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数列题型之数列与函数交汇的综合题
四、数列与函数交汇的综合题
44(1)(1)xx,,,例27 已知函数()。 fx(),x,044(1)(1)xx,,,
(?)若且,则称为的实不动点,求的实不动点; fx()fx()fxx(),x,Rx
,a,2(错误~未找到引用源。II)在数列中,,afa,()(),求数列n,N{}a1nn,1n
的通项公式。 {}an
42xx,,61解:(?)由及得 fx(),fxx(),344xx,
421xx,,612422或(舍去), x,,,,,,,,,xxxx321013344xx,
,1fx()所以或,即的实不动点为或; x,1x,1x,,1(错误~未找到引用源。II)由条件得
4444,,(1)(1)1(1)1aaaaa,,,,,,nnnnn,1,从而有 a,,,,,,n,1444(1)(1)1(1)1aaaaa,,,,,,nnnnn,1,,
aa,,11nn,1ln4ln,, aa,,11nn,1
,,a,1a,11nlnln30,,4由此及知:数列是首项为,公比为的等比数列,故有 ln3ln,,a,1a,11n,,
n,14n,1aa,,1131,n,14,nnln4ln33,,,,,an,N()。 n,1n4aa,,1131,nn
2fxfxfxxf()()0,()2(1)1符合且恒成立,,,,例28 二次函数
f(0)fx() (1)求并求的解析式;
fffn(1)(2)()1lim.S (2)若bnS前项和.求数列并求 ab,,,,,,,,,nnnnnn,,12nan
cfccTccc,,,,,,(),2,...,且记 (3)若求符合最小自然数n( T,2008nnnn,1112n
2f(0)0, 又:ff(0)200(0)0,,,?, .解:(1)
22fxaxbxxbfxax()00(),,,,?, 对称轴即
2fafxx(1)11(),?,?, 又
22221112(1)nnn,b,,,2()(2)an,,,,,,,,,12 nnnnnn(1)1,,122n
11,,limlim2(1)2.S,,, S,,2(1);nn,,,,,,nnn,1n,1,,
n,122?,C2(3) CC,()C,2. nnn,11
nnn,,1112482(1242)(21),,,,, ?,,,,,,,T22222222008n
,,?,nn4,4min
1例29 已知函数,点,是函数图像上的两个点,,,,,,,,,Px,yPx,yfx,x,R,,fx111222x4,2
1P且线段的中点的横坐标为( PP122
P?求证:点的纵坐标是定值;
n,,?若数列的通项公式为,求数列的前m项的和,,a,f,,m,N,n,1,2,?,m,,aa,,nnnm,,
; Sm
1解:?由题可知:,所以, x,x,2,,1122
xx1211444,,,,,,,,yyf,,,,xfx1212xxxx12124,24,2,,,,4,24,2 xxxx12124,4,44,4,41,,,x,xxxxx1212122,,,,424442444,,,,,
y,y112P 点的纵坐标是定值,问题得证( y,,P24
nm,n1,,,,f,f,?由?可知:对任意自然数m,n,恒成立( ,,,,mm2,,,,
m,m,m1221,,,,,,,,,,S,f,f,,f,f,f 由于,故可考虑利用倒写求和的方?,,,,,,,,,,mmmmmm,,,,,,,,,,
m,m,m1221,,,,,,,,,,S,f,f,,f,f,f?,,,,,,,,,,mmmmmm,,,,,,,,,,法(即由于: mm,m,1221,,,,,,,,,,,f,f,f,,f,f?,,,,,,,,,,mmmmm,,,,,,,,,,,,,,,,1m,12m,2m,11m,,,,,,,,,,,,,,2S,f,f,f,f,,f,f,2f?,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,mmmmmmmm,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,所以,
11,,,m,1,2f(1),3m,1,,26
1所以,,,S,3m,1m 12
f(0),12*n例30 设f(x)=,定义f (x)= f,f(x),,a=(n?N). 1n+11nn f(0),21,xn(1) 求数列,a,的通项公式; n
24n,n*(2) 若,Q=(n?N),试比较9T与 T,a,2a,3a,?,2nan2n2n1232n24n,4n,1Q的大小,并说明理由. n
212,1解:(1)?f(0)=2,a==,f(0)= f,f(0),=, 11n+11n1,f(0)42,2n
2,11,f(0)f(0),1f(0),11,f(0)11nn,1nn?a==== -= -a. n+1n2f(0),24,2f(0)f(0),222n,1nn,21,f(0)n
1111n,1?数列,a,是首项为,公比为-的等比数列,?a=(,). nn4242(2)?T= a+2a+3a+…+(2n-1)a+2na, 2 n 1 2 3 2 n,1 2 n
111111(,),?T= (-a)+(-)2a+(-)3a+…+(-)(2n-1)a+2na ,2 n1 2 32 n12 n222222
= a+2a+…+(2n,1)a,na. 2 32 n2 n
3两式相减,得T= a+a+a+…+a+na. 2 n12 32 n2 n2
11,,2n,,1(),,311111n142,,2n,12n2n,1?T=+n×(-)=-(-)+(-). 2n 124266242,12
n111n113,12n2n,1T=-(-)+(-)=(1-). 2n 2n9926292
n3,19T=1-. ?2n2n2
3n,1又Q=1-, n2(2n,1)
2 n2当n=1时,2= 4,(2n+1)=9,?9T,Q ; 2 nn
2 n2当n=2时,2=16,(2n+1)=25,?9T,Q; 2 nn
2nn2013n222,[(1,1)],(C,C,C,?,C),(2n,1)当n?3时,, nnnn?9T,Q . 2 nn
00()x,,
例31 已知函数,数列fx(),,
满足 {}aafnnN,,()(*)nnnxnfnnxnnN[()]()(*),,,,,,,,111,
,
(I)求数列的通项公式; {}an
(II)设x轴、直线xa,与函数的图象所围成的封闭图形的面积为yfx,()
,求; Saa()(),0SnSnnN()()(*),,,1
(III)在集合,且中,是否存在正整数N,MNNkkZ,,,{|2,10001500,,k}使得不等式对一切nN,恒成立,若存在,则这样的正整数NaSnSn,,,,10051()()n
共有多少个,并求出满足条件的最小的正整数N;若不存在,请说明理由。
n (IV)请构造一个与有关的数列,使得存在,并求出{}a{}blim()bbb,,,?nn12n,,这个极限值。
解:(I)?nN,* ?,,,,,,,,fnnnnfnnfn()[()]()()111
?,,,fnfnn()()1
?,,ff()()101
ff()()212,,
ff()()323,,
……
fnfnn()(),,,1
nn(),1 将这n个式子相加,得
fnfn()(),,,,,,,0123?
?f()00,2
nn(),1?,fn()
2nn,
()1 ?,anN, n(*)
n,1 (II)SnSn()(),,1为一直角梯形(时为直角三角形)的面积,该梯形的两底
2aa,fnfn()(),,1fnfn()(),1,边的长分别为,高为1
nn,1 ?,,,SnSn()()1,,1
22
21nnnnn()(),1,1 ,[,],2222
(III)设满足条件的正整数N存在,则
2nnnn(),1 ,,,,,,100510052010n222
又 M,{}200020022008201020122998,,,,,,,??
均满足条件 ?,N201020122998,,……,
它们构成首项为2010,公差为2的等差数列。
设共有m个满足条件的正整数N,则,解得 m,4952010212998,,,()m
?M中满足条件的正整数N存在,共有495个, N,2010min
211
1 (IV)设,即b,,,2() b,nnan
nnnn(),1,1
11111111 则bbb,,,,,,,,,,,,??21[()()()()](),,21 112n22334nnn,1,1
n显然,其极限存在,并且 lim()lim[]bbb,,,,,?2,212n,,,,n
n,1
例32 函数的定义域为R,且
(?)求证:;
(?)若上的最小值为,试求f(x)的解析式;
(?)在(?)的条件下记试比较与
的大小并证明你的结论(
解:(?)?f(x)定义域为R,
(?)由(?)知f(x)在[0,1]上为增函数,
(?)
[a,b]x,[a,b]f(x),kx,m,当x,[a,b] 例33 已知函数时,f(x)的值域为,当 222211
x,[a,b]f(x)f(x)时,的值域为,依次类推,一般地,当时,的值域[a,b]n,1n,133
为
[a,b]a,0,b,1.,其中k、m为常数,且 nn11
{a},{b} (1)若k=1,求数列的通项公式; nn
(2)项m=2,问是否存在常数,使得数列满足若存在,求k的k,0limb,4?{b}nnn,,
值;若不存在,请说明理由;
{a},{b}(3)若,设数列的前n项和分别为S,T,求[来源:学&科&网] k,0nnnn
(T,T,?,T),(S,S,?,S) 。 122010122010
f(x),x,m,当x,[a,b]时,f(x)为单调增函数,解:(1)因为 n,1n,1
[a,m,b,m]所以其值域为 n,1n,1
*a,a,m,b,b,m(n,N,n,2)于是 nn,nn,11
a,0,b,1,所以a,(n,1)m,b,1,(n,1)m.又 11nn
f(x),x,mf(x),kx,m(k,0),当x,[a,b]时,f(x)为单调增函数 (2)因为 n,1n,1
f(x)的值域为[ka,m,kb,m],因m,2,则b,kb,2(n,2)所以……8分 n,1n,1nn,1法一:假设存在常数,使得数列,k,0{b}满足limb,4,则limb,klimb,2nnnn,1n,,n,,n,,
14,4k,2,则k,得符合。 2
法二:假设存在常数k,0,使得数列满足 limb,4.{b}nnn,,
当k=1不符合。……9分
22当, k,1时,b,kb,2(n,2),b,,k(b,)(n,2)nn,1nn,1k,1k,1
22n,1b,,k,则 (1),nk,k,11
21当 0,k,1时,limb,,4,得k,符合.n,,n1,k2
k,0,当x,[a,b]时,f(x)为单调减函数, (3)因为 n,1n,1
[kb,m,ka,m]所以f(x)的值域为 n,1n,1
*a,kb,m,b,ka,m(n,N,n,2)于是 nn,nn,11
b,a,,k(b,a)则 nnn,1n,1
b,a,1又 11
i,(k,,1),,i则有T,S, ,1,(,k)ii,(k,0,k,,1),1,k,
进而有
2021055,(,,1)k,
,2011(T,T,?,T),(S,S,?,S),2010,2011k,k,122010122010kk,(,0,,,1)2,(1,k),
…………18分
123x,{a}afa,,(),1n,2,n,N例34已知:函数,数列对总有; fx(),nn1a3xn,1
a(1)求{}的通项公式。 n
n,1Saaaaaaaaaa,,,,,,,(1)(2) 求和: nnn122334451,
11{b}{b}{b}{}{}(3)若数列满足:?为的子数列(即中的每一项都是的项,且按nnnaann11{b}{}在中的顺序排列)?为无穷等比数列,它的各项和为。这样的数列是否存在,na2n
{b}若存在,求出所有符合条件的数列,写出它的通项公式,并证明你的结论;若不存在,n
说明理由。
23,23,aa1223x,nn,,11,,,,,()afa解(1)由,又 分 fx(),2nn,1333a3xn,1
an,1
221n,*{a}a,1()nN,所以,是以为首项,为公差的等差数列,即分 a,4n1n33
4n(2)当为偶数, aaaaaaadaa,,,,,,,()2nnnnnnnnn,,,,11113
aa,4422n22n所以 分 Saaann,,,,,,,,,()6nn24332293
n当为奇数,则为偶数, n,1
2222123267nnnn,,,,2SSaann,,,,,,,,,(1)(1) 分 8nnnn,,1193339
22,2,,nnn为偶数,,93综上: 分 10S,,n2nn,,267,n为奇数,9,
31331n*bq,,,kpN,,(3)设,公比,则()对任q,,0b,11n2121kmp,,m21k,
*m意的均成立,故是正奇数,又存在,所以 分 nN,12Sm,1
133当时,S,,此时b,,b,,成立 分 m,3131nn,1293
,,121当时,S,,此时故不成立 分 b,,14m,5,,12a5n,,
133S,b,b,时,,此时,,成立 分 m,7151nn277
1814323*S,k,b,当时,,由,得,设,则,又因为kN,,1,,b,m,91128921k,m9
b131b,1S,,q,0k,1,2b,所以,此时或分别代入,得到不合题意分 181112,q5
33{b}b,b,由此,满足条件(3)的只有两个,即或 0分 2nnnn,1n37
112,fx()fx()例35 已知函数~为函数的导函数( fxxx(),,,24,,,afafn,,()()nN,,?,若数列满足:~,,~求数列{}aa,1{}ann,1n1n
的通项, an
,bfb,2()nN,,?,若数列满足:~,,( {}bbb,nn,1n1
1?.当时~数列是否为等差数列,若是~请求出数列的通{}b{}bb,nn2
项,若不是~请说明理由, bn
n112,,b1?.当时~ 求证:( ,,2bb,21,1ii
1,解:(?)fxx()2,,, 2
11, ?,,,,,,,aanan(2)(2)221nnn,122
anan,,,,,,2(1)12(21)即( nn,1
a,1{21}an,,42, 数列是首项为,公比为的等比数列( ?1n
n,1n,1,即( ?,,,,an2142an,,,221nn
12bfb,2(),,,bb2(?)(?), ?nn,1nn2
12?,,,bbb2()( nnn,12
11当时,( ?b,b,1222
1假设,则( b,b,bkk,1k2
1由数学归纳法,得出数列为常数数列,是等差数列,其通项为( {}bb,nn2
1122bbb,,,?,,,bbb22()(?), ( nnn,nnn,112211,,b1bb,,?当时,( 12122
11bb,,假设,则 ( b,kk,1k22
1(1,2,3,)n,由数学归纳法,得出数列( b,n2
11bbb,,,又, 2()nnn,122
111, ?,,11bbb,,nnn,122
111即( ,,11bbb,,nnn,122
nn11111( ?,,,,(),,1111bbbbb,,,,i,1,1ii,1n,112222ii
1b,, n,12
n112?,,( ,1bbb,,21i1,i12
'fx()nk,1knnkN,,(,)例36 已知,其中, ,fxx(),,fx(),0kf(1)k,1
021222knFxCfxCfxCfxCfx()()()...()...(),,,,,,设,. x,,1,1,,nnnknn01
(I) 写出; f(1)k
n,1(II) 证明:对任意的,恒有. xx,1,1,,FxFxnn()()2(2)1,,,,,,,1212
nk,fnk(1)1,,,【解析】(I)由已知推得,从而有 fxnkx()(1),,,kk
(II) 证法1:当时, ,,,11x
212(1)22(2)2()12nnnknkn,,,,FxxnCxnCxnkCxCx()(1)...(1)...21,,,,,,,,,, nnnn
,Fx()Fx()0,当x>0时, ,所以在[0,1]上为增函数
Fx()Fx()因函数为偶函数所以在[-1,0]上为减函数
所以对任意的 xx,1,1,,FxFxFF()()(1)(0),,,,,1212
0121kn,FFCnCnCnkCC(1)(0)(1)...(1)...2,,,,,,,,,,nnnnn nnnk,,,1210,,,,,,,,,nCnCnkCCC(1)...(1)...2nnnnn
nknknk,,,(1)()nkCnkCC,,,,,nnn kk,,,,nCCkn(1,2,31)1nn,
1211210kn,,FFnCCCCCCC(1)(0)(...)(...),,,,,,,,nnnnnnn,,,111 nnn,,11,,,,,,,,nnn(21)212(2)1
因此结论成立.
证法2: 当时, ,,,11x
212(1)22(2)2()12nnnknkn,,,,FxxnCxnCxnkCxCx()(1)...(1)...21,,,,,,,,,, nnnn
,Fx()当x>0时, Fx()0,,所以在[0,1]上为增函数
Fx()Fx()因函数为偶函数所以在[-1,0]上为减函数 所以对任意的 xx,1,1,,FxFxFF()()(1)(0),,,,,1212
0121kn,FFCnCnCnkCC(1)(0)(1)...(1)...2,,,,,,,,,, nnnnn
12110kn,,FFCCkCnCC(1)(0)23......,,,,,,,,又因 nnnnn
12110kn,,2[(1)(0)](2)[......]2FFnCCCCC,,,,,,,,,所以 nnnnn
n,212110kn,,FFCCCCC(1)(0)[......],,,,,,,,nnnnn2 n,2nn,1,,,,,,,(22)12(2)1nn2
因此结论成立.
证法3: 当时, ,,,11x
212(1)22(2)2()12nnnknkn,,,,FxxnCxnCxnkCxCx()(1)...(1)...21,,,,,,,,,, nnnn
,Fx()Fx()0,当x>0时, ,所以在[0,1]上为增函数
Fx()Fx()因函数为偶函数所以在[-1,0]上为减函数 所以对任意的 xx,1,1,,FxFxFF()()(1)(0),,,,,1212
0121kn,FFCnCnCnkCC(1)(0)(1)...(1)...2,,,,,,,,,, nnnnn
nnnnknkn11221,,,,xxxxCxCxCxCx[(1)][.....1],,,,,,,,nnnn由 121112nnknkn,,,,,,,,,,CxCxCxCxx.....nnnn
对上式两边求导得
nnnnnnknkn,,,,,111221(1)(1)(1)...(1)..21,,,,,,,,,,,,,,xxnxxnxnCxnCxnkCxCxnnnn
22212nnn,Fxxnxxnx()(1)(1),,,,,
nnn,,11?,,,,,,,,,FFnnnn(1)(0)221(2)21
因此结论成立.
1例37已知函数错误~未找到引用源。且任意的错误~未f(x)在(,1,1)上有意义,f(),,1,2找到引用源。、错误~未找到引用源。都有错误~未找到引用源。y,(,1,1)x
x,yf(x),f(y),f(). 1,xy
2x1*n{x}满足x,,x,(n,N),求f(x). (1)若数列错误~未找到引用源。 n1n,1n221,xn
1111,f,f?,f,f (2)求错误~未找到引用源。的值. 1()()()()2n,n,n,511231
2x12n?1,x,2|x|?||,1又x,.解:(1)错误~未找到引用源。 1nn221,xn
x2n错误~未找到引用源。 ?||,12x1,n
1错误~未找到引用源。 f(x),f(),,112
而错误~未找到引用源。
2xx,xnnnf(x),f(),f(),f(x),f(x),2f(x). ,n1nnn21,xx1,xnnn
fx()n,1错误~未找到引用源。错误~未找到引用源。?,2fx()n
n,1?{f(x)}是以,1为首项,以2为公比的等比数列,故f(x),,2 nn
0,0 (2)由题设,有错误~未找到引用源。 f(0),f(0),f(),f(0),故f(0),01,0
x,x又错误~未找到引用源。 x,(,1,1),有f(x),f(,x),f(),f(0),0,21,x
f(,x),,f(x),故知f(x)在(,1,1)得错误~未找到引用源。上为奇函数. 由
11,错误~未找到引用源。错误~未找到引用源。2(k,1)(k,2),1k,3k,1
111,(k,1)(k,2)k,1k,2,, 111,1,(k,1)(k,2)(k,1)(k,2)
得错误~未找到引用源。
11111f,f,f,,f,f ()()()()()2k,k,k,k,k,k,121231
n1111f,f,f,,,f()()()1(). 于是错误~未找到引用源。,2n,n,222k,k,31,1k
1111故错误~未找到引用源。 1,f(),f()?,f(),f(),0.2511n,2n,3n,1