优秀学习资料欢迎下载20XX年中考数学压轴测试题专题动点问题（2012上海市14分）如图，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E．（1）当BC=1时，求线段OD的长；（2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请
说明
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理由；（3）设BD=x，△DOE的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域．【答案】解：（1）∵点O是圆心，⊥，=1，∴=1=1。ODBCBCBDBC22又∵OB=2，∴OD=OB2BD2221215。22（2）存在，DE是不变的。如图，连接，则AB=2+OA222。ABOB∵D和E是中点，∴=1AB=2。DE2（3）∵=，∴OD4x2。BDx∵∠1=∠2，∠3=∠4，∠=900。AOB∴∠2+∠3=45°。过D作DF⊥OE，垂足为点F。∴DF=OF=4x2。2由△∽△，得BDOD，即BODEDFEF=DFx=4x2，解得EF=1x。EF4x222优秀学习资料欢迎下载∴OE=x+4x2。2∴114x2x+4x24x2+x4x22）。yDFOE22=4（0
分析
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】（1）由⊥，根据垂径定理可得出=1=1，在Rt△中利用勾股定理ODBCBDBCBOD22即可求出OD的长。（2）连接AB，由△AOB是等腰直角三角形可得出AB的长，再由D和E是中点，根据三角形中位线定理可得出=2。DE（3）由BD=x，可知OD4x2，由于∠1=∠2，∠3=∠4，所以∠2+∠3=45°，过4x2，EF=1x+4x2D作DF⊥OE，则DF=OF=2x，OE=，即可求得y关于x的函22数关系式。∵AB=OB2+OA222，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合），∴0P22∴以O、P、B、N为顶点的四边形的面积y与x的函数关系是：（）40。x4）1x22优秀学习资料欢迎下载【考点】正方形的性质，三角形外角性质，全等三角形的判定和性质，两线垂直的判定，多边形的面积的分解，函数解析式的确定，分段函数，点到直线的距离。【分析】（1）对于图1，证明线段相等，一般情况下找全等。根据BN，CP的分布情况可以观察△CNB和△DPC，然后证明两三角形全等。也可以观察△CAN和△DBP，证明AN=BP，从而有BN=CP。对于图2，证明如下：①∵ABCD为正方形，AC，BD为对角线，∴∠DCP=90o。CM⊥DP，∴∠PCM=∠PDC。∴∠PDB=∠CAN。又∵∠DPB=∠ANC，BD=AC，∴△PDB≌△NCA（ASA）。∴PB=AN，DP=CN。∴CP=BN。②∵∠PDB=∠CAN，OD=OC，CP=BN，∴△PDO≌△NCO（SAS）。∴OP=ON，∠DOP=∠CON。∵∠DOC=90o，∴∠PON=∠NOC+POC=∠DOP+∠POC=∠DOC=90o。∴OP⊥ON。（2）求以O、P、B、N为顶点的四边形的面积，则要把四边形分解为两个三角形去解决问题。图1中，S四边形OPBN=S△OBN+S△BOP，，；图2中，S四边形OBNP=S△POB+S△PBN，代入求出即可。（2012湖南张家界10分）如图，⊙O的直径AB=4，C为圆周上一点，AC=2，过点C作⊙O的切线DC，P点为优弧CBA上一动点（不与A．C重合）．1）求∠APC与∠ACD的度数；2）当点P移动到CB弧的中点时，求证：四边形OBPC是菱形．3）P点移动到什么位置时，△APC与△ABC全等，请说明理由．【答案】解：（1）连接AC，如图所示：AB=4，∴OA=OB=OC=1AB=2。2又∵AC=2，∴AC=OA=OC。∴△ACO为等边三角形。优秀学习资料欢迎下载∴∠AOC=∠ACO=∠OAC=60°，1∴∠APC=∠AOC=30°。又DC与圆O相切于点C，∴OC⊥DC。∴∠DCO=90°。∴∠ACD=∠DCO﹣∠ACO=90°﹣60°=30°。2）连接PB，OP，∵AB为直径，∠AOC=60°，∴∠COB=120°。当点P移动到弧CB的中点时，∠COP=∠POB=60°。∴△COP和△BOP都为等边三角形。∴AC=CP=OA=OP。∴四边形AOPC为菱形。3）当点P与B重合时，△ABC与△APC重合，显然△ABC≌△APC。当点P继续运动到CP经过圆心时，△ABC≌△CPA，理由为：∵CP与AB都为圆O的直径，∴∠CAP=∠ACB=90°。在Rt△ABC与Rt△CPA中，AB=CP，AC=ACRt△ABC≌Rt△CPA（HL）。综上所述，当点P与B重合时和点P运动到CP经过圆心时，△ABC≌△CPA。【考点】切线的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，菱形的判定。【分析】（1）连接AC，由直径AB=4，得到半径OA=OC=2，又AC=2，得到AC=OC=OA，即△AOC为等边三角形，可得出三个内角都为60°，再由同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍，得到∠APC为30°，由CD为圆O的切线，得到OC垂直于CD，可得出∠OCD为直角，用∠OCD-∠OCA可得出∠ACD的度数。2）由∠AOC为60°，AB为圆O的直径，得到∠BOC=120°，再由P为CB的中点，得到两条弧相等，根据等弧对等角，可得出∠COP=∠BOP=60°，从而得到△COP与△BOP都为等边三角形，可得出OC=OB=PC=PB，即四边形OBPC为菱形。3）点P有两个位置使△APC与△ABC全等，其一：P与B重合时，显然两三角形全等；第二：当CP为圆O的直径时，此时两三角形全等。（2012江苏无锡10分）如图，菱形ABCD的边长为2cm，∠DAB=60°．点P从A点出发，以cm/s的速度，沿AC向C作匀速运动；与此同时，点Q也从A点出发，以1cm/s优秀学习资料欢迎下载的速度，沿射线AB作匀速运动．当P运动到C点时，P、Q都停止运动．设点P运动的时间为ts．（1）当P异于A．C时，请说明PQ∥BC；（2）以P为圆心、长为半径作圆，请问：在整个运动过程中，t为怎样的值时，⊙P与PQ边BC分别有1个公共点和2个公共点？【答案】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，且菱形ABCD的边长为2，AB=BC=2，∠BAC=1∠DAB。2又∵∠DAB=60°，∴∠BAC=∠BCA=30°。如图1，连接BD交AC于O。∵四边形ABCD是菱形，AC⊥BD，OA=1AC。2∴OB=1AB=1。∴OA=3，AC=2OA=23。2运动ts后，AP=3t，AO=t，∴AP=AC3。AQAB又∵∠PAQ=∠CAB，∴△PAQ∽△CAB.∴∠APQ=∠ACB.PQ∥BC.2）如图2，⊙P与BC切于点M，连接PM，则PM⊥BC。在Rt△CPM中，∵∠PCM=30°，∴PM=1PC=33t。22由PM=PQ=AQ=t，即33t=t，解得t=436，2此时⊙P与边BC有一个公共点。如图3，⊙P过点B，此时PQ=PB，∵∠PQB=∠PAQ+∠APQ=60°优秀学习资料欢迎下载∴△PQB为等边三角形。∴QB=PQ=AQ=t。∴t=1。∴当4360，则m<10，n2，解出不等式组的解为00和a<0两种情况求解。13.（2012江苏常州9分）已知，在矩形ABCD中，AB=4，BC=2，点M为边BC的中点，点P为边CD上的动点（点P异于C、D两点）。连接PM，过点P作PM的垂线与射线DA相交于点E（如图）。设CP=x，DE=y。（1）写出y与x之间的函数关系式▲；（2）若点E与点A重合，则x的值为▲；（3）是否存在点P，使得点D关于直线PE的对称点D′落在边AB上？若存在，求x的值；若不存在，请说明理由。优秀学习资料欢迎下载【答案】解：（1）y=－x2＋4x。（2）2+2或22。（3）存在。D′E=∠D=900。2D′H=4x过点P作PH⊥AB于点H。则∵点D关于直线PE的对称点D′落在边AB上，PD′=PD=4－x，ED′=ED=y=－x2＋4x，EA=AD－ED=x2－4x＋2，∠P在Rt△D′PH中，PH=2，D′P=DP=4－x，22x28x+12。∵∠ED′A=1800－900－∠PD′H=900－∠PD′H=∠D′PH，∠PD′E=∠P0HD′=90，x2＋x24x+2∴△ED′A∽△D′PH。∴EDEA，即4x，DPDH4xx28x+12x24x+22－4x＋1=0。解得即x8x+12，两边平方并整理得，2xx222x。22∵当x2+2时，y=2+2+42+2=5+22>2，2222∴此时，点E已在边DA延长线上，不合题意，舍去（实际上是无理方程的增根）。2∵当x22时，y=22+4222=5+22<2，222∴此时，点E在边AD上，符合题意。优秀学习资料欢迎下载22∴当x时，点D关于直线PE的对称点D′落在边AB上。2【考点】矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，折叠对称的性质，解无理方程。【分析】（1）∵CM=1，CP=x，DE=y，DP=4－x，且△MCP∽△PDE，∴DEDP，即y4x。∴y=－x2＋4x。CPCMx12）当点E与点A重合时，y=2，即2=－x2＋4x，x2－4x＋2=0。解得x22。（3）过点P作PH⊥AB于点H，则由点D关于直线PE的对称点D′落在边AB上，可得△ED′A与△D′PH相似，由对应边成比例得得关于x的方程即可求解。注意检验。（2012江苏徐州8分）如图1，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AD=4cm，AB=dcm。动点E、F分别从点D、B出发，点E以1cm/s的速度沿边DA向点A移动，点F以1cm/s的速度沿边BC向点C移动，点F移动到点C时，两点同时停止移动。以EF为边作正方形EFGH，点F出发xs时，正方形EFGH的面积为2ycm。已知y与x的函数图象是抛物线的一部分，如图2所示。请根据图中信息，解答下列问题：（1）自变量x的取值范围是▲；（2）d=▲，m=▲，n=▲；（3）F出发多少秒时，正方形EFGH的面积为16cm2？【答案】解：（1）0≤x≤4。2）3，2，25．3）过点E作EI⊥BC垂足为点I。则四边形DEIC为矩形。EI=DC=3，CI=DE=x。∵BF=x，∴IF=4－2x。优秀学习资料欢迎下载在Rt△EFI中，EF2EI2＋IF232＋422x。∵y是以EF为边长的正方形EFGH的面积，∴y32＋422x。当y=16时，32＋4216，2x＋7，x247。解得，x1422∴F出发4＋7或47秒时，正方形EFGH的面积为16cm2。22【考点】动点问题，矩形的判定和性质，平行线间垂直线段的性质，勾股定理，解一元二次方程。【分析】（1）自变量x的取值范围是点F从点C到点B的运动时间，由时间=距离÷速度，即可求。（2）由图2知，正方形EFGH的面积的最小值是9，而正方形EFGH的面积最小时，根据地两平行线间垂直线段最短的性质，得d=AB=EF=3。当正方形EFGH的面积最小时，由BF=DE和EF∥AB得，E、F分别为AD、BC的中点，即m=2。当正方形EFGH的面积最大时，EF等于矩形ABCD的对角线，根据勾股定理，它为5，即n=25。（3）求出正方形EFGH的面积y关于x的函数关系式，即可求得F出发＋7或427秒时，正方形EFGH的面积为16cm2。215.（2012四川乐山13分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，m），点B的坐标为（n，﹣n），抛物线经过A、O、B三点，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点C．已知实数m、n（m＜n）分别是方程x2﹣2x﹣3=0的两根．1）求抛物线的解析式；2）若点P为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线PC与抛物线交于D、E两点（点D在y轴右侧），连接OD、BD．①当△OPC为等腰三角形时，求点P的坐标；②求△BOD面积的最大值，并写出此时点D的坐标．优秀学习资料欢迎下载【答案】解：（1）解方程x2﹣2x﹣3=0，得x1=3，x2=﹣1。∵m＜n，∴m=﹣1，n=3。∴A（﹣1，﹣1），B（3，﹣3）。∵抛物线过原点，
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