线性代数各要点整理

线性代数各要点整理第一章行列式主要知识点一、行列式的定义和性质7.余子式L和代数余子式的定义2行列式按一行或一列展开的公式I牛吐二工岭牛八口…那啊二忖I1）・dhJ一一勺*krk*o<一一4nVa行…Loki行列式的性质）叶⑷2）用数k乘行列式的某一行（列）所得新行列式二原行列式的k倍.推论3）互换行列式的任意两行（列）所得新行列式等于原行列式的相反数？推论4）如果行列式中两行（列）对应元素成比例，则行列式值为0.5）行列式可以按任一行（列）拆开？6）行列式的某一行（列）的k倍加到另一行（列）上，所得新行列式与原行列式的值相等1、行...

第一章行列式主要知识点一、行列式的定义和性质7.余子式L和代数余子式的定义2行列式按一行或一列展开的公式 I牛吐二工岭牛八口…那啊二忖I1）・dhJ一一勺*krk*o<一一4nVa行…Loki行列式的性质）叶⑷2）用数k乘行列式的某一行（列）所得新行列式二原行列式的k倍.推论3）互换行列式的任意两行（列）所得新行列式等于原行列式的相反数？推论4）如果行列式中两行（列）对应元素成比例，则行列式值为0.5）行列式可以按任一行（列）拆开？6）行列式的某一行（列）的k倍加到另一行（列）上，所得新行列式与原行列式的值相等1、行列式的计算1?二阶行列式和三角形行列式的计算?对一般数字行列式，利用行列式的性质将其降阶以化成二阶行列式或三角形（或对角形）行列式的计算对行列式中有一行或一列中只有一个或两个非零元的情况，用这一行或一列展开4•行列式中各行元素之和为一个常数的类型？范德蒙行列式的计算公式第二章矩阵主要知识点一、矩阵的概念1?要分清矩阵与行列式的区别几种特殊矩阵（0矩阵，单位阵，三角阵，对角阵，数量阵）二、矩阵的运算1?矩阵A,B的加、减、乘有意义的充分必要条件2.矩阵运算的性质比较矩阵运算（包括加、减、数乘、乘法等）的性质与数的运算性质的相同点和不同点（加法、乘法的交换律和结合律；乘法矢于加法的分配律）重点是矩阵乘法没有交换律（由此产生了矩阵运算公式与数的运算的公式的不同点）（肚卯二屮別+於心+引（小二护+胡」乩护；（ABk=ABAB艸計；（4士卯二才土2虫+£转置对称阵和反对称阵1）转置的性质（A±Bf=A±B,（财）『二2:（朋）「二2）若AT=A（AT=-A），则称A为对称（反对称）阵逆矩阵2））方阵A的伴随阵,「的定义Ax?当（当方阵A可逆时，「：■卩卫的矢系）重要结论：（4）1尸5）消去律：设方阵5.方阵的行列式冏二国；n二八|41I.才刖;（#亡的『；旳帀.AA可逆，且AB=AC（BA=CA，则必有B=G（若不知A可逆，仅知Amo结论不一定成立。）也卜国卩丨；『I胡洌卅分快矩阵矩阵运算时分快的原则；分快矩阵的运算规则；分快矩阵的转置A血…AjtT站禺…起Ai去…••遇丈…兀■■■上挥起…J三、矩阵的初等变换和初等矩阵初等变换的定义和性质方阵经初等变换后的行列式是否变化？（分别就三种初等变换说明行列式变化的情况）初等变换不改变方阵的可逆性；初等变换不改变矩阵的秩；行初等变换必能将矩阵化为行最简形，初等变换必能各矩阵A化为标准形一°，其中r为矩阵A的秩・初等矩阵的定义和性质1）初等矩阵的定义)初等变换和矩阵乘法之间的尖系m阶初等阵二一丁「和一系歹【」n阶初等阵Qi?…Q使)对任意mxn阶矩阵A,总存在一系列Er昭彩彩???s；四、矩阵的k阶子式和矩阵秩的概念，求矩阵秩的方法五、矩阵方程的标准形及解的公式磁二E二〉X二丹XA二第三章向量空间主要知识点一、n维向量线性运算的定义和性质；设??■:二是一组n维向量构成的向量组。如果存在一组不全为零的数使得“?I则称向量组X、、线性相尖。否则'称向量组X3厂0线性无矢二、n维向量组的线性相矢性m个n维向量丿线性相尖的充分■:是其余向量的线性组合.1?向量组的线性相矢性的定义和矢于线性相矢的几个定理必要条件是至少存在某个(24)如果向线性无尖，而f?线性相矢的向量组再增加向量所得的新向量组必线性?(部分相若向量组…--'■线性无矢，则接长向量组线性无矢的充分必要条件是其中任意一个向量都不能表示为其余向量的线性组合件二(砌，角叫.險叶1)),212…艸必线性无発判断向量组的线性相尖性的方法一个向量a线性相矢J：；?■；含有零向量的向量组必线性相尖；向量个数二向量维数时，n维向量组"<线性相矢01虫|二崗角???$卜0；向量个数>向量维数时，向量组必线性相尖；若向量组的一个部分组线性相矢，则向量组必线性相尖；若向量组线性无尖，则其接长向量组必线性无矢；向量组线性无矢，至向量组的秩二所含向量的个数(7)向量组线性相矢L向量组的秩V所含向量的个数；(8)向量组'“；线性相矢(无矢)的充分必要条件是齐次方程组则坷+血岛+???+召耸二0有(没有)非零解?三、向量组的极大无矢组及秩极大无矢组的定义向量组的秩求向量组的秩和极大无矢组，并将其余向量由该极大无矢组线性表示的的方法四、子空间的定义…基、维数、向量在一组基下的坐标第四章线性方程组、线性方程组的三种表示方法旳円+4□吃+???+孤兀二勾?务护q十务內出…+久凤二耳知?■■做其中.4二a21⑶XLa0LUi-£二、齐次线性方程组1?齐次方程组解的性质设a,3都是AX二0的解，贝UGa+63也是Ax二0的解（C,C2为任意常数）齐次方程组有非零解的条件1）齐次方程组AX二0有非零解的充分必要条件是r（A）v未知数的个数（即矩阵A的列数）.2）n个未知数n个方程的齐次方程组AX=0有非零解的充分必要条件是|A|二0.3）设A是mxn阶矩阵.若m 合同三、用正交变换化二次型为标准形1）定理对任意实二次型?■■■■“■，总存在正交变换x=Py,使得该二次型化为标准型其中入1,入2,…，入n为实对称矩阵A的n个特征值.此定理说明：对任意实对称矩阵A,总存在正交阵P,使得其中入X入2,…，入n为实对称矩阵A的n彳、特征值？（即实对称矩阵A必能与对角阵TOC\o"1-5"\h\zHYPERLINK\l"bookmark32"\o"CurrentDocument"I九0—0—0爲3…0?—I■W■■M■A.■00■忑合同？2）要掌握用正交变换化二次型为标准形的方法配方法化二次型为标准形？惯性定律正定二次型与正定矩阵1）定义2）二次型正定（方阵正定）的充分必要条件忙培二■■龙老圧正定的充分必要条件是它的正惯性指数二n?2；丛?犷正疋的充分必要条件是A与单位阵合同.曲一龙么二1正定的充分必要条件是A的所有特征值都大于零式丿龙址总正定的充分必要条件是A的各阶顺序主子都大于零3）二次型正定1?生的定义及其判别方法定义矢于二次型正定性的判断：n元二次型正（负）定它的正（负）惯性指数二n；n元二次型半正（负）定它的负（正）惯性指数二0；n元二次型不定它的正，负惯性指数都不等于0.

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