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立体几何中二面角的平面角的定位

立体几何中二面角的平面角的定位立体几何中二面角的平面角的定位空间图形的位置关系是立体几何的重要内容，解决立体几何问题的关键在于三定：定性分析→定位作图→定量计算，其中定性是定位、定量的基础，而宣则是定位、定性的深化，在面面关系中，二面角是其中的重要概念之一，它的度量归结为平面上角的度量，一般来说，对其平面角的定位是问题解决的先决一步，可是，从以往的教学中发现，学生往往把握不住其定位的基本思路而导致思维混乱，甚至错误地定其位，使问题的解决徒劳无益，本文就是针对这一点，来谈一谈平日教学中体会。一、重温二面角的平面角的定义如图（1），α、β是由ι出发...

立体几何中二面角的平面角的定位空间图形的位置关系是立体几何的重要内容，解决立体几何问题的关键在于三定：定性分析→定位作图→定量计算，其中定性是定位、定量的基础，而宣则是定位、定性的深化，在面面关系中，二面角是其中的重要概念之一，它的度量归结为平面上角的度量，一般来说，对其平面角的定位是问题解决的先决一步，可是，从以往的教学中发现，学生往往把握不住其定位的基本思路而导致思维混乱，甚至错误地定其位，使问题的解决徒劳无益，本文就是针对这一点，来谈一谈平日教学中体会。一、重温二面角的平面角的定义如图（1），α、β是由ι出发的两个平面,O是ι上任意一点,OCα，且OC⊥ι；CDβ，且OD⊥ι。这就是二面角的平面角的背景，即∠COD是二面角α—ι—β的平面角，从中不难得到下列特征：Ⅰ、过棱上任意一点，其平面角是唯一的；Ⅱ、其平面角所在平面与其两个半平面均垂直；另外，如果在OC上任取上一点A，作AB⊥OD垂足为B,那么由特征Ⅱ可知AB⊥β.突出ι、OC、OD、AB，这便是另一特征；Ⅲ、体现出一完整的垂线定理（或逆定理）的环境背景。对以上特征进行剖析由于二面角的平面角是由一点和两条射线构成，所以二面角的平面角的定位可化归为“定点”或“定线（面）”的问题。特征Ⅰ表明，其平面角的定位可先在棱上取一“点”，耐人寻味的是这一点可以随便取，但又总是不随便取定的，它必须与问题背景相互沟通，给计算提供方便。例1已知正三棱锥V—ABC侧棱长为a，高为b，求侧面与底面所成的角的大小。由于正三棱锥的顶点V在底面ABC上的射影H是底面的中心，所以连结CH交AB于O，且OC⊥AB，则∠VOC为侧面与底面所成二面角的平面角如图（2）。正因为正三棱锥的特性，解决此问题，可以取AB的中点O为其平面角的顶点，而且使背景突出在面VOC上，给进一步定量创造得天独厚的条件。特征Ⅱ指出，如果二面角α—ι—β的棱ι垂直某一平面γ与α、β的交线，而交线所成的角就是α—ι—β的平面角，如图。由此可见，二面角的平面角的定位可以考虑找“垂平面”。例2矩形ABCD，AB=3，BC=4，沿对角线BD把△ABD折起，使点A在平面BCD上的射影A′落在BC上，求二面角A—BC-—C的大小。这是一道由平面图形折叠成立体图形的问题，解决问题的关键在通过对例2的定性分析、定位作图和定量计算，特征Ⅱ从另一角度告诉我们：要确定二面角的平面角，我们可以把构成二面角的两个半平面“摆平”，然后，在棱上选取一适当的垂线段，即可确定其平面角。“平面图形”与“立体图形”相映生辉，不仅便于定性、定位，更利于定量。特征Ⅲ显示，如果二面角α—ι—β的两个半平面之一，存在垂线段AB，那么过垂足B作ι的垂线交ι于O，连结AO，由三垂线定理可知OA⊥ι；或者由A作ι的垂线交ι于O，连结OB，由三垂线定理逆定理可知OB⊥ι，此时，∠AOB就是二面角α—ι—β的平面角，如图。由此可见，地面角的平面角的定位可以找“垂线段”。例3的环境背景表明，面B1D1E与面BB1C1C构成两个二面角，由特征Ⅱ可知，这两个二面角的大小必定互补，下面，如在Rt△D1C1O中，tg∠C1OD=D1C1/C1O=51/2/2。三、三个特征的关系以上三个特征提供的思路在解决具体总是时各具特色，其标的是分别找“点”、“垂面”、“垂线段”。事实上，我们只要找到其中一个，另两个就接踵而来。掌握这种关系对提高解题技能和培养空间想象力非常重要。1、融合三个特征对思维的监控，可有效地克服、抑制思维的消极作用，培养思维的广阔性和批判性。例3将棱长为a的正四面体的一个面与棱长为a的正四棱锥的一个侧面吻合，则吻合后的几何呈现几个面？这是一道竞赛题，考生答“7个面”的占99.9%，少数应服从多数吗？如图，过两个几何体的高线VP、VQ的垂足P、Q分别作BC的垂线，则垂足重合于O，且O为BC的中点，OP延长过A，OQ延长交ED于R。由特征Ⅲ，∠AOR为二面角A—BC—R平面角，结合特征Ⅰ、Ⅱ，可得VAOR为平行四边形，VA//BE，所以V、A、B、E共面，同理V、A、C、D共面，所以这道题的答案应该是5个面！2、三个特征，虽然客观存在，互相联系，但在许多同题中却表现得含糊而冷漠——三个“标的”均藏而不露，在这种形势下，逼你去作，那么作谁？由特征Ⅲ，有了“垂线段”便可定位。例4已知Rt△ABC的两直角边AC=2，BC=3，P为斜边上一作法一：∵A—CP—B为直角二面角，∴过B作BD⊥CP交CP的延长线于D，则BD⊥DMAPC。∴过D作DE⊥AC，垂足为E，连BE。∴∠DEB为二面角A—CP—B的平面角。作法二：过P点作PD′⊥PC交BC于D′，则PD′⊥面APC。∴过D′作D′E′⊥AC，垂足为E′，边PE′，∴∠D′E′P为二面角P—AC—B的平面角。再说，定位是为了定理，求角的大小往往要化归到一个三角形中去解，有了“垂线段”就可把它化归为解一个直角三角形。由此可见，要作，最好考虑作“垂线段”。综上所述，二面角其平面角的正确而合理的定位，要在正确其定义的基础上，掌握其三个基本特征，并灵活运用它们考察问题的环境背景，建立良好的主观空间和客观心理空间，以不变应万变。

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