函数的最值
问
题
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提出
1.确定函数的单调性有哪些手段和
方法
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？
2.函数图象上升与下降反映了函数的单调性，
如果函数的图象存在最高点或最低点，它又
反映了函数的什么性质？
知识探究（一）
观察下列两个函数的图象：
思考1:这两个函数图象有何共同特征？
A
B
第一个函数图象有最高点A,第二个函数图象有最高点B,也就是说,这两个函数的图象的共同特征是都有最高点
思考2:函数图象上任意点P(x,y)的坐标与函数有什么关系?
函数图象上任意点P(x,y)的意义:横坐标x是自变量的取值,纵坐标y是自变量为x时对应的函数值的大小.
思考3:函数图象上最高点的纵坐标叫什么名称？
函数图象上最高点的纵坐标是所有函数值中的最大值,即函数的最大值
思考4:设函数y=f(x)图象上最高点的纵坐标为M,则对函数定义域内任意自变量x,f(x)与M的大小关系如何?
f(x) ≤M
思考5:设函数f(x)=1-x2,则f(x) ≤2成立吗?f(x)的最大值是2吗?为什么?
思考6:在数学中,形如问题1中的函数y=f(x)的图象上最高点A、B的纵坐标就是函数y=f(x)的最大值，谁能给出函数最大值的定义，用什么符号表示？
思考7:函数的最大值的定义中f(x) ≤M即f(x) ≤f(x0),这个不等式反映了函数y=f(x)的函数值具有什么特点？其图象又具有什么特征？
f(X) ≤M反映了函数y=f(X)的所有函数值不大于实数M，这个函数的特征是图象有最高点，并且最高点的纵坐标是M。
思考8：函数最大值的几何意义是什么？
函数图象最高点的纵坐标。
思考10：由问题9你发现了什么值得注意的地方？
讨论函数的最大值，要坚持定义域优先的原则；函数图象有最高点时，这个函数才存在最大值，最高点必须是函数图象上的点。
知识探究（二）
观察下列两个函数的图象：
思考1:这两个函数图象各有一个最低点，函数图
象上最低点的纵坐标叫什么名称？
函数最小值的几何意义：函数图象最低点的纵坐标。
讨论函数的最小值，要坚持定义域优先的原则；函数图象有最低点时，这个函数才存在最小值，最低点必须是函数图象上的点。
知识探究（三）
理论迁移
单调法求函数最值：先判断函数的单调性，再利用其单调性求最值；常用到以下一些结论：
①如果函数y=f(X)在区间（a,b]上单调递增，在区间[b,c)上单调递减，则函数y=f(X)在x=b处有最大值f(b).
②如果函数y=f(X)在区间（a,b]上单调递减，在区间[b,c)上单调递增，则函数y=f(X)在x=b处有最小值f(b).
③如果函数y=f(X)在区间[a,b]上单调递增，则函数函数y=f(X)在x=b处有最大值f(b).在x=a处有最小值f(a).
1、利用函数单调性的求函数的最大（小）值
例 2 “菊花”烟花是最壮观 的烟
花之一。制造时一般是期望在它
达到最高点时爆裂,
如果烟花 距地面的
高度h m与时间t s之间的关系为
h(t)=-4.9t2+14.7t+18 ，那么烟花冲出后什么时候是
它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少? （精确到1m）
2、利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值
解：作出函数h(t)=-4.9t2+14.7t+18 的图象，如图，显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度。
例3．将进货单价40元的商品按50元一个售出时，能卖出500个，若此商品每个涨价1元，其销售量减少10个，为了赚到最大利润，售价应定为多少？
本题主要考察二次函数的最值问题，以及应用二次函数解决实际问题的能力，解应用题步骤是①审清题意读懂题；②实际问题转化为数学问题来解决；③归纳结论。
注意：要坚持定义域优先的原则；求二次函数的最值要借助于图象即数形结合。
3、利用图象求函数的最大（小）值
课堂小结：
（1）函数的最大（小）值的概念
（2）求函数的最大（小）值一般方法
课后作业：
P39 Ａ组Ｔ５、Ｂ组Ｔ1
①对于熟悉的 一次函数、二次函数、反比例函数等函数可以先画出其图象，根据函数的性质来求最大（小）值
②对于不熟悉的函数或者比较复杂的函数可以先画 出其图象，观察出其单调性，再用定义证明，然后利用单调性求出函数的最值
浙公网安备 33021202002483