方阵问题(一)

方阵问题(一) www.xkb1.com 新课标第一网不用注册，免费下载！ 学生排队，士兵列队，横着排叫做行，竖着排叫做列.如果行数与列数都相等，则正好排成一个正方形，这种图形就叫方队，也叫做 方阵（亦叫乘方问题）。 方阵的基本特点是： ? 方阵不论在哪一层，每边上的人（或物）数量都相同.每向里一层，每边上的人数就少2。 ? 每边人（或物）数和四周人（或物）数的关系： 四周人（或物）数=[每边人（或物）数-1]×4； 每边人（或物）数=四周人（或物）数?4＋1。 ? 中实方阵总人（或物）数=每边人（或物）数×每边人（或物） 数。 例1：有一条公路长900米，在公路的一侧从头到尾每隔10米栽一根电线杆，可栽多少根电线杆？ 分析：要以两棵电线杆之间的距离作为分段标准.公路全长可分成若干段.由于公路的两端都要求栽杆，所以电线杆的根数比分成的 段数多1。 解：以10米为一段，公路全长可以分成 www.xkb1.com 新课标第一网不用注册，免费下载！ 900?10＝90（段）共需电线杆根数：90+1=91（根） www.xkb1.com 新课标第一网不用注册，免费下载！ 1. 四年级同学参加广播体操比赛，要排列成每行11人，共11行的方阵。这个方阵里有多少同学？ 2. 用棋子排成一个6×6的正方形，共需用棋子多少枚？ 3. 有1764棵树苗，准备在一块正方形的苗圃（实心方阵）里栽培。 这个正方形苗圃的每边要栽多少棵树苗？ 4. 576人排成一个实心方阵，这个方阵每边多少人？ 5. 棋子若干只，恰好可以排成每边6只的正方形，棋子的总数是多 少？棋子最外层有多少？ 6. 在大楼的正方形平顶四周装彩灯，四个角都装一盏，每边装25盏，四周共装彩灯多少盏？ www.xkb1.com 新课标第一网不用注册，免费下载！ www.xkb1.com 新课标第一网不用注册，免费下载！ 例3：某校五年级学生排成一个方阵，最外一层的人数为60人。问方阵外层每边有多少人？这个方阵共有五年级学生多少人？ 分析：根据四周人数和每边人数的关系可以知： 每边人数=四周人数?4+1，可以求出方阵最外层每边人数，那么 整个方阵队列的总人数就可以求了。 解：方阵最外层每边人数：60?4＋1=16（人） 整个方阵共有学生人数：16×16=256（人） 答：方阵最外层每边有16人，此方阵中共有256人。 例4：晶晶用围棋子摆成一个三层空心方阵，最外一层每边有围 棋子14个.晶晶摆这个方阵共用围棋子多少个？ 分析：方阵每向里面一层，每边的个数就减少2个。知道最外面一层每边放14个，就可以求第二层及第三层每边个数。知道各层每 边的个数，就可以求出各层总数。 解：最外边一层棋子个数：（14-1）×4=52（个） 第二层棋子个数：（14-2-1）×4=44（个） 第三层棋子个数：（14-2×2-1）×4=36（个） 摆这个方阵共用棋子：52+44＋36＝132（个） www.xkb1.com 新课标第一网不用注册，免费下载！ 1. 有16个学生站在正方形场地的四周，四个角上都站1人，如果每边站的人数相等，那么每边站几个学生？ 2. 有一个正方形池塘，四个角上都栽1棵树，如果每边栽6棵，四边一共栽多少棵树？ 3. 有100个少先队员参加广播操比赛，十人一行，排成了一个 正方形队。这个正方形四周站了多少个少先队员？ 4. 在一块正方形场地的四周竖电线杆，四个角上都竖1根，一共竖28根，正方形场地每边竖多少根电线杆？ 5. 某会议室的天棚是正方形，准备在天棚四周每边安装8灯（包 www.xkb1.com 新课标第一网不用注册，免费下载！ 括四个角上都安装1盏），四周一共安装多少盏灯？ www.xkb1.com 新课标第一网不用注册，免费下载！ 我们已经会计算长方形和正方形的周长了，但对于一些不是长方 形、正方形而是多边形的图形，怎样求它的周长呢？可以把求多边形 的周长转化为求长方形和正方形的周长。 例1：如图13—1所示，求这个多边形的周长是多少厘米？ 分析：要求这个多边形的周长，也就是求线段AB＋BC＋CD＋DE＋EF+FA的和是多少，而在这六条线段中，只有AB和BC这两条线段的长度是已知的，其余四条线段的长度均是未知的.当然，这个多边形的周长还是可以求的.用一个大正方形把这个图形圈起来，如图 13—2所示，这个大正方形是ABCG.把线段EF水平向上移动，移到 CG边上，这样CD＋EF的长度正好与AB的长度相等.同样把竖直方向上的DE边向左移动，移到AG边上，这样AF＋DE的长度正好与BC边的长度相等.这样虽然CD、DE、EF、FA这四条线段的长度不知道， 但这四条线段的长度和我们可以求出来，这样求这个多边形的周长就 www.xkb1.com 新课标第一网不用注册，免费下载！ 转化为求一个正方形的周长。 www.xkb1.com 新课标第一网不用注册，免费下载！ 1. 下图的周长与长＿＿厘米，宽＿＿厘米的长方形周长相同， 所以它的周长为＿＿厘米（单位：厘米）。 2. 下图的周长可以看成一个长由＿＿个1厘米的小线段组成，宽由＿＿个1厘米的小线段成的长方形的周长，所以它的周长是＿＿ ＿厘米。 3. 求下列各图形的周长（单位：厘米）。 ?周长为＿＿厘米。 ?周长为＿＿＿厘米（围成图形的小线段长l厘米）。 www.xkb1.com 新课标第一网不用注册，免费下载！ www.xkb1.com 新课标第一网不用注册，免费下载！ 例2.把长2厘米宽1厘米的长方形一层、两层、三层地摆下去， 摆完第十五层，这个图形的周长是多少厘米？ 分析：先观察图13—3，第一层有一个长方形，第二层有两个长 方形，第三层有三个长方形„„找到规律，第十五层有十五个长方形.同样，用一个大长方形把这个图形圈起来.因此求这个多边形的周长 就转化为求一个长为2×15=30（厘米）、宽为1×15＝15（厘米）的长方形周长。 解：（2×15＋1×15）×2 =45×2＝90（厘米） 答：这个图形的周长为90厘米。 www.xkb1.com 新课标第一网不用注册，免费下载！ 1. 求下列各图形的周长（单位：厘米）。 ?周长为多少厘米。 ?周长为多少厘米（每条小线段长度都是1厘米）？ 2. 用9个边长为2厘米的小正方形摆成下图形状，它的周长为 多少厘米？ 4. 街心公园有一块草坪（如下图），图上所标数字是线段的米数。 在草坪四周从某顶点开始每2米种一棵月季花，一共需种＿＿＿棵。 www.xkb1.com 新课标第一网不用注册，免费下载！ www.xkb1.com 新课标第一网不用注册，免费下载！ 在有些问题中，条件和结论中不出现任何数和数字，也不出现任 何图形，因而，它既不是一个算术问题，也不是一个几何问题。 也有这样的题目， 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 面看来是一个算术或几何问题，但在解决它 们的过程中却很少用到算术或几何知识。 所有这些问题的解决，需要我们深入地理解条件和结论，分析关 键所在，找到突破口，由此入手，进行有根有据的推理，做出正确的 判断，最终找到问题的答案。这类问题我们称它为逻辑推理。 例1.一桩谋杀案中，两个嫌疑犯甲和乙。另有四个证人正在受 到讯问。第一个证人说：“我只知道甲是无罪的。”第二个证人说：“我 只知道乙是无罪的。”第三个证人说：“前面两个证词中至少有一个是 真的。”第四个证人说：“我可以肯定第三个证人的证词是假的。”通 过调查研究，已证实第四个证人说了实话，请你分析一下，凶手是谁？ 分析与解：题目中条件较多，且四个人的证词有真有假，在这种 情况下，要善于抓住关键，由此入手进行有根有据的逐步推理。本题 的关键是：第四个人说了实话。 因为第四个人说了实话，所以第三个人的证词是伪证，也就是说 “前两个证词中至少有一个是真的”是句假话。由此可以断定，第一 www.xkb1.com 新课标第一网不用注册，免费下载！ 个和第二个证人都说了假话。从而判断出甲和乙都是凶手。 www.xkb1.com 新课标第一网不用注册，免费下载！ 1. 有甲、乙两同学，其中一个人有奇数根铅笔，一个人有偶数 根铅笔。如果再给甲原有的铅笔数，再给乙原有铅笔数的2倍，他们俩共有铅笔数为偶数。那么，甲同学原有铅笔数是＿＿。 2. 有甲、乙、丙、丁、戊五位同学，其中丙同学比丁同学高， 比戊同学矮；丁同学比乙同学高；戊同学比甲同学矮。则最高的同学 是＿＿，最矮的同学是＿＿。 3. 有四种树的照片，它们是桃树、杏树、李树、梨树，生物老 师将照片从1到4编了号，让同学们区分四种树，每人说出两个，学 生回答如下；第一个学生：2号是桃树，3号是李树；第二个学生：1号是梨树，2号是杏树；第三个学生：2号是桃树，4号是梨树；第四个学生：4号是梨树d号是李树。老师发现这四个同学都只说对了 www.xkb1.com 新课标第一网不用注册，免费下载！ 一半，那么，1号是＿＿，2号是＿＿，3号是＿＿，4号是＿＿。 www.xkb1.com 新课标第一网不用注册，免费下载！ 电工买回一批日光灯，在灯座上逐一试一遍，结果全部日光灯都 是好的。像这样将事物一个一个全部列举出来的方法就是枚举法。 问题.小明有1个5分币，4个2分币，8个1分币，要拿出8分钱，你能找出几种拿法？ 分析为了不重复、不遗漏地找出所有可能的拿法，“找”就要按 照一定的规则进行。 先找只拿一种硬币的拿法，有两种： ?1＋1＋1＋1＋1＋1＋1＋1＝8（分）； ?2＋2＋2＋2＝8（分）。 再找拿两种不同硬币的拿法，有四种： ?1＋1＋1＋1＋1＋1＋2＝8（分）； ?1＋1＋1＋1＋2＋2＝8（分）； ?1＋1＋2＋2＋2＝8（分）； ?1＋1＋1＋5＝8（分）。 最后找拿三种不同硬币的拿法，只有一种： ?1＋2＋5＝8（分）。由此可见，共有7种不同的拿法。 在上面用枚举法寻找可能拿法的过程中，我们对全部拿法作了适 www.xkb1.com 新课标第一网不用注册，免费下载！ 当分类。合理分类是枚举法解题中力求又快又省的技巧。 www.xkb1.com 新课标第一网不用注册，免费下载！ 1. 用2、5、8三个数字可以组成几个不同的三位数？其中最大 的三位数是什么？最小的三位数是什么？ 2. 用0、l、3、6可以组成多少个四位数？ 3. 有四张卡片分别写有数字0.l、2、3，从中取出2张卡片并排放在一起，可以组成多少个两位数？ 4. 用两个1、一个2、一个3可以组成种种不同的四位数，这些 四位数一共有多少个？ www.xkb1.com 新课标第一网不用注册，免费下载！ 5. 在两位整数中，十位数字大于个位数字的共有几个？ 问题1.假设有A、B、C三个城市，从A到C必须经过B．已知从A到B可以坐汽车或坐火车到达，而从B到C则可以坐汽车或坐火车 或坐飞机到达．问：从A到C可以有多少种不同的旅行方式？ 分析 从A到C（A?C）可分两个阶段进行：第一阶段，从A到B（A?B）；第二阶段，从B到C（B?C），按照第一阶段使用的交通工 具不同可以分为两类： A?B B?C A? 所以，从A到C共有2×3＝6种不同的旅行方式。 上述解法中的图示叫做枝形图（图44—1），在解不太复杂的计 数问题中很有用。 www.xkb1.com 新课标第一网不用注册，免费下载！ 1. 有五顶不同的帽子，两件不同的上衣，三条不同的裤子，从 中取出一顶帽子、一件上衣、一条裤子配成一套装束。问：最多有多 少种不同的装束？ 2. 从甲地到乙地有2条不同的路可走，从乙地到丙地有4条不同的路可走。问：从甲地到丙地有几条不同的路可走？ 3. 从甲地到乙地可以坐飞机、火车、汽车，从乙地到两地可坐 飞机、火车、汽车、轮船，某人从甲地经乙地到丙地共有几种走法？ 4. 小英从家到学校有三条路可走，从学校到少年之家有四条路 可走，小英从家经过学校到少年之家共有几种走法？ www.xkb1.com 新课标第一网不用注册，免费下载！ 5. 有红、黄、绿、蓝、白五种颜色的铅笔，每两种颜色的铅笔 为一组，最多可以配成不重复的几组？ 求平均数问题是小学学习阶段经常接触的一类典型应用题，如 “求一个班级学生的平均年龄、平均身高、平均分数„„”。 平均数问题包括算术平均数、加权平均数、连续数和求平均 数、调和平均数和基准数求平均数。 解答这类应用题时，主要是弄清楚总数、份数、一份数三量之间 的关系，根据总数除以它相对应的份数，求出一份数，即平均数。 一、算术平均数 例1.用4个同样的杯子装水，水面高度分别是4厘米、5厘米、7厘米和8厘米，这4个杯子水面平均高度是多少厘米？ 分析：求4个杯子水面的平均高度，就相当于把4个杯子里的水合在一起，再平均倒入4个杯子里，看每个杯子里水面的高度。 解：（4＋5+7+8）?4=6（厘米） 答：这4个杯子水面平均高度是6厘米。 www.xkb1.com 新课标第一网不用注册，免费下载！ 1. 机械厂前3天平均每天加工零件1259只，后4天共加工零件5379只，这星期内平均每天加工零件多少只？ 2. 修路队4天修了两段公路，第一段长430米，第二段长250米，平均每天修多少米？ 3. 甲、乙、丙、丁四个队参加田径比赛。甲队得114分，乙队得210分，丙队得186分，丁队得178分。四个队的平均成绩是多少 分？ 4. 东村小学38名少先队员，在校园内和路旁种蓖麻。在路旁 种了190棵，在校园内种的棵数是路旁的3倍。平均每人种蓖麻多少 棵？ www.xkb1.com 新课标第一网不用注册，免费下载！ www.xkb1.com 新课标第一网不用注册，免费下载！ 二、加权平均数 例3.果品店把2千克酥糖，3千克水果糖，5千克奶糖混合成什 锦糖.已知酥糖每千克4.40元，水果糖每千克4.20元，奶糖每千克 7.20元.问：什锦糖每千克多少元？ 分析：要求混合后的什锦糖每千克的价钱，必须知道混合后的总 钱数和与总钱数相对应的总千克数。 解：?什锦糖的总价：4.40×2+4.20×3+7.20×5＝57.4（元） ?什锦糖的总千克数：2＋3＋5＝10（千克） ?什锦糖的单价：57.4?10=5.74（元） 答：混合后的什锦糖每千克5.74元。 我们把上述这种平均数问题叫做“加权平均数”.例3中的5.74元叫做4.40元、4.20元、7.20元的加权平均数.2千克、3千克、5千克这三个数很重要，对什锦糖的单价产生不同影响，有权衡轻重的 作用，所以这样的数叫做“权数”。 www.xkb1.com 新课标第一网不用注册，免费下载！ 1. A、B、C三人储蓄，A储了1240元，B比A少储70元，C比B多储50元。求A、B、C三人平均储蓄额。 2. 甲、乙二数的平均数是72，丙是18。甲、乙、丙三个数的平 均数是多少？ 3. 甲、乙的平均数是30，乙、丙的平均数是34，甲、丙的平均数是32。求甲、乙、而三个数的平均数。 4. 有A、B、C三个数，A与B的平均数是97，B与C的平均数为132，A与C的平均数为125。问：这三个数的平均数是多少？ 5. 小刚参加我学考试，前两次的平均分数是85分，后三次的平 www.xkb1.com 新课标第一网不用注册，免费下载！ 均分数是90分。小刚前后几次考试的平均分数是多少？ www.xkb1.com 新课标第一网不用注册，免费下载！ 转化法指的是从不同的角度和不同的侧面去分析题目中的数量 关系，有的题可以对题中的某些条件进行必要的调整，使这些条件重 新组合，解答起来，往往容易一些。 例1 学校买了10盒白粉笔和4盘彩粉笔共花了32元，每盒彩粉笔的价钱是白粉笔的2.5倍，每盒白粉笔、彩粉笔各多少钱？ 分析：依题意，用买1盒彩粉笔的钱可以买2.5盒白粉笔，那么，买4盒彩粉笔的钱就可以买4×2.5=10（盒）白粉笔。因此，可以理 解为花32元买了10+4×2.5=20（盒）白粉笔，这样，就可以求出1盘白粉笔的价格。 解：（1）4盒彩粉笔能换成几盒白粉笔？ 4×2.5=10（盒） （2）白粉笔每盒多少元？ 32?（10+10）=32?20=1.6（元） （3）彩粉笔每盒多少钱？ 1.6×2.5=4（元） 答：白粉笔每盒1.6元，彩粉笔每盒4元。 www.xkb1.com 新课标第一网不用注册，免费下载！ 1. 买一块橡皮和4支铅笔一共用去2角7分，买同样的一块橡 皮和2支铅笔的价钱是1角5分，一块橡皮和一支铅笔各多少钱？ 2. 甲班用4元2角钱买了4支铅笔，3支圆珠笔；乙班用10元2角钱买了4支铅笔和8支圆珠笔。问：铅笔、圆珠笔的单价各是多 少元？ 3. 妈妈买6米白布，8米花布.用去21元3角钱，王大妈买同 样的白布6米，同样的花布6米，用去18元钱。问：每米白布和每 米花布各多少钱？ 4. 妈妈买2千克糖果和1千克饼干，共付7元2角，如果买1千克糖果和2千克饼干得付6元，糖果和饼干每千克多少钱？ 5. 小明买6本《红岩》、5本《新华字典》共用7元2角；小刚买5本《红岩》、6本《新华宇典》共用7元1角。《红岩》和《新华 www.xkb1.com 新课标第一网不用注册，免费下载！ 字典》每本售价各多少元？ www.xkb1.com 新课标第一网不用注册，免费下载！ 例1.从图2-2中你能称出一只菠萝等于几只桃子的重量？ 这样想：根据（1）、（2），可推出1个梨的重量等于2支香蕉的重量；然后把（3）中的一个梨替换成2支香蕉，这样，（3）中就相当于1个菠萝等于2个桃子和3支香蕉的重量，又回想到（2）中1个菠萝等于4支香蕉的重量，因此，2个桃子实际上是1支香蕉的重量，可推得1个菠萝等于8个桃子的重量。 例2.1头象的重量等于4头牛的重量，1头牛的重量又等于3匹小马的重量，而1匹小马的重量刚好与4头小猪的重量相同，那么1头象的重量等于几头小猪的重量。 这样想：1匹小马刚好是4头小猪的重量，那么3匹小马等于12头小猪的重量，又1头牛相当于3匹小马的重量，也就是12头小猪的重量，因此4头牛等于48头小猪的重量，也就是1头象的重量等于48头小猪的重量。 www.xkb1.com 新课标第一网不用注册，免费下载！ www.xkb1.com 新课标第一网不用注册，免费下载！ 1. 美术小组第一天买了3盒彩笔和1支毛笔，付款4元4角4分，第二天又买同样的5盒彩笔和3支毛笔，付款7元9角6分。求每盒彩笔和每支毛笔的价钱？ 2. 学校第一次买3只篮球，4只排球用了354元，第二次买2只篮球，3只排球用了252元。问：篮球与排球的单价各是多少元？ 3. 甲求乙代买5千克酒、3千克酱油，按售价交给乙6.45元。乙误买为3千克酒、5千克酱油.结果拿回2.10元，问每千克酒、酱油各 多少元？ 4. 王老师带了30元钱去文具店买钢笔和圆珠笔。他买了3支钢笔和5支圆珠笔后，剩下的钱再买2支圆珠笔还差4角.再买2支钢笔还差2元。每支钢笔多少元？ www.xkb1.com 新课标第一网不用注册，免费下载！ 例1.甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行。如果两 人都按原定速度行进，那么4小时相遇；现在两人都比原计划每小时 少走1千米，那么5小时相遇。A、B两地相距多少千米？ 分析：可以想象，如果甲、乙两人以现在的速度（比原计划每小 时少走1千米）仍然走4小时，那么他们不能相遇，而是相隔一段路。 这段路的长度是多少呢？就是两人4小时一共比原来少行的路。由于 以现在的速度行走，他们5小时相遇，换句话说，再行1小时，他们恰好共同行完这段相隔的路。这样，就能求出他们现在的速度和了。 解：1×4×2?（5-4）×5=40（千米） 这道题属于相遇问题，它的基本关系式是：速度和×时间=（相隔的）路程。但只有符合“同时出发，相向而行，经过相同时间相遇” 这样的特点才能运用上面的关系式。不过，当出现“不同时出发”或 “没有相遇（而是还相隔一段路）”的情况时，应该通过转化条件， 然后应用上面的关系式。 www.xkb1.com 新课标第一网不用注册，免费下载！ 1. 一列火车平均每小时行用千米，这列火车从甲地到乙地共用 了4小时，问：甲、乙两地相距多少千米？ 2. 一辆汽车5小时行了280千米，这辆汽车平均每小时行多少 千米？ 3. 小明家到学校1800米，小明早晨上学，平均每分钟走120米，问：小明从家到学校一共用多少分钟？ 4. 甲、乙两人同时从东西两村出发相向而行，甲每分钟走85米，乙每分钟走90米,18分钟后两人相遇。东西两村相距多少米？ 5. 甲、乙两列火车同时从两地相向而行，甲车每小时行55千米， www.xkb1.com 新课标第一网不用注册，免费下载！ 乙车每小时行60千米，4小时后两车相遇。两地相距多少千米？ www.xkb1.com 新课标第一网不用注册，免费下载！ 小王、小张步行的速度分别是每小时4.8千米和 5.4千米。小李骑车的速度为每小时10.8千米。小王、小张从甲地到乙地，小 李从乙地到甲地，他们三人同时出发，在小张与小李相遇5分钟后，小王又与小李相遇。小李骑车从乙地到甲地需多长时间？ 为便于分析，画出线段图36-1： 图中C点表示小张与小李相遇地点，D点表示他们相遇时小王所 在地点。根据题意，小王从D点、小李从C点同时出发，相向而行， 经过5分钟相遇。因此，DC的长为 这段长度也是相同时间内，小张比小王多行的路程。这里的“相 同时间”指从三人同时出发到小张与小李相遇所经过的时间。这段时 间为 1.3?（5.4-4.8）×60=130（分） 这就是说，小张行完AC这段路（也就是小李行完CB这段路）用了130分钟，而小李的速度是小张速度的2（=10.8?5.4）倍，所以 小李行完AC这段路只需小张的一半时间（65分）。 www.xkb1.com 新课标第一网不用注册，免费下载！ 1. 东西两地相距500千米，甲、乙两车同时从两地相向出发， 甲车每小时行45千米，乙车每小时行55千米。甲、乙两车几小时后 才能相遇？ 2. 甲站到乙站相距1100千米，两列火车同时从两地相向开 出,10小时相遇，快车每小时行用千米，慢车每小时行多少千米？ 3. 甲、乙两人同时从相距54千米的两地相向而行，甲的速度是 每小时5千米，乙的速度是每小时4千米，几个时后两人相遇？ 4. 甲、乙两工程队合修一条长935米的公路，甲队以每天45米的速度由西端往东修，乙队以每天40米的速度由东端往西修，6天后两队相距多远？此工程共需多少天？ www.xkb1.com 新课标第一网不用注册，免费下载！ 数字谜是一类非常有趣的数学问题，在小学数学竞赛中经常出现.解这类问题必须认真审题，根据题目的特点，找出突破口，从而逐步 简化题目直至问题完全解决. 问题16.1 在下面这个算式中，不同的文字代表不同的数字，相 同的文字代表相同的数字.它们各代表什么数字时，算式才能成立？ 分析（1）从“明”字入手.算式中“明+明=明”是本题的突破口.因为在0～9这十个数字中，只有0+0=0，所以：明=0.即 （2）因为两个最大的一位数相加是18，只能向高位进1.因此：分=1.即 （3）再由“是+是=10”可知：是=5.即 （4）由“1+就=5”可知：就=4.即 （5）由“非+非= 4”可知：非= 2.即 www.xkb1.com 新课标第一网不用注册，免费下载！ www.xkb1.com 新课标第一网不用注册，免费下载！