高中数学第一轮复习 第30讲 数列求和及数列实际问题

普通高中课程 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 实验教科书—数学 [人教版] 高三新数学第一轮复习教案（讲座30）—数列求和及数列实际问题 一．课标要求： 1．探索并掌握一些基本的数列求前n项和的方法； 2．能在具体的问题情境中，发现数列的数列的通项和递推关系，并能用有关等差、等比数列知识解决相应的实际问题。 二．命题走向 数列求和和数列综合及实际问题在高考中占有重要的地位，一般情况下都是出一道解答题，解答题大多以数列为工具，综合运用函数、方程、不等式等知识，通过运用逆推思想、函数与方程、归纳与猜想、等价转化、分类讨论等各种数学思想方法，这些题目都考察考生灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力，它们都属于中、高档题目。 有关命题趋势： 1．数列是一种特殊的函数，而不等式则是深刻认识函数和数列的有效工具，三者的综合题是对基础和能力的双重检验，在三者交汇处 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 试题 中考模拟试题doc幼小衔接 数学试题 下载云南高中历年会考数学试题下载N4真题下载党史题库下载 ，特别是代数推理题是高考的重点； 2．数列推理题是将继续成为数列命题的一个亮点，这是由于此类题目能突出考察学生的逻辑思维能力，能区分学生思维的严谨性、灵敏程度、灵活程度； 3．数列与新的章节知识结合的特点有可能加强，如与解析几何的结合等； 4．有关数列的应用问题也一直备受关注。 预测2007年高考对本将的考察为： 1．可能为一道考察关于数列的推导能力或解决生产、生活中的实际问题的解答题； 2．也可能为一道知识交汇题是数列与函数、不等式、解析几何、应用问题上等联系的综合题，以及数列、数学归纳法等有机结合。 三．要点精讲 1．数列求通项与和 （1）数列前n项和Sn与通项an的关系式：an=   。 （2）求通项常用方法 ①作新数列法。作等差数列与等比数列； ②累差叠加法。最基本的形式是：an=(an－an－1)+(an－1+an－2)+…+(a2－a1)+a1； ③归纳、猜想法。 （3）数列前n项和 ①重要公式：1+2+…+n= n(n+1)； 12+22+…+n2= n(n+1)(2n+1)； 13+23+…+n3=(1+2+…+n)2= n2(n+1)2； ②等差数列中，Sm+n=Sm+Sn+mnd； ③等比数列中，Sm+n=Sn+qnSm=Sm+qmSn； ④裂项求和 将数列的通项分成两个式子的代数和，即an=f(n+1)－f(n)，然后累加抵消掉中间的许多项，这种先裂后消的求和法叫裂项求和法。用裂项法求和，需要掌握一些常见的裂项，如： 、 = － 、n·n！=(n+1)!－n!、Cn－1r－1=Cnr－Cn－1r、 = － 等。 ⑤错项相消法 对一个由等差数列及等比数列对应项之积组成的数列的前n项和，常用错项相消法。 , 其中 是等差数列， 是等比数列，记 ，则 ，… ⑥并项求和 把数列的某些项放在一起先求和，然后再求Sn。 数列求通项及和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。 ⑦通项分解法： 2．递归数列 数列的连续若干项满足的等量关系an+k=f(an+k－1,an+k－2,…,an)称为数列的递归关系。由递归关系及k个初始值可以确定的一个数列叫做递归数列。如由an+1=2an+1，及a1=1，确定的数列 即为递归数列。 递归数列的通项的求法一般说来有以下几种： （1）归纳、猜想、数学归纳法证明。 （2）迭代法。 （3）代换法。包括代数代换，对数代数，三角代数。 （4）作新数列法。最常见的是作成等差数列或等比数列来解决问题。 四．典例解析 题型1：裂项求和 例1．已知数列 为等差数列，且公差不为0，首项也不为0，求和： 。 解析：首先考虑 ，则 = 。 点评：已知数列 为等差数列，且公差不为0，首项也不为0，下列求和 也可用裂项求和法。 例2．求 。 解析： ， 点评：裂项求和的关键是先将形式复杂的因式转化的简单一些。 题型2：错位相减法 例3．设a为常数，求数列a，2a2，3a3，…，nan，…的前n项和。 解析：①若a=0时，Sn=0； ②若a=1，则Sn=1+2+3+…+n= ； ③若a≠1，a≠0时，Sn-aSn=a（1+a+…+an-1-nan）， Sn= 。 例4．已知 ，数列 是首项为a，公比也为a的等比数列，令 ，求数列 的前 项和 。 解析： ， ①-②得： ， 点评：设数列 的等比数列，数列 是等差数列，则数列 的前 项和 求解，均可用错位相减法。 题型3：倒序相加 例5．求 。 解析： 。  ① 又 。  ② 所以 。 点评：Sn表示从第一项依次到第n项的和，然后又将Sn表示成第n项依次反序到第一项的和，将所得两式相加，由此得到Sn的一种求和方法。 例6．设数列 是公差为 ，且首项为 的等差数列， 求和： 解析：因为 ， ， 。 点评：此类问题还可变换为探索题形：已知数列 的前 项和 ，是否存在等差数列 使得 对一切自然数n都成立。 题型4：其他方法 例7．求数列1，3+5，7+9+11，13+15+17+19，…前n项和。 解析：本题实质是求一个奇数列的和。在该数列的前n项中共有 个奇数，故 。 例8．求数列1，3＋ ，32＋ ，……，3n＋ 的各项的和。 解析：其和为(1＋3＋……＋3n)＋( ＋……＋ )= = (3n＋1－3-n)。 题型5：数列综合问题 例9．（ 2006年浙江卷）已知函数 ＝x3+x2，数列 | xn | （xn > 0）的第一项x1＝1，以后各项按如下方式取定：曲线y＝ 在 处的切线与经过（0，0）和（xn，f（xn））两点的直线平行（如图）。 求证：当n 时：（ ） ；（ ） 。 解析：（ ）因为 所以曲线 在 处的切线斜率 因为过 和 两点的直线斜率是 所以 . （ ）因为函数 当 时单调递增， 而 所以 ，即 因此 又因为 令 则 因为 所以 因此 故 点评：数列与解析几何问题结合在一块，数列的通项与线段的长度、点的坐标建立起联系。 例10．（2006年辽宁卷）已知 ,其中 ,设 , 。 ( ) 写出 ；( ) 证明:对任意的 ,恒有 。 解析：( )由已知推得 ,从而有 ； ( ) 证法1:当 时， 当x>0时, ,所以 在[0,1]上为增函数。 因函数 为偶函数所以 在[－1,0]上为减函数， 所以对任意的 ， 因此结论成立。 证法2：当 时, 当x>0时, ,所以 在[0,1]上为增函数。 因函数 为偶函数所以 在[-1,0]上为减函数 所以对任意的 又因 所以 因此结论成立。 证法3：当 时, 当x>0时, ,所以 在[0,1]上为增函数。 因为函数 为偶函数所以 在[－1,0]上为减函数。 所以对任意的 由 对上式两边求导得： 因此结论成立。 点评：数列与函数、导数结合在一块，考察数列是一种特殊的函数的性质，其中还要用到数列的函数性质来解释问题。 题型6：数列实际应用题 例11．某企业进行技术改造，有两种 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 ，甲方案：一次性贷款10万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一年增加30%的利润；乙方案：每年贷款1万元，第一年可获利1万元，以后每年比前一年增加5千元；两种方案的使用期都是10年，到期一次性归还本息. 若银行两种形式的贷款都按年息5%的复利计算，试比较两种方案中，哪种获利更多？ （取 ） 解析：甲方案是等比数列，乙方案是等差数列， ①甲方案获利： （万元）， 银行贷款本息： （万元）， 故甲方案纯利： （万元）， ②乙方案获利： （万元）； 银行本息和： （万元） 故乙方案纯利： （万元）； 综上可知，甲方案更好。 点评：这是一道比较简单的数列应用问题，由于本息金与利润是熟悉的概念，因此只建立通项公式并运用所学过的公式求解。 例12．（2005湖南20）自然状态下的鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响. 用xn表示某鱼群在第n年年初的总量，n∈N*，且x1＞0.不考虑其它因素，设在第n年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与xn成正比，死亡量与xn2成正比，这些比例系数依次为正常数a，b，c。 （Ⅰ）求xn+1与xn的关系式； （Ⅱ）猜测：当且仅当x1，a，b，c满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？（不要求证明） （Ⅱ）设a＝2，b＝1，为保证对任意x1∈（0,2），都有xn＞0，n∈N*，则捕捞强度b的最大允许值是多少？证明你的结论。 解析：（I）从第n年初到第n+1年初，鱼群的繁殖量为axn，被捕捞量为bxn，死亡量为   （II）若每年年初鱼群总量保持不变，则xn恒等于x1， n∈N*， 从而由（*）式得： 因为x1>0，所以a>b。 猜测：当且仅当a>b，且 时，每年年初鱼群的总量保持不变。 （Ⅲ）若b的值使得xn>0，n∈N* 由xn+1=xn(3－b－xn), n∈N*, 知00。 又因为xk+1=xk(2－xk)=－(xk－1)2+1≤1<2, 所以xk+1∈(0, 2)，故当n=k+1时结论也成立. 由①、②可知，对于任意的n∈N*，都有xn∈(0,2)。 点评：数学归纳法在猜想证明数列通项和性质上有很大的用处，同时该题又结合了实际应用题解决问题。 题型7：课标创新题 例13．（2006年北京卷）在数列 中，若 是正整数，且 ，则称 为“绝对差数列”。 （Ⅰ）举出一个前五项不为零的“绝对差数列”（只要求写出前十项）； （Ⅱ）证明：任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项。 解析：（Ⅰ）a1=3，a2=1，a3=2，a4=1，a5=1，a6=0，a7=1，a8=1，a9=0，a10=1.（答案不唯一）； （Ⅱ）证明：根据定义，数列{an}必在有限项后出现零项.证明如下： 假设{an}中没有零项，由于an=|an-1-an-2|，所以对于任意的n，都有an≥1,从而 当an-1 > an-2时，an = an-1 －an-2  ≤ an-1－1（n≥3）； 当an-1 < an-2时，an = an-2 － an-1  ≤ an-2－1（n≥3）, 即an的值要么比an-1至少小1，要么比an-2至少小1. 令cn= n=1，2，3，……， 则00（n=1，2，3……）矛盾.从而{an}必有零项。 若第一次出现的零项为第n项，记an-1=A（A≠0），则自第n项开始，没三个相邻的项周期地取值O，A，A，即 所以绝对等差数列{an}中有无穷多个为零的项。 点评：通过设置“等差数列”这一概念加大学生对情景问题的阅读、分析和解决问题的能力。 例14．（2005江苏23）设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，a2＝6，a3＝11，且 其中A,B为常数。 （Ⅰ）求A与B的值； （Ⅱ）证明数列{an}为等差数列； （Ⅲ）证明不等式 对任何正整数m、n都成立 分析：本题是一道数列综合运用题，第一问由a1、a2、a3求出s1、s2、s3代入关系式，即求出A、B；第二问利用 公式，推导得证数列{an}为等差数列。 解答：（1）由已知，得S1=a1=1,S2=a1+a2=7,S3=a1+a2+a3=18。 由(5n－8)Sn+1－(5n+2)Sn=An+B知： 。 解得A=－20，B=－8。 （Ⅱ）方法1 由（1）得，（5n-8）Sn+1-(5n+2)Sn=-20n-8,        ① 所以      (5n-3)Sn+2-(5n+7)Sn+1=-20n-28,      ② ②-①,得,  (5n-3)Sn+2-(10n-1)Sn+1+(5n+2)Sn=-20, ③ 所以      (5n+2)Sn+3-(10n+9)Sn+2+(5n+7)Sn+1=-20.④ ④-③,得  (5n+2)Sn+3-(15n+6)Sn+2+(15n+6)Sn+1-(5n+2)Sn=0. 因为        an+1=Sn+1-Sn 所以      (5n+2)an+3-(10n+4)an+2+(5n+2)an+1=0. 又因为    (5n+2) , 所以      an+3-2an+2+an+1=0, 即        an+3-an+2=an+2-an+1, . 又        a3-a2=a2-a1=5, 所以数列 为等差数列。 方法2. 由已知，S1=a1=1, 又(5n-8)Sn+1-(5n+2)Sn=-20n-8,且5n-8 , 所以数列 是惟一确定的。 设bn=5n-4,则数列 为等差数列，前n项和Tn= 于是  (5n-8)Tn+1-(5n+2)Tn=(5n-8) 由惟一性得bn=a,即数列 为等差数列。 （Ⅲ）由（Ⅱ）可知，an=1+5(n-1)=5n-4. 要证了          只要证          5amn>1+aman+2 因为              amn=5mn-4,aman=(5m-4)(5n-4)=25mn-20(m+n)+16, 故只要证        5（5mn-4）>1+25mn-20(m+n)+16+2 因为 =20m+20n-37, 所以命题得证。 点评：本题主要考查了等差数列的有关知识，不等式的证明方法，考查了分析推理、理性思维能力及相关运算能力等。 五．思维 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf 1．数列求和的常用方法 （1）公式法：适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列； （2）裂项相消法：适用于 其中{ }是各项不为0的等差数列，c为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等； （3）错位相减法：适用于 其中{ }是等差数列， 是各项不为0的等比数列。 （4）倒序相加法：类似于等差数列前n项和公式的推导方法. （5）分组求和法 （6）累加（乘）法等。 2．常用结论 （1） 1+2+3+...+n =     （2） 1+3+5+...+(2n-1) = （3）   （4）   （5）   （6） 3．数学思想 （1）迭加累加（等差数列的通项公式的推导方法）若 ，则……； （2）迭乘累乘（等比数列的通项公式的推导方法）若 ，则……； （3）逆序相加（等差数列求和公式的推导方法）； （4）错位相减（等比数列求和公式的推导方法）。