§3~3三角形的外心,内心与重心
?3~3三角形的外心、內心與重心
壹、本節重點
(1)三角形三邊的垂直平分線交於一點,此點稱為三角形的外心(外接
圓的圓心),外心到三頂點的距離相等。
(2)外心性質的簡單計算題。
(3)三角形的三個內角的平分線交於一點,此點稱為三角形的內心(內
切圓的圓心),內心到三邊等距離。
(4)內心性質的簡單計算題。
(5)三角形的三中線交於一點,此點稱為三角形的重心,重心到頂點
的距離等於重心到對邊中點距離的兩倍。
(6)重心性質的簡單計算題。
(7)正三角形中,外心、內心、重心,三心重合。
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貳、例題
AB例1.A、B、C三點不共線,若O為、BC之垂直平分線交點,且
OB=20,則OA，OC=, 【答,40】
解,
ABBCAC例2.設I為,ABC的內心,若= 4,=5,=6,且,ABC的
AB面積為15,則I到的距離為, 【答,2】
解,
例3.一三角形三邊長為5、12、13,求外心到三頂點的距離和。
39解, 【答,】 2
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RTPQSQ,SR，PR例4.如圖,L為的中垂線。(1)試證明,(2)若=8,
PTSQ=6,RS=5,則=, 【答,(1)略(2)15】
S 解,
R
Q P T
L
AB.如圖,L為的中垂線,且L交AC於P點。 例5
PBACPC(1)試證明=-,
PBBCACPCBC(2)若=7,=9,=5,則-=,【答,(1)略(2)3】 解,
C
P
A B
L
OAAC3例6.正ΔABC中,O為外心,若=1,則=, 【答,】 解,
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BC例7.ΔABC中,O為外心,若OA=13,=24,則ΔABC的面積為,
【答,60】 解,
ADBECFAGEG例8.ΔABC之三中線、、相交於G,若=8公分,=6
ADBECGCF公分,=6公分,求++的長。 【答,39】 解,
ABAG例9.設G為正ΔABC的重心,若=6,則=,ΔABC的面積=,
33解, 【答,6、27】
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00例10.,ABC中,，A,，B之平分線相交於I,(1)若， C=80,， B=60,
000則， AIB=,(2)若，AIB=140,則，C=,【答,(1)130(2)100】
解,
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參、習題
1.設O為ΔABC的外心,則OA,OB,OC=,
解,
OA，OB，OCOB=10公分,則=, 2.設O為ΔABC的外心,若
解,
RMPQPQPQ3.如圖,L是 之中垂線,M為之中點,若=6,=16,
Q PRSRSR=4,則+=,
解, R M L
S P
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4.正ΔABC中,O為外心,若OA=2,則ΔABC之周長為, 解,
05.直角ΔABC中,?C=90,O為外心,G為重心,若AC=10,BC=24,求OC、OG的長。
解,
AB3AG6.設G為正ΔABC的重心,若=10,則(1)=,(2)外接圓半徑=,(3)內切圓半徑=,
解,
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07.設I為等腰直角,ABC的內心,若，C=90,試求,BIC,,AIC,,AIB
的面積比。
解,
0IA.如圖,I 為,ABC的內心,若，C=90,內切圓半徑為5,=13,8
A BE則=,
D 解,
F I
B C E
肆、習題解答
133 1. 1,1,1 2. 30公分 3. 14 4. 6 5. 13, 6.(1) 10 ; 3
852(2) 10 ; (3) 5 7. 1,1, 8.
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