高考数学数列题型之数列与函数交汇的综合题

高考 数学 数学高考答题卡模板高考数学答题卡模板三年级数学混合运算测试卷数学作业设计案例新人教版八年级上数学教学计划 数列题型之数列与函数交汇的综合题 四、数列与函数交汇的综合题 44(1)(1)xx，，,例27 已知函数()。 fx(),x,044(1)(1)xx，,, (?)若且，则称为的实不动点，求的实不动点; fx()fx()fxx(),x,Rx ,a,2(错误～未找到引用源。II)在数列中，，afa,()()，求数列n,N{}a1nn，1n 的通项公式。 {}an 42xx，，61解:(?)由及得 fx(),fxx(),344xx， 421xx，，612422或(舍去)， x,,,,,,,,,xxxx321013344xx， ,1fx()所以或，即的实不动点为或; x,1x,1x,,1(错误～未找到引用源。II)由条件得 4444,,(1)(1)1(1)1aaaaa，，,，，，nnnnn，1，从而有 a,,,,,,n，1444(1)(1)1(1)1aaaaa，,,,,,nnnnn，1,, aa，，11nn，1ln4ln,， aa,,11nn，1 ,,a，1a，11nlnln30,,4由此及知:数列是首项为，公比为的等比数列，故有 ln3ln,,a,1a,11n,, n,14n,1aa，，1131，n,14,nnln4ln33,,,,,an,N()。 n,1n4aa,,1131,nn 2fxfxfxxf()()0,()2(1)1符合且恒成立，,,,例28 二次函数 f(0)fx() (1)求并求的解析式; fffn(1)(2)()1lim.S (2)若bnS前项和.求数列并求 ab,，，，,,,,,nnnnnn,,12nan cfccTccc,,,,,,(),2,...,且记 (3)若求符合最小自然数n( T,2008nnnn，1112n 2f(0)0,　又:ff(0)200(0)0,，,？,　　　.解:(1) 22fxaxbxxbfxax()00(),，,,？,　　对称轴即　 2fafxx(1)11(),？,？,　　　　 又 22221112(1)nnn，b,,,2()(2)an,，，，,，，，,12 nnnnnn(1)1，，122n 11，，limlim2(1)2.S,,, S,,2(1);nn,,,,,,nnn，1n，1，， n,122？,C2(3) CC,()C,2.　　nnn，11 nnn,,1112482(1242)(21)，，，，, ？,,,,,,,T22222222008n ,,？,nn4,4min 1例29 已知函数，点，是函数图像上的两个点，，，，，，，，，Px,yPx,yfx,x,R，，fx111222x4，2 1P且线段的中点的横坐标为( PP122 P?求证:点的纵坐标是定值; n,,?若数列的通项公式为，求数列的前m项的和,,a,f，，m,N,n,1,2,？,m,,aa,,nnnm,, ; Sm 1解:?由题可知:，所以， x，x,2，,1122 xx1211444，，，,，,，,yyf，，，，xfx1212xxxx12124，24，2，，，，4，24，2 xxxx12124，4，44，4，41,,,x，xxxxx1212122，，，，424442444，，，，， y，y112P 点的纵坐标是定值，问题得证( y,,P24 nm,n1,,,,f，f,?由?可知:对任意自然数m,n，恒成立( ,,,,mm2,,,, m,m,m1221,,,,,,,,,,S,f，f，，f，f，f 由于，故可考虑利用倒写求和的方？,,,,,,,,,,mmmmmm,,,,,,,,,, m,m,m1221,,,,,,,,,,S,f，f，，f，f，f？,,,,,,,,,,mmmmmm,,,,,,,,,,法(即由于: mm,m,1221,,,,,,,,,,,f，f，f，，f，f？,,,,,,,,,,mmmmm,,,,,,,,,,，，，，，，1m,12m,2m,11m,,,,,,,,,,,,,,2S,f，f，f，f，，f，f，2f？,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,mmmmmmmm,,,,,,,,,,,,,,，，，，，，所以， 11,，，m,1，2f(1),3m,1，，26 1所以，，，S,3m,1m 12 f(0),12*n例30 设f(x)=，定义f (x)= f,f(x),，a=(n?N). 1n+11nn f(0)，21，xn(1) 求数列,a,的通项公式; n 24n，n*(2) 若，Q=(n?N)，试比较9T与 T,a，2a，3a，？，2nan2n2n1232n24n，4n，1Q的大小，并说明理由. n 212,1解:(1)?f(0)=2，a==，f(0)= f,f(0),=, 11n+11n1，f(0)42，2n 2,11,f(0)f(0),1f(0),11，f(0)11nn，1nn?a==== -= -a. n+1n2f(0)，24，2f(0)f(0)，222n，1nn，21，f(0)n 1111n,1?数列,a,是首项为,公比为-的等比数列，?a=(,). nn4242(2)?T= a+2a+3a+…+(2n-1)a+2na， 2 n 1 2 3 2 n,1 2 n 111111(,),?T= (-a)+(-)2a+(-)3a+…+(-)(2n-1)a+2na ,2 n1 2 32 n12 n222222 = a+2a+…+(2n,1)a,na. 2 32 n2 n 3两式相减，得T= a+a+a+…+a+na. 2 n12 32 n2 n2 11，，2n,,1(),,311111n142，，2n,12n2n,1?T=+n×(-)=-(-)+(-). 2n 124266242，12 n111n113，12n2n,1T=-(-)+(-)=(1-). 2n 2n9926292 n3，19T=1-. ?2n2n2 3n，1又Q=1-， n2(2n，1) 2 n2当n=1时，2= 4,(2n+1)=9,?9T,Q ; 2 nn 2 n2当n=2时，2=16,(2n+1)=25,?9T,Q; 2 nn 2nn2013n222,[(1，1)],(C，C，C，？，C),(2n，1)当n?3时，， nnnn?9T,Q . 2 nn 00()x,, 例31 已知函数，数列fx(),, 满足 {}aafnnN,,()(*)nnnxnfnnxnnN[()]()(*),,，,,,,,111， , (I)求数列的通项公式; {}an (II)设x轴、直线xa,与函数的图象所围成的封闭图形的面积为yfx,() ，求; Saa()(),0SnSnnN()()(*),,,1 (III)在集合，且中，是否存在正整数N，MNNkkZ,,,{|2，10001500,,k}使得不等式对一切nN,恒成立,若存在，则这样的正整数NaSnSn,,,,10051()()n 共有多少个,并求出满足条件的最小的正整数N;若不存在，请说明理由。 n (IV)请构造一个与有关的数列，使得存在，并求出{}a{}blim()bbb，，，？nn12n,,这个极限值。 解:(I)？nN,* ？,,,，,,，,fnnnnfnnfn()[()]()()111 ？,,,fnfnn()()1 ？,,ff()()101 ff()()212,, ff()()323,, …… fnfnn()(),,,1 nn()，1 将这n个式子相加，得 fnfn()(),,，，，，,0123？ ？f()00,2 nn()，1？,fn() 2nn， ()1 ？,anN, n(*) n,1 (II)SnSn()(),,1为一直角梯形(时为直角三角形)的面积，该梯形的两底 2aa，fnfn()(),，1fnfn()(),1，边的长分别为，高为1 nn,1 ？,,,SnSn()()1，,1 22 21nnnnn()(),1，1 ,[，],2222 (III)设满足条件的正整数N存在，则 2nnnn()，1 ,,,,,,100510052010n222 又 M,{}200020022008201020122998，，，，，，，？？ 均满足条件 ？,N201020122998，，……， 它们构成首项为2010，公差为2的等差数列。 设共有m个满足条件的正整数N，则，解得 m,4952010212998，,,()m ？M中满足条件的正整数N存在，共有495个， N,2010min 211 1 (IV)设，即b,,,2() b,nnan nnnn()，1，1 11111111 则bbb，，，,,，,，,，，,？？21[()()()()](),,21 112n22334nnn，1，1 n显然，其极限存在，并且 lim()lim[]bbb，，，,,？2,212n,,,,n n，1 例32 函数的定义域为R，且 (?)求证:; (?)若上的最小值为，试求f(x)的解析式; (?)在(?)的条件下记试比较与 的大小并证明你的结论( 解:(?)?f(x)定义域为R， (?)由(?)知f(x)在[0，1]上为增函数， (?) [a,b]x,[a,b]f(x),kx，m,当x,[a,b] 例33 已知函数时，f(x)的值域为，当 222211 x,[a,b]f(x)f(x)时，的值域为，依次类推，一般地，当时，的值域[a,b]n,1n,133 为 [a,b]a,0,b,1.，其中k、m为常数，且 nn11 {a},{b} (1)若k=1，求数列的通项公式; nn (2)项m=2，问是否存在常数，使得数列满足若存在，求k的k,0limb,4?{b}nnn,, 值;若不存在，请说明理由; {a},{b}(3)若，设数列的前n项和分别为S，T，求[来源:学&科&网] k,0nnnn (T，T，？，T),(S，S，？，S) 。 122010122010 f(x),x，m,当x,[a,b]时,f(x)为单调增函数,解:(1)因为 n,1n,1 [a，m,b，m]所以其值域为 n,1n,1 *a,a，m,b,b，m(n,N,n,2)于是 nn,nn,11 a,0,b,1,所以a,(n,1)m,b,1，(n,1)m.又 11nn f(x),x，mf(x),kx，m(k,0),当x,[a,b]时,f(x)为单调增函数 (2)因为 n,1n,1 f(x)的值域为[ka，m,kb，m],因m,2,则b,kb，2(n,2)所以……8分 n,1n,1nn,1法一:假设存在常数，使得数列，k,0{b}满足limb,4,则limb,klimb，2nnnn,1n,,n,,n,, 14,4k，2,则k,得符合。 2 法二:假设存在常数k,0，使得数列满足 limb,4.{b}nnn,, 当k=1不符合。……9分 22当， k,1时,b,kb，2(n,2),b，,k(b，)(n,2)nn,1nn,1k,1k,1 22n,1b,，k,则 (1),nk,k,11 21当 0,k,1时,limb,,4,得k,符合.n,,n1,k2 k,0,当x,[a,b]时,f(x)为单调减函数, (3)因为 n,1n,1 [kb，m,ka，m]所以f(x)的值域为 n,1n,1 *a,kb，m,b,ka，m(n,N,n,2)于是 nn,nn,11 b,a,,k(b,a)则 nnn,1n,1 b,a,1又 11 i,(k,,1),,i则有T,S, ,1,(,k)ii,(k,0,k,,1),1，k, 进而有 2021055,(,,1)k, ,2011(T，T，？，T),(S，S，？，S),2010，2011k,k,122010122010kk,(,0,,,1)2,(1，k), …………18分 123x，{a}afa,,(),1n,2,n,N例34已知:函数，数列对总有; fx(),nn1a3xn,1 a(1)求{}的通项公式。 n n,1Saaaaaaaaaa,,，,，，,(1)(2) 求和: nnn122334451， 11{b}{b}{b}{}{}(3)若数列满足:?为的子数列(即中的每一项都是的项，且按nnnaann11{b}{}在中的顺序排列)?为无穷等比数列，它的各项和为。这样的数列是否存在,na2n {b}若存在，求出所有符合条件的数列，写出它的通项公式，并证明你的结论;若不存在，n 说明理由。 23，23，aa1223x，nn,,11,,,,，()afa解(1)由，又 分 fx(),2nn,1333a3xn,1 an,1 221n，*{a}a,1()nN,所以，是以为首项，为公差的等差数列，即分 a,4n1n33 4n(2)当为偶数， aaaaaaadaa,,,,,,,()2nnnnnnnnn,，,，11113 aa，4422n22n所以 分 Saaann,,，，,,,,,()6nn24332293 n当为奇数，则为偶数， n,1 2222123267nnnn，，，，2SSaann,，,,,,,，,(1)(1) 分 8nnnn,，1193339 22,2,,nnn为偶数,,93综上: 分 10S,,n2nn，，267,n为奇数,9, 31331n*bq,,,kpN,,(3)设，公比，则()对任q,,0b,11n2121kmp，，m21k， *m意的均成立，故是正奇数，又存在，所以 分 nN,12Sm,1 133当时，S,，此时b,，b,，成立 分 m,3131nn，1293 ,,121当时，S,，此时故不成立 分 b,,14m,5,,12a5n,, 133S,b,b,时，，此时，，成立 分 m,7151nn277 1814323*S,k,b,当时，，由，得，设，则，又因为kN,，1,,b,m,91128921k，m9 b131b,1S,,q,0k,1,2b,所以，此时或分别代入，得到不合题意分 181112,q5 33{b}b,b,由此，满足条件(3)的只有两个，即或 0分 2nnnn，1n37 112,fx()fx()例35 已知函数～为函数的导函数( fxxx(),,，24,,,afafn,，()()nN,,?,若数列满足:～,,～求数列{}aa,1{}ann，1n1n 的通项, an ,bfb,2()nN,,?,若数列满足:～,,( {}bbb,nn，1n1 1?.当时～数列是否为等差数列,若是～请求出数列的通{}b{}bb,nn2 项,若不是～请说明理由, bn n112,,b1?.当时～ 求证:( ,,2bb,21,1ii 1,解:(?)fxx()2,,， 2 11， ？,,，,,，,aanan(2)(2)221nnn，122 anan，，，,，，2(1)12(21)即( nn，1 a,1{21}an，，42， 数列是首项为，公比为的等比数列( ？1n n,1n，1，即( ？，，,,an2142an,,,221nn 12bfb,2(),,，bb2(?)(?)， ？nn，1nn2 12？,,,bbb2()( nnn，12 11当时，( ？b,b,1222 1假设，则( b,b,bkk，1k2 1由数学归纳法，得出数列为常数数列，是等差数列，其通项为( {}bb,nn2 1122bbb,,，？,,,bbb22()(?)， ( nnn，nnn，112211,,b1bb,,？当时，( 12122 11bb,,假设，则 ( b,kk，1k22 1(1,2,3,)n,由数学归纳法，得出数列( b,n2 11bbb,,,又， 2()nnn，122 111， ？,,11bbb,,nnn，122 111即( ,,11bbb,,nnn，122 nn11111( ？,,,,(),,1111bbbbb,,,,i,1,1ii，1n，112222ii 1b,， n，12 n112？,,( ,1bbb,,21i1,i12 'fx()nk,1knnkN,,(,)例36 已知,其中, ,fxx(),,fx()，0kf(1)k,1 021222knFxCfxCfxCfxCfx()()()...()...(),，，，，，设,. x,,1,1,,nnnknn01 (I) 写出; f(1)k n,1(II) 证明:对任意的,恒有. xx,1,1,,FxFxnn()()2(2)1,,，,,,,1212 nk,fnk(1)1,,，【解析】(I)由已知推得,从而有 fxnkx()(1),,，kk (II) 证法1:当时, ,,,11x 212(1)22(2)2()12nnnknkn,,,,FxxnCxnCxnkCxCx()(1)...(1)...21,，，,，,，，，， nnnn ,Fx()Fx()0,当x>0时, ,所以在[0,1]上为增函数 Fx()Fx()因函数为偶函数所以在[-1,0]上为减函数 所以对任意的 xx,1,1,,FxFxFF()()(1)(0),,,,,1212 0121kn,FFCnCnCnkCC(1)(0)(1)...(1)...2,,，，,，,，，，nnnnn nnnk,,,1210,，,，,，，，，nCnCnkCCC(1)...(1)...2nnnnn nknknk,,,(1)()nkCnkCC,，,,，nnn kk,，,,nCCkn(1,2,31)1nn, 1211210kn,,FFnCCCCCCC(1)(0)(...)(...),,，，，，，，nnnnnnn,,,111 nnn,,11,,，,,，,,nnn(21)212(2)1 因此结论成立. 证法2: 当时, ,,,11x 212(1)22(2)2()12nnnknkn,,,,FxxnCxnCxnkCxCx()(1)...(1)...21,，，,，,，，，， nnnn ,Fx()当x>0时, Fx()0,,所以在[0,1]上为增函数 Fx()Fx()因函数为偶函数所以在[-1,0]上为减函数 所以对任意的 xx,1,1,,FxFxFF()()(1)(0),,,,,1212 0121kn,FFCnCnCnkCC(1)(0)(1)...(1)...2,,，，,，,，，， nnnnn 12110kn,,FFCCkCnCC(1)(0)23......,,，，，，，，又因 nnnnn 12110kn,,2[(1)(0)](2)[......]2FFnCCCCC,,，，，，，，，所以 nnnnn n，212110kn,,FFCCCCC(1)(0)[......],,，，，，，，nnnnn2 n，2nn,1,,，,，,,(22)12(2)1nn2 因此结论成立. 证法3: 当时, ,,,11x 212(1)22(2)2()12nnnknkn,,,,FxxnCxnCxnkCxCx()(1)...(1)...21,，，,，,，，，， nnnn ,Fx()Fx()0,当x>0时, ,所以在[0,1]上为增函数 Fx()Fx()因函数为偶函数所以在[-1,0]上为减函数 所以对任意的 xx,1,1,,FxFxFF()()(1)(0),,,,,1212 0121kn,FFCnCnCnkCC(1)(0)(1)...(1)...2,,，，,，,，，， nnnnn nnnnknkn11221,,,,xxxxCxCxCxCx[(1)][.....1]，,,，，，，，nnnn由 121112nnknkn,,，,,，，，，，CxCxCxCxx.....nnnn 对上式两边求导得 nnnnnnknkn,,,,,111221(1)(1)(1)...(1)..21，,，，,,，,，,，，，，xxnxxnxnCxnCxnkCxCxnnnn 22212nnn,Fxxnxxnx()(1)(1),，，，, nnn,,11？,,，,,,，,,FFnnnn(1)(0)221(2)21 因此结论成立. 1例37已知函数错误～未找到引用源。且任意的错误～未f(x)在(,1,1)上有意义,f(),,1,2找到引用源。、错误～未找到引用源。都有错误～未找到引用源。y,(,1,1)x x，yf(x)，f(y),f(). 1，xy 2x1*n{x}满足x,,x,(n,N),求f(x). (1)若数列错误～未找到引用源。 n1n，1n221，xn 1111，f，f？，f，f (2)求错误～未找到引用源。的值. 1()()()()2n，n，n，511231 2x12n？1，x,2|x|？||,1又x,.解:(1)错误～未找到引用源。 1nn221，xn x2n错误～未找到引用源。 ？||,12x1，n 1错误～未找到引用源。 f(x),f(),,112 而错误～未找到引用源。 2xx，xnnnf(x),f(),f(),f(x)，f(x),2f(x). ，n1nnn21，xx1，xnnn fx()n，1错误～未找到引用源。错误～未找到引用源。？,2fx()n n,1？{f(x)}是以,1为首项,以2为公比的等比数列,故f(x),,2 nn 0，0 (2)由题设，有错误～未找到引用源。 f(0)，f(0),f(),f(0),故f(0),01，0 x,x又错误～未找到引用源。 x,(,1,1),有f(x)，f(,x),f(),f(0),0,21,x f(,x),,f(x),故知f(x)在(,1,1)得错误～未找到引用源。上为奇函数. 由 11,错误～未找到引用源。错误～未找到引用源。2(k，1)(k，2),1k，3k，1 111,(k，1)(k，2)k，1k，2,, 111,1,(k，1)(k，2)(k，1)(k，2) 得错误～未找到引用源。 11111f,f，f,,f,f ()()()()()2k，k，k，k，k，k，121231 n1111f,f,f,,,f()()()1(). 于是错误～未找到引用源。,2n，n，222k，k，31,1k 1111故错误～未找到引用源。 1，f()，f()？，f()，f(),0.2511n，2n，3n，1