隐函数求导法则

一、一个方程的情形 二、方程组的情形 三、小结 一、一个方程的情形 隐函数的求导公式 隐函数存在定理1 设函数 在点 的某一邻域内具有 连续的偏导数，且 ， 则方程 在点 的某一邻域内恒能 唯一确定一个连续且具有连续导数的函数 ， 它满足条件 ，并有 _1425203776.unknown _1425203844.unknown _1425203861.unknown _1425203881.unknown _1425203830.unknown _1425203740.unknown _1425203760.unknown _1425203719.unknown 两边对 x 求导 在 的某邻域内 则 仅就公式推导如下 记作 二阶导数 : 若F( x , y ) 的二阶偏导数也都连续, 则还有 将 代入得 法2 解 令 则 均连续。 例１验证方程 在点 的某邻域内能 唯一确定一个有连续导数且 时 的隐函 数 ，并求这函数的一阶和二阶导数在 的值. _1073114256.unknown _1073114289.unknown _1073114311.unknown _1073114337.unknown _1073114272.unknown _1073114247.unknown 依定理知方程 在点 的某邻 域内能唯一确定一个有连续导数且 时 的函数 ． _1073114622.unknown _1073114655.unknown _1073114676.unknown _1073114637.unknown _1073114611.unknown 函数的一阶和二阶导数为 解 令 则 例2 已知 ，用公式求 . _995711012.unknown _1073114738.unknown _1073114752.unknown _1073114837.unknown _1007231119.unknown _995711011.unknown 隐函数存在定理2 设函数 在点 的某一邻域 内有连续的偏导数，且 ， ，则方程 在点 的某一邻域内恒能唯一确定一个 连续且具有连续偏导数的函数 它满足条件 ，并有 . _1425207346.unknown _1425207400.unknown _1425207451.unknown _1425207497.unknown _1425751262.unknown _1425207429.unknown _1425207376.unknown _1425207306.unknown _1425207326.unknown _1425207286.unknown 两边分别对 x ，y 求导 在 的某邻域内 则 仅就公式推导如下 设由 确定的隐函数为 _1425207962.unknown _1425208021.unknown 解 令 则 例3 设 ，求 . _995711647.unknown _1073115588.unknown _1073115600.unknown _995711566.unknown 二、方程组的情形 隐函数存在定理3 设 、 在点 的某 一邻域内有对各个变量的连续偏导数，且 ， ，且偏导数所组成的 函数行列式（或称雅可比式） EMBED Equation.3 _995715202.unknown _1073125236.unknown _1073127055.unknown _1073127510.unknown _1073127525.unknown _1073127532.unknown _1073127540.unknown _1073127544.unknown _1073127536.unknown _1073127529.unknown _1073127520.unknown _1073127076.unknown _1073127086.unknown _1073127065.unknown _1073126006.unknown _1073126860.unknown _1073126867.unknown _1073126828.unknown _1073125280.unknown _1073125433.unknown _1073125258.unknown _1007232749.unknown _1073125212.unknown _1073125223.unknown _1007232780.unknown _995715226.unknown _995715237.unknown _995715212.unknown _983261503.unknown _983261603.unknown _995715181.unknown _995715193.unknown _983261620.unknown _983261575.unknown _983261588.unknown _983261555.unknown _981405773.unknown _981405969.unknown _983261500.unknown _981405822.unknown _981405605.unknown _981405620.unknown _981405570.unknown 在点 不等于零，则方程组 、 在点 的某一邻域内恒能唯一确定一 组连续且具有连续偏导数的函数 ， _1073127081.unknown _1073127098.unknown _1073127108.unknown _1073127086.unknown _1073127067.unknown ，它们满足条件 , EMBED Equation.3 并有 _995715553.unknown _1007233951.unknown _1073127086.unknown _1073127133.unknown _1073127189.unknown _1073127428.unknown _1073127436.unknown _1073127455.unknown _1073127422.unknown _1073127168.unknown _1073127108.unknown _1073127123.unknown _1073127098.unknown _1073127067.unknown _1073127081.unknown _1007233979.unknown _995715589.unknown _995715615.unknown _995715636.unknown _995715603.unknown _995715570.unknown _995715578.unknown _995715562.unknown _981406528.unknown _981406547.unknown _981406584.unknown _981406534.unknown _981406261.unknown _981406270.unknown _981405620.unknown 线性方程组与克莱默法则 若方程组 的系数行列式 ，则方程组有唯一解： ； 。 _1425751064.unknown _1425751071.unknown _1425751236.unknown _1425751047.unknown 这是关于 的 二元线性方程组。 方程组有唯一解。 类似，对 等式两边对 y 求导， 得关于 的线性方程组。 解方程组得 一般不会直接代入公式；而是运用公式推导过程用到的的 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 解 将所给方程的两边对 x 求导并移项: 例4 设 ， 求 ， ， 和 . _1073155126.unknown _1073155180.unknown _1073155258.unknown _1073155155.unknown _1073155108.unknown 将所给方程的两边对 y 求导，用同样方法得 当 时， _995718859.unknown _1073155810.unknown 三、小结 隐函数的求导法则 （分下列几种情况） 常用解法： 可用公式法 方程两边求导法 例5.设函数 在点(u,v) 的某一 1) 证明函数组 某一邻域内 2) 求 解: 1) 令 对 x , y 的偏导数. 在点 (x, y, u, v) 的 邻域内有连续的偏导数,且 唯一确定一组连续且具有连续 偏导数的反函数 ①式两边对 x 求导, 得 则有 由定理 3 可知结论 1) 成立. 2) 求反函数的偏导数. ① ② 从方程组②解得 同理, ①式两边对 y 求导, 可得 作业 P37 1, 3, 5, 10 (1) (2)