2015中考数学(北师大版)图形的相似讲义

第四章 图形的相似 一 本章知识点 1、线段的比：在同一单位长度下，两条线段长度的比叫做这两条线段的比。 2、成比例线段：对于四条线段a,b,c,d，如果其中两条线段的长度的比与另外两条线段的长 度的比相等， 即 （或a：b=c：d），那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。此时也称这四条线段成比例。 注：在ab=cd中，a叫做第一比例项，b叫做第二比例项，c叫做第三比例项，d叫做第四比例项。 如果a∶b=c∶d，那么ad=cb。特别地，若a∶b=b∶d，即b2=ad，则b叫a，d的比例中项， 3、基本性质： SHAPE \* MERGEFORMAT ad=cb 比例式与乘积式互化： 如果a:b=c:d，那么ad=bc；反之亦成立；如果a:b=b:c，那么b2=ac；反之亦成立 *等积式先变4个比例式→上下颠倒或左右互换 ①如果ad=bc，那么 ； ②更换内项 ； ③更换外项 ； ④同时更换内外项 ； 4、合比定理： (在分子上进行加或减)（了解） 如果 ，那么① ② ①÷②得 5、等比定理： 6、比例尺：比例尺＝ ，即图上距离＝实际距离×比例尺。 7、平行线分三角形两边成比例 平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例. 【如图，∵DE∥BC，∴ 及其变形书写】 8、 黄金分割：点C把线段AB分成两条线段AC、BC，且满足AC2=AB•BC(或BC2=AC•AB)，则点 C即为线段AB的黄金分割点，AC:AB=BC:AC(或BC:AB)即为黄金比. 9、相似三角形的判定 预备定理：平行于三角形一边的直线，截其他两边(或两边的延长线)，所得的三角形与原三角形相似. 应用 格式 pdf格式笔记格式下载页码格式下载公文格式下载简报格式下载 ：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC 作EF∥AB，证口BDEF，∴DE=BF； 判定定理1: 两角对应相等，两个三角形相似. 判定定理2：三边对应成比例，两三角形相似. 判定定理3：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似. 判定结论4：斜边、直角边对应成比例，两直角三角形相似. 10、相似三角形的性质 ⑴相似三角形的对应角相等，对应边成比例； ⑵相似三角形的对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比； ⑶相似三角形周长的比等于相似比； ⑷相似三角形面积的比等于相似比的平方. 注：相似多边形有类似的性质 11、利用相似三角形测高 1. 利用阳光下的影子测物体的高度 测量工具：皮尺 测量方法：量出观侧者的身高以及同一时刻观测者和被测物体的影子的长度。 测量数据：观测者身高、影长和被测物体的影长 测量原理：由太阳光线是平行线得出两个直角三角形相似。 优点：除观测者外不需要其它工具，简单易行，好操作。 缺点：受太阳光的限制，只能在有太阳光时进行操作。 2. 利用标杆测物体的高度 测量工具：标杆（高度要高于观测者的身高），皮尺。 测量方法：观测者的眼睛要与标杆的顶端和被测物体的顶端在一条直线上。 测量数据：观测者的眼睛到地面的距离、观测者与标杆的距离、标杆与被测物体的距离。 测量原理：由标杆和被测物体平行得出两个直角三角行相似。 优点：只需要标杆和观测者即可，不受太阳光的限制。 缺点：计算量大。 3. 利用镜子的反射测物体的高度 测量工具：小镜子、皮尺。 测量方法：在镜子上做标记，使被测物体顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合。 测量数据：观测者的眼睛与地面的距离、观测者和镜子的距离、镜子和被测物体的距离。 测量原理：由入射角等于反射角得出两个直角三角形相似。 优点：只需要镜子和观测者即可，不受太阳光的限制。 缺点：操作过程稍显复杂。 12、位似：如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心。 13、图形的放大（缩小） 所谓图形的放大与缩小，实际上就是画原图形的相似图形。方法有：位似图形法、平行线法、测量法、格点法等。 位似图形法：1.确定位似中心；2.连接并延长对应点；3.连接关键点。 14、平面直角坐标系中的图形的位似 在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横、纵坐标都乘以同一个数k(k≠0)，所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为∣k∣。 15、证明等积式(比例式)策略 1、直接法：通过证明三角形相似 观察比例式分子中两条线段(三个顶点字母)与分母中两条线段是否在两个(相似)三角形 中；变化：等号同侧的分子与分母组成三角形 2、间接法： ⑴3种代换 ①等线段代换； ②等比代换； ③等积代换； ⑵创造条件 ①添加平行线——创造“A”字型、“X”字型 ②先证其它三角形相似——创造边、角条件 二 规律与方法 1 基本图形及变化图——给出一对角相等证相似 几个重要模型 重要模型1——双垂直 （射影定理） 如图∵∠ACB=90°，CD⊥AB ∴△ACD∽△CDB∽△ABC 几个重要结论： （1）△ACD∽△CDB→AC:BC=AD:CD=CD:BD→CD2=AD•BD （2）△ACD∽△ABC→AC:AB=AD:AC=CD:BC→AC2=AD•AB （3）△CDB∽△ABC→CD:AB=BC:AC=BD:BC→BC2=BD•AB （4）⑵÷⑶得AC2:BC2=AD:BD （5）面积法得AB•CD=AC•BC→比例式 （6）特殊图形——∠ACD=∠B(∠A=∠A) △ABC∽△ACD→CD:BC=AC:AB=AD:AC→AC2=AD•AB “双垂直”中的计算： 例 如图，在Rt△ABC中,∠ACB=90°，CD⊥AB于D. (1) 已知AB=29，AD=4，求CD和AC； (2)已知BC=5， CD=4，求AD和BD； (3)已知BC=10，AD=6，求BD和AC (4)已知CD=10，AD=4，求BC和AC. 重要模型2——“一线三等角” （图1） （图2） 例 （1）如图1：已知三角形ABC中，AB=AC,∠ADE=∠B,那么一定存在的相似三角形有 （2）如图2：已知三角形ABC中，AB=AC,∠DEF=∠B,那么一定存在的相似三角形有 见多识广：其他常见的一线三等角图形 例：如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E为DC边上的动点，EF⊥AE交BC于F，连结AF. 在△ADE与△CEF、△ADE与△ABF、△ADE与△AEF中， (1)如果一定相似，请证明； (2)如果一定不相似，请说明理由； (3)如果不一定相似，请指出当点E在什么位置时相似. 重要模型3——三角形内(外)角平分线定理及应用： 三角形内角平分线定理：三角形任意两边之比等于它们夹角的平分线分对边之比。 三角形外角平分线定理：三角形两边之比等于其夹角的外角平分线外分对边之比 1、已知：如图所示，AD是△ABC的内角∠BAC的平分线，求证： BA/AC=BD/DC; 按下列提示证一证： ①过D作DE∥AC交AB于E②过B作BE∥AC交AD的延长线于E ③过C作CE∥AD交BA的延长线于E， 2、已知：如图所示，AD是△ABC中∠BAC的外角∠CAF的平分线。求证： = 典型例题 一 选择题 1.下列四组图形中，不是相似图形的是（ ） 2．下列线段能构成比例线段的是 （ ） A．1cm,2cm,3cm,4cm B．1cm, cm, cm,2cm C． cm, cm, cm,1cm D．2cm, 5cm, 3cm, 4cm 3．梯形两底分别为m、n，过梯形的对角线的交点，引平行于底边的直线被两腰所截得的线段长为（　　） （A） 　（B） 　（C） 　（D） 4．如图，在正三角形ABC中，D，E分别在AC，AB上，且 ＝ ，AE＝BE，则（　） （A）△AED∽△BED（B）△AED∽△CBD（C）△AED∽△ABD（D）△BAD∽△BCD 题4 题6 题7 5．P是Rt△ABC斜边BC上异于B、C的一点，过点P作直线截△ABC，使截得的三角形与 △ABC相似，满足这样条件的直线共有（　　） （A）1条　　　（B）2条　　　（C）3条　　　（D）4条 6．如图，∠ABD＝∠ACD，图中相似三角形的对数是（　　） （A）2　　　（B）3　　　（C）4　　　（D）5 7．如图，ABCD是正方形，E是CD的中点，P是BC边上的一点，下列条件中，不能推出△ABP与△ECP相似的是（　　） （A）∠APB＝∠EPC　（B）∠APE＝90°（C）P是BC的中点（D）BP︰BC＝2︰3 8．如图，△ABC中，AD⊥BC于D，且有下列条件： （1）∠B＋∠DAC＝90°；（2）∠B＝∠DAC；（3） ＝ ；（4）AB2＝BD·BC 其中一定能够判定△ABC是直角三角形的共有（　　） （A）3个　　　（B）2个　　　（C）1个　　　（D）0个 题8 题9 题10 9．如图，将△ADE绕正方形ABCD顶点A顺时针旋转90°，得△ABF，连结EF交AB于H，则下列结论中错误的是（　　） （A）AE⊥AF　（B）EF︰AF＝ ︰1（C）AF2＝FH·FE　（D）FB︰FC＝HB︰EC 10．如图，在矩形ABCD中，点E是AD上任意一点，则有（　　） （A）△ABE的周长＋△CDE的周长＝△BCE的周长 （B）△ABE的面积＋△CDE的面积＝△BCE的面积 （C）△ABE∽△DEC（D）△ABE∽△EBC 11．如图，在□ABCD中，E为AD上一点，DE︰CE＝2︰3，连结AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，则S△DEF︰S△EBF︰S△ABF等于（　　） （A）4︰10︰25　（B）4︰9︰25　（C）2︰3︰5　（D）2︰5︰25 题11 题12 题13 12．如图，直线a∥b，AF︰FB＝3︰5，BC︰CD＝3︰1，则AE︰EC为（　　）． （A）5︰12　　（B）9︰5　　（C）12︰5　　（D）3︰2 13．如图，矩形纸片ABCD的长AD＝9 cm，宽AB＝3 cm，将其折叠，使点D与点B重合，那么折叠后DE的长和折痕EF的长分别为（　　） （A）4 cm、 cm　（B）5 cm、 cm（C）4 cm、2 cm　（D）5 cm、2 cm 题14 14．某学生想测量学校旗杆的高度，如图已知测得学生身高和其影子长均为1.75m，影子长为13.8m，则学校旗杆的高度约为（　　） A．15.55m B．13.8m C．12.05m D．数据不够不能确定 15.如图，小李用长为4m竹竿做测量工具测量学校，竹移动竿，使竹竿、顶端影子恰好落在地面同一点．此时，竹竿与这一点相距8m，与相距22m，则高为（　　） A．11m B．15m C．30m D．60m 16．小红所在的数学兴趣小组运用的反射来测教学楼的，其中不需要测量的量为（　　） A．人到镜子的距离 B．镜子到教学楼的距离 C．人眼到地面的距离 D．镜子到人眼的距离 17.两个相似三角形的相似比是1:2，其中较小三角形的周长是6CM,则较大的三角形的周长是（ ） A.3CM B.6CM C.9CM D.12CM 18. （2014•鄂州三模）如果两个多边形的比为16：9，那么这两个多边形的比为（　　） A．16：9 B．4：3 C．2：3 D．256：81 19.（2008•河北）图中的两个三角形是图形，它们的中心是（　　） A．点P B．点O C．点M D．点N 20.下列说法正确的是（ ） A.位似图形可以通过平移而相互得到 B．位似图形的对应边平行且相等 C.位似图形的位似中心不是只有一个 D,位似图形上对应点到位似中心的距离都相等 21.下列五个图案：其中，位似图形共有（　　） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二 填空题 ⒈ 若AB=1m，CD=25cm，则AB∶CD=_____；若线段AB=m, CD=n，则AB∶CD=_____ . ⒉ 若MN∶PQ=4∶7，则PQ∶MN= _____ ， MN=_____ PQ， PQ=_____ MN。 ⒊ 若线段a，b，c，d成比例，其中a=5㎝，b=7㎝，c=4㎝，则,d= _____ ． ⒋ 若a·b=c·d则有a∶d= _____ ；若m∶x=n∶y, 则x∶y=_____ . ⒌ 已知4x－5y=0，则（x＋y）∶（x－y）的值为_____． ⒍ 若x∶y∶z=2∶7∶5，且x－2y＋3z=6，则x=_____ ，y=_____ ，z= _____ ； ⒎ 设 ⒏ 已知点C是线段AB的黄金分割点,且AC>BC,则AC∶AB=_____ . 9．已知线段a＝6 cm，b＝2 cm，则a、b、a＋b的第四比例项是_____cm，a＋b与 a－b的比例中项是_____cm． 10．如图，□ABCD中，E是AB中点，F在AD上，且AF＝ FD，EF交AC于G，则AG︰AC＝______． 题10 题11 题12 11．如图，AB∥CD，图中共有____对相似三角形． 12．如图，已知△ABC，P是AB上一点，连结CP，要使△ACP∽△ABC，只需添加条件______（只要写出一种合适的条件）． 13．如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC，EF∥BC，AB＝15，AF＝4，则DE的长等于________． 题13 题14 14．如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，AE＝EC，AD＝18，BE＝15，则 △ABC的面积是______． 15．要测量旗杆的高度，已测得旗杆的影长为20m，如果此时附近小树影长为2.5m，且小树高为1.5m，那么旗杆的高度是 ＿＿＿ m． 16、41．（2011•朝阳）如图，身高是1.6m的某同学直立于旗杆影子的顶端处，测得同一时刻该项同学和旗杆的影子长分别为1.2m和9m，则旗杆的高度为＿＿＿m． 17.（2013•龙岗区模拟）如图；课外活动小组测量学校旗杆的高度．如图，在地面上C处放一小镜子，当镜子离旗杆AB底端6米，小明站在离镜子3米的E处，恰好能看到镜子中旗杆的顶端，测得小明眼睛D离地面1.5米，则旗杆AB的高度约是＿＿＿米． 18.为了测量操场中旗杆的高度，小明学习了“太阳光与影子”，设计了如图所示的测量 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 ，根据图中标示的数据可知旗杆的高度为＿＿＿． 19．小华要测量铁塔AB的，他在地面上放置一个平面镜E．与铁塔的距离EB=20m．小华距离ED=2m．此时小华刚好从中看到铁塔的顶端A．若小华的眼睛距离地面CD=1.5m，则铁塔的是＿＿＿ m． 20. 如图，空白部分的与阴影部分的相似比是＿＿＿，阴影部分的与大三角形的相似比＿＿． 21.已知，如图，A′B′∥AB，B′C′∥BC，且OA′：A′A=4：3，则△ABC与＿＿＿是位似图形，比为 ＿＿＿；△OAB与＿＿＿ 是位似图形，位似比为＿＿＿. ． 三 解答题 1 .方格纸中，每个小格的顶点叫做格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形 ．请你在图示的10×10的方格纸中，画出两个相似但不全等的格点三角形，并加以证明（要求所画三角形是钝角三角形，并标明相应字母）． 2. 如图，ΔABC与ΔADB中，∠ABC=∠ADB=90°，AC=5cm，AB=4cm，如果图中的两个直角三角形相似，求AD的长。 3. 如图,⊿ABC是等边三角形,点D,E分别在BC,AC上,且BD=CE,AD与BE相交于点F. (1)试说明⊿ABD≌⊿BCE。 (2)⊿AEF与⊿ABE相似吗?说说你的理由。 (3)BD =AD·DF吗?请说明理由。 4. 已知：如图，F是四边形ABCD对角线AC上一点，EF∥BC，FG∥AD．求证 ＋ ＝1 5.在正方形ABCD中，AB = 2， P是BC 边上与 B、C 不重合的任意点，DQ⊥AP于Q。 (1)试说明ΔDQA∽ΔABP。 (2)当P 点在BC上变化时，线段 DQ 也随之变化。 设PA= x,，DQ= y，求 y 与 x 之间的函数关系式？ 6. 如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥EC交AB于F，连结FC（AB＞AE）． （1）△AEF与△EFC是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由； （2）设 ＝k，是否存在这样的k值，使得△AEF∽△BFC，若存在，证明你的结论并求出 k的值；若不存在，说明理由． 7. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6 cm，CA＝8 cm，动点P从点C出发，以每秒2 cm的速度沿CA、AB运动到点B，则从C点出发多少秒时，可使S△BCP＝ S△ABC？ 8. 如图，小华家（点A处）和公路（L）之间竖立着一块35m长且平 行于公路的巨型广告牌（DE）．广告牌挡住了小华的视线，请在图中画出视点A的盲区，并将盲区内的那段公路设为BC．一辆以60km/h匀速行驶的汽车经过公路段BC的时间是3s，已知广告牌和公路的距离是40m，求小华家到公路的距离（精确到1m）． 9. 阳光通过窗口照射到室内,在地面上留下2.7m宽的亮区(如图所示),已知亮区到窗口下的墙脚距离EC=8.7m,窗口高AB=1.8m,求窗口底边离地面的高BC. 10、如图，在 中， ， .点 从点 开始，沿 边向点B以 的速度移动；点 从点 开始，沿边 向点 以的速度移动，如果 、 同时出发，经过几秒钟， 与 相似？ 11、如图，在 中， ， ， ，点 在直角边 上（点 与 、 两点均不重合），点 在斜边 上（点 与 、 两点均不重合）. （1）若 平分 的周长，设 的长为 ，试用含 的代数式 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示 的面积； （2）是否存在线段 ，将 的周长和面积同时平分？若存在，求出此时 的长，若不存在，说明理由. 12. 如图，在平面直角坐标系中，已知OA=12cm，OB=6cm，点P从O点开始沿OA边向点A以1cm/s的速度移动：点Q从点B开始沿BO边向点O以1cm/s的速度移动，如果P、Q同时出发，用t(s)表示移动的时间（ ），那么： （1）设△POQ的面积为 ，求 关于 的函数解析式。 （2）当△POQ的面积最大时，△ POQ沿直线PQ翻折 后得到△PCQ，试判断点C是否落在直线AB上， 并说明理由。 （3）当 为何值时， △POQ与△AOB相似？ 13.认真阅读并解答。 学校旗杆是多少米？ 14.九年级（1）班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度，已知标杆高度CD=3m，标杆与旗杆的水平距离BD=15m，人的眼睛与地面的高度EF=1.6m，人与标杆CD的水平距离DF=2m，求 旗杆AB的高度． 15.已知两个相似三角形的一对对应角平分线的长分别是35CM和14CM. (1)已知它们的周长相差60CM,求这两个三角形的周长。 （2）已知它们的面积相差588CM2,求这两个三角形的面积。 16. 如图，以点O为位似中心，位似比为2，画出△ABC的位似△A′B′C′． 17.将一个等腰直角三角形放大，使放大后的三角形的边长是原三角形对应边长的3倍，画出图形，并分别确定放大前后对应斜边的比值、对应直角边的比值。 ↓ 给出一对角相等证相似 ①∠ADE=∠ABC 或∠AED=∠ACB， 证平行得相似 ②或：根据所给条件(同上)加上 隐含条件(公共角或对顶角相等)证相似 等腰三角形中底 边上一线三等角 等腰梯形中底边 上一线三等角 三垂型 直角坐标系 中一线三等角 矩形中一线三等角 A B C D � EMBED PBrush ��� � EMBED PBrush ��� O P A x y B Q _1234567890.unknown _1234567891.unknown _1234567892.unknown _1234567893.unknown _1234567894.unknown _1234567895.unknown _1234567896.unknown _1234567897.unknown _1234567898.unknown _1234567899.unknown _1234567900.unknown _1234567901.unknown _1234567902.unknown _1234567903.unknown _1234567904.unknown _1234567905.unknown _1234567906.unknown _1234567909.unknown _1234567910.unknown _1234567911.unknown _1234567912.unknown _1234567913.unknown _1234567914.unknown _1234567915.unknown _1234567916.unknown _1234567917.unknown _1234567918.unknown _1234567919.unknown _1234567920.unknown _1234567921.unknown _1234567922.unknown _1234567924.unknown _1234567925.unknown _1234567926.unknown _1234567927.unknown _1234567931.unknown _1234567933.unknown _1234567934.unknown _1234567935.unknown _1234567936.unknown _1234567937.unknown _1234567939.unknown _1234567940.unknown _1234567941.unknown _1234567942.unknown _1234567943.unknown _1234567944.unknown _1234567945.unknown _1234567946.unknown _1234567947.unknown _1234567948.unknown _1234567949.unknown _1234567950.unknown _1234567951.unknown _1234567952.unknown _1234567953.unknown _1234567954.unknown _1234567955.unknown _1234567956.unknown _1234567957.unknown _1234567958.unknown _1234567959.unknown _1234567960.unknown _1234567961.unknown _1234567962.unknown _1234567963.unknown _1234567964.unknown _1234567965.unknown _1234567966.unknown _1234567967.unknown _1234567968.unknown _1234567969.unknown _1234567970.unknown _1234567971.unknown _1234567972.unknown _1234567973.unknown _1234567974.unknown _1234567975.unknown _1234567976.unknown _1234567977.unknown _1234567978.unknown _1234567979.unknown _1234567980.unknown _1234567981.unknown