2019-2020学年高中数学 重要不等式专题讲座教案 北师大版

2019-2020学年高中数学 重要不等式专题讲座 教案 中职数学基础模块教案 下载北师大版¥1.2次方程的根与系数的关系的教案关于坚持的教案初中数学教案下载电子教案下载 北师大版 1、平均值不等式 设 是非负实数，则 2、柯西（Cauchy）不等式 设 ，则 等号成立当且仅当存在 ，使 上述两个不等式在数学竞赛中应用极为广泛，好的、难的不等式问题往往只需用它们即可解决，而无需过分追求所谓更“高级”的不等式，这是需要注意的。 3．排序不等式 设 是 的一个排列，令 . 则 证明 若 ， 由 . 设 ， 则 可见按上述 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 调整后， 的值不增，若此时在 中 ，仿上又可得 ，最多经过 步调整以后，若在 中 ，将其中的 与 互换，得到 ，则 ，故 所以， 由于 ， 利用上面所证结论，得 综上，命题获证。 排序不等式可简述为：“反序和 4．琴生不等式 若 是区间 上的凸函数，则对任意的点 EMBED Equation.DSMT4 有 等号当且仅当 时取得。 证明 当 时，命题显然成立。 假设 时命题成立，当 时，令 则 EMBED Equation.3 又令 EMBED Equation.3 EQ \A(∴) 所以， 当且仅当 时取等号。 综上所述，对一切正整数 ，命题成立。 另外，绝对值不等式 等也是较为常用的。 解答不等式问题往往没有固定的模式，证法因题而异，多种多样，不等式问题的趣味性和灵活性决定了它在数学竞赛中的地位。 当然，熟悉并掌握一些常用的解决不等式问题的方法技巧是很有必要的，除比较法、放缩法、反证法、 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 法、综合法等基本方法外，数学归纳法、变量代换（含局部、整体、三角、复数代换等）、函数方法（利用单调性、凸性、有界性及判别方法等）、构造法（构造恒等式、数列、函数等）、调整法等在数学竞赛中也是常用的。 要多做题，多 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf ，融会贯通，举一反三，才能提高解决、研究不等式问题的能力. 例1 设 ，求证： 证明 令 ，则 分两种情形： （1） 时， . EQ \A(∴) （2） 时， . EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 点评 注意到 ，故先作代换 ，使 的表达形式更简单，放缩较为大胆，但要注意 时能取到符号，放缩不能过头，最后回到平均值不等式。 例2 记 ，求证： 证明 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 欲证式 由柯西不等式，有 EMBED Equation.DSMT4 又由柯西不等式，有 EMBED Equation.DSMT4 . ∴ 欲证不等式成立。 点评 本题有一定的难度，第一步代数变形是基本功，将 化为若干项之和，便于处理. 第二、三步对柯西不等式的两种不同的运用堪称范例，值得回味。 例3 设 ，证明： 证明 我们证明 ① 事实上，① ，而 ，故①成立. 同理， . 因此， ，故原不等式左边成立. 下面证明原不等式右边： ， 记 ，则 ， 当 时， ， 因此 在 时是增函数， EMBED Equation.DSMT4 当 时， ， 因此 在 是上凸函数， 由Jesen不等式， ② 又知 结合 在 递增， EQ \A(∴) ③ 由②③可得 ， 所以 EMBED Equation.DSMT4 综上所述，故原不等式获证. 例4 设 ， 满足 EMBED Equation.DSMT4 求证： 证明 记 ，则 设 且 是 的一个排列，且使 又设 EMBED Equation.DSMT4 . 则 ，故 不妨设 （否则，若 ，取 ，此时 仍满足题设，且 ，不影响结论的一般性）。 由排序不等式，有 即欲证不等式成立。 点评 绝对值符号内的各项分正负来处理是一个关键，注意到 ，再通过适当的放缩即可证得结论。 例5 设 ，求证： 证明 注意到函数 在 上是增函数， EQ \A(∴) 当时， 故只需证明： ，其中 即证 . 由于 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 . EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 . 从而，欲证不等式成立。 例6 试确定所有的正常数 ，使不等式 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 对满足 的非负数 均成立。 解 全部解 ，其中 取 及 ，便得 及 下面证明： 对满足 的非负实数 都成立。 只需证明关于 的齐次式： 对满足 的非负实数 都成立。 令 EMBED Equation.DSMT4 由柯西不等式， . 又 均为非负实数， EQ \A(∴) . 结合 ， . 故 综上，所求全部解 点评 先取特殊值（如中值、边值）得参数的范围，再证明在这个范围内不等式成立，这是含参不等式的处理方法。 例7 正实数 满足条件： ， . 证明：对于任意确定的 ，如果 ，则 . 证明 由已知条件及柯西不等式，得 . 令 ，显然有 EQ \A(∵) ， EQ \A(∴) 由已知，得 又对于固定的 ，有 ， EQ \A(∴) . 又 ， EQ \A(∴) 由柯西不等式，得 ； 两个不等式相加，得 所以， 由定义及 ，有 从而， EQ \A(∴) ，即 . 原命题获证。 练习题 用券下载整式乘法计算练习题幼小衔接专项练习题下载拼音练习题下载凑十法练习题下载幼升小练习题下载免费 ： 1．设 ，求证： 证明 欲证式 由柯西不等式， ① 注意到 又 . 故 ② 由①② 欲证式成立. 点评 这种带条件的三元分式不等式很常见，用柯西不等式来证的较多，要适当选择 和 ，便于运用柯西不等式 2．已知△ABC的外接圆半径为R，半周长为p，面积为S. 求 的最大值. 解 . 因为 在 内为上凸函数，所以， EMBED Equation.3 故 当 时， 取得最大值 3．设 是一个无穷项的实数列，对于所有正整数 存在一个实数 ，使得 且 对所有正整数 成立，证明： 分析 我们利用柯西不等式处理该问题是本题成功关键。 证明 对于 ，设 为 的一个排列且满足： . EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EQ \A(∴) EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 （柯西不等式） EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 . 故 评注 这里抓住整体性质，利用不等式处理问题是常用的思想方法。 4．对任意a,b,c R+，证明： （a2+2）（b2+2）（c2+2）≥ 9（ab+bc+ca）. 证明 原不等式 EQ \A(⇔) a2 b2 c2 +2+4 +8 ≥ 9. 由抽屉原理，不妨设a和b同时大于等于1，或同时小于等于1。 则 c2（a2-1）（b2-1）≥ 0 即 a2 b2 c2+ c2≥a2 c2+ b2 c2 由均值不等式，有 以及 ≥ . EQ \A(∴) 2+ 3 + 6 ≥ 7 . 又由 EQ \A(①) 知2+ a2 b2 c2+=2+ a2 b2 c2+ EMBED Equation.DSMT4 ≥ a2 + b2 + a2c2 + b2c2 +2 = (a2 + b2 )+ (a2c2 +1)+( b2c2 +1) ≥2a b+2ac+2bc EQ \A(∴) 2+ a2 b2 c2+≥2a b+2ac+2bc. EQ \A(③) 得a2 b2 c2 +2 EQ \A(①) ++4 +8 ≥ 9. 即原不等式成立。 评注 这是一道美国数学奥林匹克试题。这里用抽屉原理构造了一个局部不等式，结合算术－几何平均值不等式给出了一个很精巧的证明，本题也可以利用柯西不等式与算术－几何平均值来证明。 5．设 是正实数无穷序列. 证明：对任意正整数N，不等式 成立，其中 是 的算术平均值，即 证明 由 ，有 （ EQ \A(∵) ） . EQ \A(∴) . 两边分别求和，得 因此， 由cauchy不等式，得 EQ \A(∴) EQ \A(∴) _1144611758.unknown _1144697683.unknown _1144697893.unknown _1144697895.unknown _1144697958.unknown _1144697980.unknown _1144698218.unknown _1144698578.unknown _1144698585.unknown _1144698607.unknown _1144700053.unknown _1144700054.unknown _1144782558.unknown _1144782559.unknown _1144782566.unknown _1144782594.unknown _1144782829.unknown _1144782841.unknown _1144782847.unknown _1144782949.unknown _1144782978.unknown _1144783119.unknown _1144783446.unknown _1144783447.unknown _1174459167.unknown _1174459242.unknown _1174459259.unknown _1174459283.unknown _1174459408.unknown _1174459482.unknown _1174459526.unknown _1174459621.unknown _1174459683.unknown _1174459792.unknown _1174460492.unknown _1178919568.unknown _1178919810.unknown _1178919881.unknown _1178919915.unknown _1178919932.unknown _1178919990.unknown _1179682709.unknown _1198739821.unknown _1198739859.unknown _1198740030.unknown _1198740060.unknown _1198741429.unknown _1198823265.unknown _1198823270.unknown _1198823366.unknown _1198823435.unknown _1198823463.unknown _1198823472.unknown _1198823480.unknown _1198823487.unknown _1198823510.unknown _1198823527.unknown _1198823793.unknown _1198823840.unknown _1198823924.unknown _1211057653.unknown _1223145653.unknown _1223145915.unknown _1223145923.unknown _1223145944.unknown _1223145949.unknown _1223146020.unknown _1223146087.unknown _1223146113.unknown _1223146127.unknown _1223146253.unknown _1223146282.unknown _1223146329.unknown _1223146340.unknown _1223146544.unknown _1223147071.unknown _1223147095.unknown _1223147167.unknown _1223147240.unknown _1242463098.unknown _1242493309.unknown _1242493525.unknown _1242493658.unknown _1242493881.unknown _1242494211.unknown _1242494248.unknown _1242494272.unknown _1242581559.unknown _1242581705.unknown _1242581736.unknown _1242581747.unknown _1242766652.unknown _1242766710.unknown _1242766711.unknown _1242766789.unknown _1242766791.unknown _1242766850.unknown _1242766876.unknown _1242766935.unknown _1242766936.unknown _1242766937.unknown _1243244292.unknown _1243244293.unknown _1243244295.unknown _1243244480.unknown _1243244508.unknown _1243244617.unknown _1243244635.unknown _1243244668.unknown _1243244809.unknown _1243244826.unknown _1243244911.unknown _1243244990.unknown _1243244991.unknown _1243245062.unknown _1243245063.unknown _1243408509.unknown _1245157612.unknown _1245157635.unknown _1245157645.unknown _1245157778.unknown _1245158183.unknown _1245158302.unknown _1245158303.unknown _1245158304.unknown _1245158305.unknown _1245158316.unknown _1245158362.unknown _1245158507.unknown _1245158508.unknown _1245158520.unknown _1245158720.unknown _1245158828.unknown _1245163623.unknown _1245164858.unknown _1245164859.unknown _1245165044.unknown _1245165045.unknown _1245165048.unknown _1245165075.unknown _1245165081.unknown _1245165091.unknown _1245165169.unknown _1245165191.unknown _1245165351.unknown _1245165352.unknown _1245165353.unknown _1245165444.unknown _1245165445.unknown _1245165447.unknown _1245165481.unknown _1245165587.unknown _1245165588.unknown _1245165607.unknown _1245165677.unknown _1245165801.unknown _1245165804.unknown _1245165899.unknown _1245168390.unknown _1245168494.unknown _1245168514.unknown _1245168563.unknown _1245168863.unknown _1245168953.unknown _1245168969.unknown _1245168999.unknown _1245169086.unknown _1245169087.unknown _1245169189.unknown _1245169190.unknown _1245169191.unknown _1245169192.unknown _1245169193.unknown _1245169324.unknown _1245169350.unknown _1245169368.unknown _1245169480.unknown _1245169481.unknown _1245169490.unknown _1245169517.unknown _1245169530.unknown _1245169992.unknown _1245169993.unknown _1245169994.unknown _1245176358.unknown _1245176368.unknown _1245176388.unknown _1245176734.unknown _1245177032.unknown _1245177033.unknown _1245178495.unknown _1245178635.unknown _1245178663.unknown _1245178864.unknown _1245178865.unknown _1245179010.unknown _1245179038.unknown _1245179071.unknown _1245179091.unknown _1245179108.unknown _1245179186.unknown _1245179187.unknown _1245179188.unknown _1245179254.unknown _1245179330.unknown _1245179411.unknown _1245179412.unknown _1245179438.unknown _1245179528.unknown _1245179627.unknown _1245179628.unknown _1245179764.unknown _1245179816.unknown _1245179842.unknown _1245179843.unknown _1245179943.unknown _1245180034.unknown _1245180054.unknown _1245180176.unknown _1245180361.unknown _1245180362.unknown _1245180516.unknown _1245180872.unknown _1245180937.unknown _1245180938.unknown _1245181094.unknown _1245181095.unknown _1245181096.unknown _1245182079.unknown _1245182349.unknown _1245182370.unknown _1245186145.unknown _1245186146.unknown _1245186303.unknown _1245186304.unknown _1245186305.unknown _1245186306.unknown _1245186307.unknown _1245186308.unknown _1245186368.unknown _1245186623.unknown _1245187038.unknown _1245190153.unknown _1245295883.unknown _1245296590.unknown _1245296591.unknown _1245296643.unknown _1245296828.unknown _1245296829.unknown _1245296861.unknown _1245296902.unknown _1245296995.unknown _1245296996.unknown _1245299676.unknown _1245299677.unknown _1245299678.unknown _1245300956.unknown _1245300971.unknown _1245301142.unknown _1245301167.unknown _1245301178.unknown _1245301270.unknown _1245301271.unknown _1245301272.unknown _1245416021.unknown _1245422032.unknown _1245422033.unknown _1245613669.unknown _1245613680.unknown _1245613691.unknown _1245613760.unknown _1245613773.unknown _1245613814.unknown _1245613910.unknown _1245613976.unknown _1245614005.unknown _1245614032.unknown _1245614132.unknown _1245614160.unknown _1245614244.unknown _1245614278.unknown _1245614306.unknown _1245614363.unknown _1245614775.unknown _1245614776.unknown _1246244231.unknown