简单的三角恒等变换
教学目标
1．运用三角变换公式进行简单的三角恒等变换．(重点)
2．公式的综合运用，根据三角变换特点，设计变换过程．(难点)
3．应用半角公式求值时的符号问题．(易混点)
[基础·初探]
教材整理 半角公式
阅读教材P139～P140例2以上内容，完成下列问题．
sineq \f(α,2)＝±_eq \r(\f(1－cos α,2))，
coseq \f(α,2)＝±_eq \r(\f(1＋cos α,2))，
taneq \f(α,2)＝±_eq \r(\f(1－cos α,1＋cos α))，
taneq \f(α,2)＝eq \f(sin \f(α,2),cos\f(α,2))＝eq \f(sin\f(α,2)·2cos\f(α,2),cos\f(α,2)·2cos\f(α,2))＝eq \f(sin α,1＋cos α)，
taneq \f(α,2)＝eq \f(sin\f(α,2),cos\f(α,2))＝eq \f(sin\f(α,2)·2sin\f(α,2),cos\f(α,2)·2sin\f(α,2))＝eq \f(1－cos α,sin α).
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)cos eq \f(α,2)＝eq \r(\f(1＋cos α,2)).( )
(2)存在α∈R，使得cos eq \f(α,2)＝eq \f(1,2)cos α.( )
(3)对于任意α∈R，sin eq \f(α,2)＝eq \f(1,2)sin α都不成立．( )
(4)若α是第一象限角，则tan eq \f(α,2)＝eq \r(\f(1－cos α,1＋cos α)).( )
解：(1)×.只有当－eq \f(π,2)＋2kπ≤eq \f(α,2)≤eq \f(π,2)＋2kπ(k∈Z)，即－π＋4kπ≤α≤π＋4kπ(k∈Z)时，cos eq \f(α,2)＝eq \r(\f(1＋cos α,2)).
(2)√.当cos α＝－eq \r(3)＋1时，上式成立，但一般情况下不成立．
(3)×.当α＝2kπ(k∈Z)时，上式成立，但一般情况下不成立．
(4)√.若α是第一象限角，则eq \f(α,2)是第一、三象限角，此时tan eq \f(α,2)＝eq \r(\f(1－cos α,1＋cos α))成立．
【答案】 (1)× (2)√ (3)× (4)√
化简求值问题
(1)已知cos θ＝－eq \f(3,5)，且180°<θ<270°，求tan eq \f(θ,2)；
(2)化简(1－sin α)(1－sin β)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin \f(α＋β,2)－cos \f(α－β,2)))
eq \s\up12(2).
(1)①cos θ＝－eq \f(3,5)→tan eq \f(θ,2)＝
±eq \r(\f(1－cos θ,1＋cos θ))→tan eq \f(θ,2)的值；
②cos θ＝－eq \f(3,5)→tan eq \f(θ,2)＝eq \f(1－cos θ,sin θ)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或tan \f(θ,2)＝\f(sin θ,1＋cos θ)))→tan eq \f(θ,2)的值．
对于(1)的思考要注意符号的选择．
(2)灵活运用三角函数公式求解．
解：(1)法一：因为180°<θ<270°，所以90°
0，cos α＝eq \f(2,5)
eq \r(5)>0，
所以α的终边落在第一象限，eq \f(α,2)的终边落在第一、三象限．
所以tan eq \f(α,2)>0，故tan eq \f(α,2)＝eq \r(\f(1－cos α,1＋cos α))
＝eq \r(\f(1－\f(2\r(5),5),1＋\f(2\r(5),5)))＝eq \r(5)－2.
【答案】 C
(2)原式＝
eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2sin2 \f(α,2)－2sin \f(α,2)cos \f(α,2)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin \f(α,2)＋cos \f(α,2))),\r(2×2sin2 \f(α,2)))
＝eq \f(2sin \f(α,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin \f(α,2)－cos \f(α,2)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin \f(α,2)＋cos \f(α,2))),2\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin \f(α,2))))
＝eq \f(sin \f(α,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin2 \f(α,2)－cos2 \f(α,2))),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin \f(α,2))))＝eq \f(－sin \f(α,2)cos α,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin \f(α,2)))).
因为－π<α<0，所以－eq \f(π,2)0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值；
(2)讨论f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上的单调性．
利用三角公式化简函数式，写为f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b的形式，再讨论函数的性质．
解：(1)f(x)＝4cos ωx·sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,4)))
＝2eq \r(2)sin ωx·cos ωx＋2eq \r(2)cos2 ωx
＝eq \r(2)(sin 2ωx＋cos 2ωx)＋eq \r(2)
＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2ωx＋\f(π,4)))＋eq \r(2).
因为f(x)的最小正周期为π，且ω>0，从而有eq \f(2π,2ω)＝π，故ω＝1.
(2)由(1)知，f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))＋eq \r(2).
若0≤x≤eq \f(π,2)，则eq \f(π,4)≤2x＋eq \f(π,4)≤eq \f(5π,4).
当eq \f(π,4)≤2x＋eq \f(π,4)≤eq \f(π,2)，
即0≤x≤eq \f(π,8)时，f(x)单调递增；
当eq \f(π,2)<2x＋eq \f(π,4)≤eq \f(5π,4)，
即eq \f(π,8)0，
cos eq \f(α,2)＝eq \r(\f(1＋cos α,2))＝eq \f(\r(30),6).
【答案】 C
2．已知cos α＝eq \f(3,5)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)π，2π))，则sin eq \f(α,2)等于( )
A．eq \f(\r(5),5)
B．－eq \f(\r(5),5)
C．eq \f(4,5)
D．eq \f(2\r(5),5)
解：由题知eq \f(α,2)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)π，π))，∴sin eq \f(α,2)>0，sin eq \f(α,2)＝eq \r(\f(1－cos α,2))＝eq \f(\r(5),5).
【答案】 A
3．已知sin α－cos α＝－eq \f(5,4)，则sin 2α的值等于( )
A．eq \f(7,16)
B．－eq \f(7,16)
C．－eq \f(9,16)
D．eq \f(9,16)
解：由sin α－cos α＝－eq \f(5,4)，
(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－sin 2α＝eq \f(25,16)，所以sin 2α＝－eq \f(9,16).
【答案】 C
4．(2014·山东高考)函数y＝eq \f(\r(3),2)sin 2x＋cos2x的最小正周期为________．
解：∵y＝eq \f(\r(3),2)sin 2x＋cos2x＝eq \f(\r(3),2)sin 2x＋eq \f(1,2)cos 2x＋eq \f(1,2)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))＋eq \f(1,2)，∴函数的最小正周期T＝eq \f(2π,2)＝π.
【答案】 π
化简eq \f(2cos2α－1,2tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))).
解：eq \f(2cos2α－1,2tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α)))
＝eq \f(cos 2α,\f(2cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α)),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α)))×sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α)))
＝eq \f(cos 2α,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋2α)))
＝eq \f(cos 2α,cos 2α)＝1.
学业分层测评
一、选择题
1．若函数f(x)＝－sin2 x＋eq \f(1,2)(x∈R)，则f(x)是( )
A．最小正周期为eq \f(π,2)的奇函数
B．最小正周期为π的奇函数
C．最小正周期为2π的偶函数
D．最小正周期为π的偶函数
解：f(x)＝－eq \f(1－cos 2x,2)＋eq \f(1,2)＝eq \f(1,2)cos 2x.故选D．
【答案】 D
2．(2016·邢台期末)若sin(π－α)＝－eq \f(\r(5),3)且α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(3π,2)))，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋\f(α,2)))等于( )
A．－eq \f(\r(6),3)
B．－eq \f(\r(6),6)
C．eq \f(\r(6),6)
D．eq \f(\r(6),3)
解：由题意知sin α＝－eq \f(\r(5),3)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(3,2)π))，
∴cos α＝－eq \f(2,3)，
∵eq \f(α,2)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3,4)π))，
∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋\f(α,2)))＝cos eq \f(α,2)
＝－eq \r(\f(1＋cos α,2))＝－eq \f(\r(6),6).故选B．
【答案】 B
3．(2016·鹤岗一中期末)设a＝eq \f(1,2)cos 7°＋eq \f(\r(3),2)sin 7°，b＝eq \f(2tan 19°,1－tan2 19°)，c＝eq \r(\f(1－cos 72°,2))，则有( )
A．b>a>c
B．a>b>c
C．a>c>b
D．c>b>a
解：a＝sin 37°，b＝tan 38°，c＝sin 36°，由于tan 38°>sin 38°>sin 37°>sin 36°，所以b>a>c.故选A．
【答案】 A
4．若sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β＝0，则sin(α＋2β)＋sin(α－2β)等于( )
A．1
B．－1
C．0
D．±1
解：∵sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β
＝sin(α＋β－β)＝sin α＝0，
∴sin(α＋2β)＋sin(α－2β)
＝2sin αcos 2β＝0.
【答案】 C
5．若函数f(x)＝(1＋eq \r(3)tan x)cos x，0≤x0，a∈R)，且f(x)的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为eq \f(π,6).
(1)求ω的值；
(2)设f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,3)))上的最小值为eq \r(3)，求a的值．
解：f(x)＝1＋cos 2ωx＋eq \f(\r(3),2)sin 2ωx－eq \f(1,2)cos 2ωx＋a＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2ωx＋\f(π,6)))＋a＋1.
(1)由2ωx＋eq \f(π,6)＝2kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，
得ωx＝kπ＋eq \f(π,6)(k∈Z)．
又ω>0，
∴当k＝0时，f(x)的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为x＝eq \f(π,6ω)＝eq \f(π,6)，故ω＝1.
(2)由(1)知f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))＋a＋1，
由eq \f(π,6)≤x≤eq \f(π,3)，得eq \f(π,3)≤2x≤eq \f(2,3)π，eq \f(π,2)≤2x＋eq \f(π,6)≤eq \f(5π,6)，
∴当2x＋eq \f(π,6)＝eq \f(5π,6)，即x＝eq \f(π,3)时，
f(x)取得最小值为eq \f(1,2)＋a＋1.
由eq \f(1,2)＋a＋1＝eq \r(3)，得a＝eq \r(3)－eq \f(3,2).
[能力提升]
1．(2016·临沂高一检测)已知450°<α<540°，则eq \r(\f(1,2)＋\f(1,2)\r(\f(1,2)＋\f(1,2)cos 2α))的值是( )
A．－sin eq \f(α,2)
B．cos eq \f(α,2)
C．sin eq \f(α,2)
D．－cos eq \f(α,2)
解：因为450°<α<540°，
所以225°
规范
编程规范下载gsp规范下载钢格栅规范下载警徽规范下载建设厅规范下载
解答】 ∵sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(β,2)))＝eq \f(4,5)，且α－eq \f(β,2)为第二象限角，
∴coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(β,2)))＝－eq \r(1－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(β,2))))＝－eq \f(3,5).
又coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)－β))＝－eq \f(12,13)，且eq \f(α,2)－β为第三象限角，
∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)－β))＝－eq \r(1－cos2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)－β)))＝－eq \f(5,13).
∴taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(β,2)))＝－eq \f(4,3)，taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)－β))＝eq \f(5,12)，
∴taneq \f(α＋β,2)＝taneq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(β,2)))－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)－β))))
＝eq \f(tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(β,2)))－tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)－β)),1＋tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(β,2)))tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)－β)))
＝eq \f(－\f(4,3)－\f(5,12),1－\f(4,3)×\f(5,12))＝－eq \f(63,16).
[再练一题]
4．(2016·来安中学期末)已知sin α－cos α＝－eq \f(\r(5),5)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))＝eq \f(3,5)，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2))).
(1)求sin α和cos α的值；
(2)求coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－β＋\f(π,4)))的值．
解：(1)由题意得(sin α－cos α)2＝eq \f(1,5)，
即1－sin 2α＝eq \f(1,5)，
∴sin 2α＝eq \f(4,5).又2α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，
∴cos 2α＝eq \r(1－sin2 2α)＝eq \f(3,5)，
∴cos2 α＝eq \f(1＋cos 2α,2)＝eq \f(4,5)，
∵α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))，∴cos α＝eq \f(2,\r(5))＝eq \f(2\r(5),5)，
sin α＝eq \f(1,\r(5))＝eq \f(\r(5),5).
(2)∵β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))，β－eq \f(π,4)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))，
∴coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))＝eq \f(4,5)，
coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－β＋\f(π,4)))
＝coseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(α－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))))
＝cos αcoseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))＋sin αsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))
＝eq \f(2\r(5),5)×eq \f(4,5)＋eq \f(\r(5),5)×eq \f(3,5)＝eq \f(11\r(5),25).
1．(2015·全国卷Ⅰ)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( )
A．－eq \f(\r(3),2)
B．eq \f(\r(3),2)
C．－eq \f(1,2)
D．eq \f(1,2)
解：sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°·cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝eq \f(1,2)，故选D．
【答案】 D
2．(2015·四川高考)sin 15°＋sin 75°的值是________．
解：sin 15°＋sin 75°＝sin 15°＋cos 15°
＝eq \r(2)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)sin 15°＋\f(\r(2),2)cos 15°))
＝eq \r(2)(sin 15° cos 45°＋cos 15° sin 45°)
＝eq \r(2)sin 60°＝eq \r(2)×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(\r(6),2).
【答案】 eq \f(\r(6),2)
(2015·浙江高考)函数f(x)＝sin2x＋sin xcos x＋1的最小正周期是________，单调递减区间是________.
解：∵f(x)＝sin2x＋sin xcos x＋1＝eq \f(1－cos 2x,2)＋eq \f(1,2)sin 2x＋1＝eq \f(1,2)sin 2x－eq \f(1,2)cos 2x＋eq \f(3,2)＝eq \f(\r(2),2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))＋eq \f(3,2)，∴函数f(x)的最小正周期T＝π.令eq \f(π,2)＋2kπ≤2x－eq \f(π,4)≤eq \f(3π,2)＋2kπ，k∈Z，解之可得函数f(x)的单调递减区间为
eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(3,8)π，kπ＋\f(7,8)π))(k∈Z)．
【答案】 π eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(3,8)π，kπ＋\f(7,8)π))(k∈Z)
4．(2015·天津高考)已知函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω>0)，x∈R.若函数f(x)在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y＝f(x)的图象关于直线x＝ω对称，则ω的值为________．
解：f(x)＝sin ωx＋cos ωx
＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,4)))，
因为f(x)在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数图象关于直线x＝ω对称，
所以f(ω)必为一个周期上的最大值，所以有ω·ω＋eq \f(π,4)＝2kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，所以ω2＝eq \f(π,4)＋2kπ，k∈Z.
又ω－(－ω)≤eq \f(2π,\f(ω,2))，即ω2≤eq \f(π,2)，所以ω2＝eq \f(π,4)，
所以ω＝eq \f(\r(π),2).
【答案】 eq \f(\r(π),2)
5．(2015·重庆高考)已知函数f(x)＝eq \f(1,2)sin 2x－eq \r(3)cos2x.
(1)求f(x)的最小正周期和最小值；
(2)将函数f(x)的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象．当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))时，求g(x)的值域．
解：(1)f(x)＝eq \f(1,2)sin 2x－eq \r(3)cos2x
＝eq \f(1,2)sin 2x－eq \f(\r(3),2)(1＋cos 2x)
＝eq \f(1,2)sin 2x－eq \f(\r(3),2)cos 2x－eq \f(\r(3),2)
＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))－eq \f(\r(3),2)，
因此f(x)的最小正周期为π，最小值为－eq \f(2＋\r(3),2).
(2)由条件可知
g(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))－eq \f(\r(3),2).
当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))时，
有x－eq \f(π,3)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(2π,3)))，
从而y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))的值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，
那么y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))－eq \f(\r(3),2)的值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1－\r(3),2)，\f(2－\r(3),2))).
故g(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))上的值域是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1－\r(3),2)，\f(2－\r(3),2))).
浙公网安备 33021202002483