悬链线方程

　通常任何材料包括导线在内，都具有一定的刚性，但由于悬挂在杆塔上的一档导线相对较长，因此导线材料的刚性对其几何形状的影响很小，故在计算中假定：　　（1）导线为理想的柔索。因此，导线只承受轴向张力（或拉力），任意一点的弯矩为零。这样导线力学计算可应用理论力学中的柔索理论进行计算。<ShowPositionControls="0"ShowControls="1"invokeURLs="-1"volume="50"AutoStart="0"ShowStatusBar="1">　　（2）作用在导线上的荷载均指同一方向，且沿导线均匀分布。一、悬链线方程及曲线弧长　　1.悬链线方程　　为了分析方便，我们先从悬挂点等高，即相邻杆塔导线悬挂点无高差的情况讨论导线的应力及几何关系。实际上，导线悬在空中的曲线形态，从数学角度用什么方程来描述是进行导线力学分析的前 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 。由于假定视导线为柔索，则可按照理论力学中的悬链线关系来进行分析，即将导线架设在空中的几何形态视为悬链形态，而由此导出的方程式为悬链线方程。　　如图2－5所示，给出了悬挂于A、B两点间的一档导线，假定为悬挂点等高的孤立档，设以导线的最低点O点为原点建立直角坐标系。　　　　图2-5　导线悬链线及坐标系　　同时假定导线固定在导线所在的平面，可随导线一起摆动，显然这是一个平面力系。根据这个坐标进行导线的受力分析，可建立导线的悬链线方程。　　我们先从局部受力分析开始，再找出其一般规律。首先在导线上任取一点D（x,y），然后分析OD段导线的受力关系，由图2－5所示，此OD段导线受三个力而保持平衡，其中D点承受拉力为Tx=σxS，它与导线曲线相切，与x轴夹角为α；O点承受拉力为T0=σ0S，T0为导线O点的切线方向，恰与x轴平行，故又称水平张力；此外还有OD段导线自身的荷载为G=gSLx，其中Lx为OD段导线的弧长。　　将OD段导线的受力关系画为一个三角形表示，如图2－6所示，　　　　图2-6　导线受力情况　　由静力学平衡条件可知，在平面坐标系中，其水平分力，垂直分力的代数和分别等于零。或沿x轴或y轴上分力代数和分别等于零。　　垂直方向分力G=Txsinα=gSLx;水平方向分为T0=Txcosα=σ0S。其中σ0、T0为导线最低点的应力和张力，σx、Tx为导线任一点的应力和张力，S、g为导线截面和比载。将上述二式相比，则可求得导线任意一点D的斜率为：　　　(2-10)　　由微分学知识可知，曲线上任一点的导数即为切线的斜率。　　式（2－10）是悬链曲线的微分方程。我们要用坐标关系表示出导线受力的一般规律，还需要将不定量Lx消去，因此，将式对x微分得：　　　　（微分学中弧长微分公式为dS2=(dx)2+(dy)2）将上式移项整理后，两端进行积分　　　　这是个隐函数，因此，再进行分离变量积分，查积分公式有：　　　（2－11）　　再进行分离变量积分，有　　　　于是，导线任一点D的纵坐标为：　　　（2－12）　　式（2－12）是悬链方程的普通形式，其中C1和C2为积分常数，其值可根据取坐标原点的位置及初始条件而定。如果将坐标原点于导线最低点处，则有下述初始条件：　　x=0,dy/dx=tgα=0　　代入式（2－11）则C1＝0，将x=0,y=0,C1＝0代入式（2－12），，如此，求得坐标原点最低点O处的悬链方程为：　　　（2－13）　　式中σ0—水平应力(即导线最低点应力)，MPa;　　　　g—导线的比载，N/m.mm2。　　当坐标原点选在其它点（例如选在悬挂点处）时，悬链线方程的常数项将有所不同，可以得到不同的公式。若式（2－13）中x代表档距的时候，则y即为导线的弧垂，因此悬链线方程描述了导线弧垂与应力、比载及档距之间的基本关系，此式称为精确式。　　实际上导线的悬链线方程还可以从另一种方式进行推导,下面介绍如下：　　由式,对其求导得：　　　　变换为,为找原函数进行积分,　　由积分式两边积分，　　则有：变为指数形式为　　这是个隐函数，为解出，对应有式：　　将两式相减则有：　　因为双曲正弦函数为：　　双曲余弦函数为：　　又因为：　　最后积分有：　　定积分常数,因在坐标原点则，其结果是一样的，即　　在线路设计中，为了计算上的方便，一般不使用精确式方程，而是将其展开为泰勒级数形式。将悬链线方程式（2－13）展开成无穷级数（在x=0点），可得：　　　（2－14）　　2．曲线弧长（或弧长方程）　　导线最低点O至任一点的曲线长度叫做弧长，用Lx表示。将式（2－11）代入式（2－10）中，且积分常数C1＝0，得导线的弧长方程为　　　（2－15）　　根据式（2－15）可以计算一个档距内导线的曲线长度（也叫一档线长）将弧长方程式（2－15）展开成无穷级数可得：　　　（2－16）一质量均匀分布的绳两端悬挂时绳子所表示的曲线为悬链线。关于悬链线解析方程的求解，我很早就知道其方程为双曲余弦函数。然而当时数学水平尚未满足要求。后来学会关于双曲函数的相关内容后，又由于坚信绳中张力处处相等而推出悖论，本研究就此搁浅。直到7月初，我又想起了该曲线的方程求解问题。需要说明的一点是，绳中张力处处相等要求绳子无质量、绷紧，对于悬链显然不适用。但受力方向沿着绳是正确的，所以必须结合力的方向来求解。假设一个无限长的质量均匀分布的绳子在重力作用下自然下垂。设绳底端受到拉力为T0，线密度为ρ，重力加速度g。如图所示建立直角坐标系，设绳对应的函数为y=f(x)对于横坐标从0至x这一段的绳，设质量为m，长度L，受重力为G，受顶端拉力大小为T，该力倾斜角为θ该段绳受三力平衡：T、G、T0，画出受力示意图，有G/T0=tanθ由导数的几何意义，tanθ=dy/dx，而G=mg=ρgL，故ρgL/T0=dy/dx，ρgL=T0*dy/dx对上式取微分，得ρg*dL=T0*d2y/dx，而dL=(dx2+dy2)1/2=[1+(dy/dx)2]1/2*dx，代入得ρg[1+(dy/dx)2]1/2=T0*d2y/dx2=T0*d(dy/dx)/dx，令dy/dx=P，则ρg(1+P2)1/2=T0*dP/dx，ρg/T0*dx=dP/(1+P2)1/2对两侧取积分得∫ρg/T0*dx=∫dP/(1+P2)1/2ρgx/T0=sinh-1P+C1，P=sinh(ρgx/T0-C1)，dy/dx=sinh(ρgx/T0-C1)当x=0时，dy/dx=0，代入得sinh(-C1)=0,C1=0，故dy=sinh(ρgx/T0)*dx再次积分，得y=T0/ρg*cosh(ρgx/T0)+C2当x=0时，y=0，故0=T0/ρg*cosh0+C2,C2=-T0/ρg设k=T0/ρg，则y=kcosh(x/k)-k，若只考虑其形状可忽略常数项，故悬链线方程为y=kcosh(x/k)-k，其中k=T0/ρg关于双曲函数的一些说明：双曲正弦函数sinhx=(ex-e-x)/2，双曲余弦函数coshx=(ex+e-x)/2由其定义可得d(sinhx)/dx=coshx，d(coshx)/dx=sinhx，cosh2x-sinh2x=1其反函数分别为反双曲正弦函数sinh-1x=ln[x+(x2+1)1/2]，反双曲余弦函数cosh-1x=ln[x+(x2-1)1/2]涉及的一步积分：在∫dP/(1+P2)1/2中，令P=sinht∫dP/(1+P2)1/2=∫d(sinht)/(1+sinh2t)1/2=∫cosht*dt/cosht=∫dt=t+C=sinh-1P+C