(2),,,，， 对L取对数: nn1n,,,,22 iiiiiki,,,,,,01122,,,,,,,,,()(2)(...)InLInpdIndqqq,,,,,,222,,,,,,1,1ii 2,上式分别对，求偏导，并令其等于0，可以得到: , n122 ,,,,,,,,,,,,iiiiki01122(...)0dqqq,n,1i nkn ijji,,,()0,,0 dqn,,, ,,11,1iii ，，nnkn,,2 jiimijji(0;1,2,...,,, 0qdqqjk,,,,,,,,,,, 1111iimi,,,,,,nj,,,，， 为保证估计结果的可靠性，应对其分别进行无偏性检验和似然比检验。当不能满 巢湖学院2012届本科毕业论文(设计) 足无偏性时适当的增加k，以保证结果的无偏性。适当增大k可以降低方差相应 的不能满足似然比检验时可以适当的减小k，以保证结果的有效性。 2.3.2 实例分析 2012年11月22日早9点巢湖市向阳路与长江路十字交叉入口进行观察求 证，预测点位于入口处观测点位于预测点沿长江路向西210m处，观测点平均车 速为30km/h车速标准差为6km/h采样时间为20s采样仪器为地感线圈。 解:上面的实例中采样时间过小会使采集的数据随机性很大，不能满足一致性检 2I验;若过大，估计函数的拟合优度偏小，影响解释的充分性，为保证一致性检 2I都较好，由试错调整法采用时间长度为20s满足估计函数的验和拟合优度检验 一致性和有效性。自变量的个数k为6观测点到预测点之间的距离为综合车 速，数据采集，传输和处理所需的时间后确定的。 2I 由极大似然估计法，所得到的的拟合优度=0.990，回归标准差s=23.85辆/h，最大相对误差为5.76%.预测值与实际值的比较结果如下图 总结: 应用极大似然估计法对交通流预测是基于交通流和道路自身的特征，而将 其他如车辆的差异性，等其他因素当做随机项的一种方法。能有效的把一个高维 问题转化成一个低维问题，该方法克服了正态分布模型理想条件的限制，与几何 分布模型等其他模型相比较结果更加精确。而且其逻辑清晰，检验方法有效多样， 由实例的结果可以看出预测结果也较为准确，同时便于程序化，数据采样简单等。 2.4 极大似然估计法在视频监控中基于行人跟踪的摄像机自动标定中的应用 XXV 一种基于场景中行人位置信息的摄像机自动标定方法可以解决视频监控 系统中的摄像机参数获取问题。方法如下:先对由不同位置的行人轮廓中提取出 的头脚点位置信息进行筛选, 再通过极大似然估计求解出消失点与水平消失线, 并根据消失点与消失线信息计算出摄像机的内外参数和投影矩阵。最后根据由重 投影统计计算的误差评价系数, 采纳RANSAC 方法选取最优结果, 实现了对参数 的优化。 2.4.1摄像机标定的消失点算法 在视频监控场景中所拍物体与相机间的距离通常远大于摄像机的焦距，所 以可认为摄像机符合透视Pinhole模型，空间中一点与该点的在图像上的投影点 TT,,,,1,,,1PXYZ有:投影矩阵P由5个内参数、3个旋转外参数以及3个平,,,, fs,p,,33313331，，，，ROIT,,,,,,移外参数决定，形式如下其中通03331，，,PfIOap，，,,,,,,,111313，，OO,,,,,,001,, 常情况下近似认为a=1.s=0，可以简化求解过程，而且对结果影响小。 2.4.2计算机摄像机参数 (1)计算机消失点VY与消失线VL ,hhhn,pp1,...,由n帧视频中提取的全部头脚点位置分别构成头点集与脚点,, ,fffn,pp1,...,集。所有连接对应与的直线理论上相交于同一点，即垂直方phpf,, Lf向消失点VY,任意与之间连接直线Lh同与之间的连线的焦点理论phiphjpfipfj VL上在水平消失线上。 由于头脚位置的存在不可避免的观测误差，所以通过迭代法获得消失点与消 VYVL失线的最优估计结果，首先采用极大似然估计算法对进行估算。对则采用 ,另一种计算方法:从交点的集合中选择一组，两点的连线满足其中dist(pi，px VLL)任意一点到两点连线的距离，再由最小二乘法以L为初值进行迭代计算得到。 L,argmindist ( Pi , L ) ,pi,, 巢湖学院2012届本科毕业论文(设计) ,2)用,计算内外参数 VYVL 在摄像机标定过程中定义坐标系:设地平面为Y= 0 平面, X 、Z 轴方向 一般情况下水平向右为X 轴方向、垂直于图像平面指向内为 依据实际情况而定, Z轴方向。得到,之后结合FengjunLv等提出的方法确定X与Z轴上的消失点, VYVLVX VVVXYZ,,PpPp与摄像机主点再利用与计算出焦距与旋转外参数。在人身高一直VZ 的条件下，计算出摄像机距离地面高度(H为行人身高) HC \Hdxcdx(,)(,),,,1 \CHdxcdxv(,)(,) (,)xy00(,,1)(0,0,0,1)xyp00设坐标系原点在图像中的坐标为,由与投影矩阵公式 TT,1可得:其中. THYC,(,,)()(,,1)TTTARxyXYZ00 2.4.3标定结果优化 (1)提取信息位置信息 要求场景近处只有单行人，提取过程如下使用背景减除算法提取视频中运 Pf动行人轮廓;从轮廓中提取出代表行人头部位置的点Ph与脚部位置的点其中提出背景减除算法来实现，并选择最大的前景连通域,作为行人轮廓，而远处行 (,)...(,xyxy100n人的前景域由于面积较小被忽略设为在连通域,中最顶部的点,, 的集合，由行人的体态特点则Ph的坐标由下式决定: n1 to ppt 关于艾滋病ppt课件精益管理ppt下载地图下载ppt可编辑假如ppt教学课件下载triz基础知识ppt itoppt__0,xxyy,,,n1i, Pf(,)...(,,,,,1m若,为最底端点的集合，的位置由下式决定: ,, 1ybottompt_,, ;. bottomptleftptrightpt___x,，,,()2 (2)参数优化 由于错误位置点信息对消失点、消失线的获取精度产生很大的影响。进而影 响摄像机参数标定的效果。因此应用一种基于RANSAC方法进行优化。这种方法能 VL够有效避免个别远距离交点对最小二乘估计结果的影响。 XXVII 2.4.4评价参数精度 根据消失点的信息得到全部摄像机参数之后，可计算出反应设定坐标系与 图像坐标系之间的对应关系的投影矩阵P,对矩阵P进行估计用下面的方法进行合 理评测。从优化后的参数集合中任取一对头脚的坐标(,),(,),,,,hhff由于脚点,,, Yf位于地平面上，设在空间Y轴上的坐标是0，由投影关系求出脚点再设定坐标系中的坐标值为 ,1Xpppff,,,,,,,111213,,,,,,ff , Zppp,212223,,,,,,,,,,,,11ppp313233,,,,,, 连接头点与脚点的直线可近似认为垂直于地平面, 故头点的X,Z值与脚点相 (,,)XHZff等、Y 坐标赋值为行人身高H ,即头点空间坐标为。由空间一点与图像 \\(,),,hh上的摄影点的关系可以算出投影点与对应的原理之间的距离d。各(,),,hh 组头脚点C的d值累加得到总误差系数，作为参数标定精度的评价准则，即: , \\22 ,,,,,,,，,()()hhhh,Ci,, 2.4.5实例验证 用于实验的数据是4 段分辨率为400×300 的单行人行走视频, 系统程序使 用VC+ + 和Intel 开源代码库OPENCV 实现, 图2 展示了实现整个自标定系统的 结构。表1 是对摄像机位置固定时( 即参数不变) 在相同场景下拍摄的不同行人 视频的标定结果( 只包括几个主要参数) , 可发现几组结果都是十分接近的。 3段视频参数标定结果 视频序列 焦距 水平倾斜角 摄像机高度 1 469.23 13.77 2.633 2 497.23 13.58 2.732 3 430.31 14.23 2.597 由于摄像机参数真实值难以获知，所以采用间接方式来标定结果的精度，通 过计算估算高度与实际情况非常接近。通过对优化步骤与未来优化步骤两种方法 的结果的对比，可以看出优化策略对提高摄像机自动标定精度具有有效性。 为了从数值统计的角度更加充分地验证标定结果准确性,用投影矩阵P来估计 巢湖学院2012届本科毕业论文(设计) 行人身高H并与真实值比较的方法，该优化方法的估算结果基本将误差控制在 5cm 之内, 较未优化方法的统计分布更加接近真实值, 进一步证明优化算法提 升了标定算法的性能。 2.4.5总结 通过引入基于RANSAC 方法的优化策略, 再通过极大似然估计求解出消失点与水 平消失线,有效减轻了背景减除算法产生的头脚点提取噪声的影响; 同时, 提出 了合理的标定算法结果的评测方法, 并对算法的效果进行了科学的评测和验证。 实验结果表明: 本系统可以得到比较理想的标定结果, 且准确度相较于未优化 的方法有了显著提高, 已具备一定实用性。 结束语 极大似然估计法是一种重要的参数估计的方法，在众多领域中得到广泛的应 用。本文通过对极大似然估计的原理、求法以及性质的阐述，让我们对极大似然 估计有个更加理性的认识，本文更多的倾向于就极大似然估计在生活中的应用 除了上述在应用之外，极大似然估计还可以根据自身的一些性质向更多方面发 展，例如在军事上高分辨雷达的测角方法，以及在经济领域中对利率的分析，都 发挥了很大的作用。 参考文献 【1】、刘世超,《基于极大似然估计的路段交通流量预测》,西南交通大学交通运 XXIX 输学院,2005年 【2】 翟国富～王淑娟的,《电器可靠性失效分析中的极大似然估计方法的研究》, 哈尔滨工业大学,2001年 【3】邓克岩、万国锋:《基于MLE的无线传感器网络APIT定位算法》,西北民族大学电气工程学院,2012年 【4】崔一博、谭啸宇、崔鹏,孙立峰、杨士强,《视频监控中基于行人跟踪的摄像机自动标定》,清华大学计算机科学与技术系,2009年 5】魏宗舒等,《概率论与数理统计教程》第2版,高等教育出版社,2007年 【 【6】陈希孺,《高等数理统计学》,中国科学技术大学出版社,1999年 【7】邹小云,《极大似然估计的性质探讨》,湖北职业技术学院,2007年6月 【8】赵军圣、庄光明、王增贵,《极大似然估计方法介绍》聊城大学数学科学学院,2010年6月