几何体的内切与外接球问题
例1.在球面上有四个点P、A、B、C，如果PA、PB、PC两两垂直，且PA=PB=PC=a，求这个球的
表
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面积。
补体：
例2.一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a，求这个球的体积。
固定位置
例3.若正三棱锥的侧棱长为5，底边长为
,求它的内切球的半径。
找相似，比例关系
例4.四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱PA与底面垂直，PA=1，若四棱锥内有一内切球，求R= 。
利用体积分割
例5.三棱锥P-ABC中，PA ⊥面ABC，AB ⊥BC，若PA=AC=1，则该三棱锥的外接球的体积为 。
找球心 O在PC中点
例6.一个空间几何体的三视图如图所示，且这个几何体的所有顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是 16
练习：
1. 已知正三棱锥的三条侧棱两两垂直，且底边长为2，求它的内切球半径？
2. 已知一个半球的半径为1，在其内有一个内接的正四棱柱，求正四棱柱体积最大时，对应的高为
3. 已知一个几何体的主视图及左视图均是边长为2的正三角形，俯视图是直径为2的圆，则此几何体的外接球的体积为（ D ）
A．
B．
C．
D．
4.（2012·琼海模拟）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为（ ）
A.
B.
C.
D.
D【解析】该几何体是个如下图所示的三棱锥D-ABC，外接球的球心为点
，F为AC的中点，设
,
则
，解得
.所以外接球的半径为
，表面积为
.
5.[2012·辽宁卷]已知正三棱锥
ABC，点P，A，B，C都在半径为
的求面上，若PA，PB，PC两两互相垂直，则球心到截面ABC的距离为________.
【解析】因为在正三棱锥
ABC中，PA，PB，PC两两互相垂直，所以可以把该正三棱锥看作为一个正方体的一部分（如图所示），此正方体内接于球，正方体的体对角线为球的直径，球心为正方体体对角线的中点.球心到截面ABC的距离为球的半径减去正三棱锥
ABC面ABC上的高.已知球的半径为
，所以正方体的棱长为2，可求得正三棱锥
ABC面ABC上的高为
，所以球心到截面ABC的距离为
.
6.[13年四校联考]已知四面体
的外接球的球心
在
上，且
平面
，
， 若四面体
的体积
为
，则该球的体积为_____________；
7.[13年沈阳市一模]三棱锥
的外接球为球
，球
的直径是
，且
、
都是边长为1的等边三角形，则三棱锥
的体积是（ A ）
A．
B．
C．
D．
8. [2012·课标全国卷]已知三棱锥
的所有顶点都在球
的球面上，△
是边长为
的正三角形，
为球
的直径，且
，则此棱锥的体积为（ ）
A.
B.
C.
D.
A【解析】△
的外接圆的半径
，点
到面
的距离
,
为球
的直径
点
到面
的距离为
,此棱锥的体积为
9.在球O的内接四面体ABCD中，DA⊥DC,DB⊥DC,∠ADB=120。，且DC=
,DA=DB=1,则A,B两点的球面距离为
也可改为求球的半径
球面距离为
10.设A,B,C,D是半径为2的球面上的四个不同的点，且满足
,用S1,S2,S3分别表示⊿ABC,⊿ABD,⊿ACD的面积，则S1+S2+S3的最大值是 8
11.半径为R的球的内部装有四个相同半径的小球（小球半径为r），则小球半径r的最大值为（ D ）
A.
B.
C.
D.
球心成正四面体
12.棱长为
的正四面体内切一球，然后在正四面体和该球形成的空隙处各放入一个小球，则这些球的最大半径为
上面又切出来一个小的正四面体
13.四面体的一条棱长为x，其余棱长均为3，当该四面体体积最大时，其外接球的表面积为
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