单级移动倒立摆建模及串联PID校正-课程设计

单级移动倒立摆建模及串联PID校正-课程 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 武汉理工大学《自动控制原理》课程设计说明书 课程设计任务书 学生姓名: 专业班级: 自动化0807班 指导教师: 刘志立 工作单位: 自动化学院 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 目: 单级移动倒立摆建模及串联PID校正 初始条件: 图示为一个倒立摆装置，该装置包含一个小 车和一个安装在小车上的倒立摆杆。由于小 车在水平方向可适当移动，因此，控制小车 的移动可使摆杆维持直立不倒。 2Mkgmkglmgms,,,,1.2,0.3,0.8,10/ 要求完成的主要任务: (包括课程设计工作量及其技术要求，以及说明书撰写 等具体要求) 1、研究该装置的非线性数学模型，并提出合理的线性化方法，建立 该装置的线性数学模型,传递函数(以u为输入，为输出); , ,%,4.3%,t,1.5s,2、要求系统输出动态性能满足试设计串联PIDs 校正装置。 3、 用Matlab对校正后的系统进行仿真分析，比较校正装置加在线 性化前的模型上和线性化后的模型上的时域响应有何区别，并说 明原因。 时间安排: 任务 时间(天) 审题、查阅相关资料 2 分析、计算 3 编写程序 2 撰写报告 2 论文答辩 1 指导教师签名: 年 月 日 系主任(或责任教师)签名: 年 月 日 武汉理工大学《自动控制原理》课程设计说明书 目录 摘要 ............................................................... 1 1 单级移动倒立摆系统建模 ........................................... 2 1.1 倒立摆系统建模 .............................................. 2 1.2 求倒立摆系统的传递函数 ...................................... 4 2 绘制校正前系统的Bode图和Nyquist图 .............................. 4 2.1 绘制Bode图 ................................................. 4 2.2 绘制Nyquist图 .............................................. 6 3 PID控制器设计 .................................................... 7 3.1 设计PID控制器装置 .......................................... 7 4 用MATLAB对校正后的系统进行仿真分析 ............................. 10 4.1 绘制校正后的系统Bode图 .................................... 10 4.2 绘制校正后系统的Nyquist图 ................................. 11 4.3 系统校正前后的比较 ......................................... 11 5 结束语 .......................................................... 12 参考文献 .......................................................... 12 本科生课程设计成绩评定表 .......................................... 13 武汉理工大学《自动控制原理》课程设计说明书 摘要 倒立摆系统是一个典型的非线性多变量强耦合不稳定的非最小相位系统，在 航天航空和机电一体化等领域得到了广泛的应用，如在火箭箭身的姿态稳定控制 及机器人多自由运动稳定的设计都用到了倒立摆系统。近年来智能控制技术得到 了飞速发展，以倒立摆作为研究对象，用各种智能控制技术解决非线性系统的稳 定控制问题成为了诸多学者不断用来研究和验证的手段。因此对其进行工程化应 用研究和更深度理论基础研究意义重大。倒立摆系统利用牛顿运动定律建立直线 型一级倒立摆系统模型，基于PID控制的思想，运用试探法整定PID参数，设 计PID控制器控制倒立摆系统的稳定。由MATLAB仿真验证设计的控制器是合 理的。 关键词: 倒立摆 PID控制 参数整定 MATLAB Abstract Inverted pendulum system is a typical strong coupling instability in nonlinear multivariable non-minimum phase systems, in aerospace and mechanical and electrical integration and other fields have a wide range of applications, such as the body of the rocket attitude control and stability of multi-robot freedom of movement and stability are designed to use the inverted pendulum system. In recent years, intelligent control technology has been rapid development, as the research object inverted pendulum, with a variety of intelligent control technology to solve the problem of nonlinear systems and stability control as a lot of scholars continue to study and verify the means. Therefore, its applied research and engineering theory of deeper significance. Inverted pendulum system using Newton's laws of motion to establish linear inverted pendulum model, based on PID control theory, the use of heuristic PID tuning parameters, design PID controller to control the stability of inverted pendulum. MATLAB simulation by the designed controller is reasonable. inverted pendulum PID control parameters tuning MATLAB Keywords: 1 武汉理工大学《自动控制原理》课程设计说明书 单级移动倒立摆建模及串联PID校正 1 单级移动倒立摆系统建模 1.1 倒立摆系统建模 由于存在空气阻力和其他各种摩擦的影响，倒立摆系统是不稳定的非线性系统，实验建模存在一定难度。但是如果忽略一些次要的因素，比如系统运行时的空气阻力、杆与小车之间的静摩擦力和小车与地面的滑动摩擦力等等，倒立摆系统就能等效成一个典型运动的刚体系统，这时可以在惯性坐标系下运用经典力学理论建立系统的动力学方程。 图1-1为一个倒立摆装置，该装置包含一个 小车和一个安装在小车上的倒立摆杆。由于小 车在水平方向可适当移动，因此，控制小车的 移动可使摆杆维持直立不倒。 2Mkgmkglmgms,,,,1.2,0.3,0.8,10/图1-1 倒立摆装置示意图 假设L为摆杆的长度，I为摆杆的转动惯量，F为加在小车上的力，x为小车的位移，θ为摆杆与竖直方向的夹角，N和P分别是摆杆和小车相 互作用力的水平和竖直方向分量，运用牛顿运动定律对系统进行受力分析。 对小车进行隔离受力分析(如图1-2所示): P N F P θ Mg N mg 图1-2 小车受力分析图 图1-3 摆杆受力分析图 分析小车水平方向的受力情况(如图1-3所示)得: 2dxM,F,N (1-1) 2dt 分析摆杆水平方向的受力情况得: 2 武汉理工大学《自动控制原理》课程设计说明书 222,,dxdd,, (1-2) 0.5cos,0.5sin,N,m，ml,ml,,22dtdtdt,, (1-2)代入式(1-1)中得到系统的一个运动方程，即为: 将式 222,,dxdd,, (1-3) ()0.5cos,0.5sin,F,M，m，ml,ml,,22dtdtdt,,分析摆杆竖直方向的受力情况得: 22,,dd,, (1-4) 0.5sin,0.5cos,P,mg，ml，ml,,2dtdt,,力矩平衡方程式为: 2d,0.5Plsin，0.5Nlcos,I (1-5) ,,2dt 由式(1-2)、式(1-4)和式(1-5)消去N和P得到系统的另外一个运动方程，即 为: 22,ddx2(I，0.25ml)，0.5ml,0.5mglsin,,0 (1-6) 22dtdt 用u代表作用于受控对象的力F，由式(1-3)和式(1-6)得线性化后系统的运动 方程为: 222,,dxdd,,(M，m) ，0.5mlcos,,0.5mlsin,,u,,22dtdtdt,, 22,ddx2(I，0.2ml)，0.5ml,0.5mglsin,,0 (1-7) 22dtdt 为了避免复杂的求解微分方程的运算以缩短实时控制系统的响应时间，考虑 ,到摆角很小，且在操作点=0附近的微小变化，根据倒立摆的垂直位置可以,0 22I,m(0.5l)/3,ml/12近似等效为:?sin?0，?1，转动惯量。故可得,,cos, 系统运动方程式的简化公式为: 22dx1d,(M，m)，mlu= 222dtdt 221d,1dx12ml，ml,mgl,0 (1-8) 22322dtdt 3 武汉理工大学《自动控制原理》课程设计说明书 1.2 求倒立摆系统的传递函数 假设初始条件为0，对方程组(1-8)进行拉普拉斯变化得: 122 (M，m)sX(s)，mls,(s),U(s)2 111222 (1-9) mls,(s)，mlsX(s),mgl,(s),0322 由方程组(1-9)的第2个方程式得: g2,,X(s),,l,(s) (1-10) ,,23s,, 将式(1-10)代入方程组(1-9)的第1个方程式得: 2122 (1-11) (M，m)(g,ls),(s)，mls,(s),U(s)32 整理得系统的传递函数为: ,(s)1,, (1-12) 21U(s)2(M，m)ls,(M，m)g36 2Mkgmkglmgms,,,,1.2,0.3,0.8,10/将代入式(1-12)得到线性化后系统的传递函数为: ,(s)1,, (1-13) 2U(s)0.68s,15 2 绘制校正前系统的Bode图和Nyquist图 2.1 绘制Bode图 伯德(Bode)图也称为对数频率特性曲线，是用对数幅频特性和对数相频特性表示频率特性的曲线，横坐标为ω，按常用对数lgω分度。对数幅频特性曲线的 ,(,)纵坐标为L(ω)=20lgA(ω),单位是分贝(dB),对数相频特性的纵坐标为，单位为度(?)。 伯德图的近似作图法步骤为: (1)首先将开环传递函数写成尾1 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 典型环节形式，确定开环增益并求出各环节的转折频率，从小到大依次标在横坐标ω轴上; (2)确定低频段。开环对数幅频特性在第一个转折频率以前的部分称为低频段。因为在第一个转折平率以前的部分，惯性、振荡、一阶和二阶微分环节等的 4 武汉理工大学《自动控制原理》课程设计说明书 对数幅频特性的渐近线都为0dB，所以对数幅频特性渐近线的低频段仅取决于比例、积分和微分这几个环节。开环传递函数中的积分数目对系统的稳态性能有很 ,,,大影响。若系统的开环传递函数有个积分环节则称为型系统。型系统的对 ,L(,),20lg(K/,)数幅频特性的低频段近似为，因此当已知低频段上某个频率 ,L(,)/20,的幅值时就可以用下式计算，特别是当=1时，。L(1),20lgKK,,10 可见对于任何型号的系统，对数幅频特性的低频段或者其延长线在ω=1处的幅 ,值总为20lgK dB。因此，对数幅频特性的低频段可以用以下方法确定:对于型 ,,系统，过ω=1，L(1)=20lgK或者ω=，L()=0这一点作一条斜率为KK ,-20dB/dec的直线，这条直线在第一个转折频率之前的部分为低频段; (3) 从第一个转折频率开始沿ω轴向右每经过一个转折频率，对数幅频特性曲线L(ω)的斜率就变化一次。若为惯性环节频率变更-20dB/dec,若为振荡环节频率变更-40dB/dec,以此类推，逐渐画出Bode图; (4)若振荡环节的阻尼比不在0.38,0.71之间则需对L(ω)进行修正，若两个惯性环节的转折频率离的很近也要对L(ω)进行修正。 ,(,)对数相频特性曲线,(,)的绘制，只要将各个典型环节的相频特性叠加i 即可获得。 本课程设计使用MATLAB绘制系统的Bode图和Nyquist图。MATLAB是美国Math Works软件公司于1984年推出的一款用于科学计算的高性能语言，是矩阵实验室的缩写。MATLAB将数值分析、矩阵计算、科学数据可视化以及非线性动态系统的建模和仿真等诸多强大功能集成在一个易于使用的视窗环境中，为科学研究、工程设计以及必须进行有效数值计算的众多科学领域提供了一种全面的解决 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 ，并在很大程度上摆脱了传统非交互式程序设计语言(如C、Fortran)的编辑模式，代表了当今国际科学计算软件的先进水平，是常用的控制系统分析与设计工具。 应用MATLAB绘制系统的Bode图，编程如下: clear, num=[-1]; den=[0.68,0,-15]; bode(num,den) 5 武汉理工大学《自动控制原理》课程设计说明书 得到系统Bode图如图2-1所示 图2-1 系统校正前的Bode图 2.2 绘制Nyquist图 奈奎斯特(Nyquist)图也称福相频率特性曲线或极坐标图。它是以复平面的矢量表示G(jω)的一种方法。 开环系统Nyquist图绘制的方法为:当ω从0??变化时，可由幅频和相频 G(j,)特性公式计算出各点所对应的||和,(,)。在复平面逐点描绘可以画出开k 环系统的幅相频特性曲线。但是这种方法计算麻烦一般不采用，实际中常采用概略绘图的方法。概略绘图法:由某些特殊的幅相频特性来绘制开环系统的幅相频 ,,,特性曲线，一般常采用=0起点，= ?终点，=1/T转折频率及过负实轴的点。 (1)0型系统幅相频率特性曲线的绘制: ,(0),(? )起点:在实轴上(K，j0)点，=0;终点:终止于原点，是沿=(m-n)*π/2方向趋于原点(m，n分别是开环系统传递函数的零、极点数)。 (2)非0型系统幅相频率特性曲线的绘制: ，，G(j0),(0),,,π/2起点:起始于无穷远，其幅值||=?，相位;终点:终k 6 武汉理工大学《自动控制原理》课程设计说明书 止于原点，即沿着=(m-n)* π/2方向趋于原点。 ,(? ) 运用MATLAB绘制系统的Nyquist图，编程如下: num[-1]; den=[0.68,0,-15]; nyquist(num,den) Nyquist图如图2-2所示: 图2-2 系统校正前的Nyquist图 3 PID控制器设计 设计PID控制器来控制系统，要求系统输出动态性能指标满足,%,4.3%,t,1.5s。 s 3.1 设计PID控制器装置 从所得倒立摆线性化后的传递函数模型可看出，该系统因为含有不稳定的零极点，所以是一个自不稳定的非最小相位系统。该方法的思想是根据给定值r与系统的实际输出值c构成控制偏差e，然后将偏差的比例(P)积分(I)微分(D)三项 7 武汉理工大学《自动控制原理》课程设计说明书 通过线性组合构成控制量，对被控制对象进行控制，故称为PID控制，则PID控制用于倒立摆系统的原理如图3-1所示: u(k) θ(k) PID控制器 倒立摆系统 图3-1 PID控制器原理图 PID控制器各环节的特点:比例环节放大时，系统动作灵敏、速度快、稳态误差小，但是比例太大时系统振荡环节次数会增多，调节时间增加甚至会不稳定。积分控制可消除系统稳态误差，但会使系统滞后增加稳定性变差，响应速度慢。微分控制可提高系统动态性能特性(减少超调量和响应时间)，使系统稳态误差减小。 其控制规律为: 1det()utKetKetdtK ,，，()()()pid,0dt 设PID控制器的传递函数为: KiG,K，，Ks cpds 2Ks，Ks，KdpiG,即: cs 而倒立摆的系统传递函数为: 1G, 2,0.68s，15 则校正后系统的开环传递函数为: 2Ks，Ks，KdpiGG, c3,0.68s，15s KKK应用MATLAB对该系统进行仿真确定PID控制器的参数。编程如pid下: num=[Kd,Kp,Ki]; den=[-0.68,0,15,0]; bode(num,den) sys=tf(num,den) 8 武汉理工大学《自动控制原理》课程设计说明书 sysc=sys/(1+sys); t=0:0.05:2; step(sysc,t) impulse(sysc,t) KKK其中、、为待定的PID控制器参数。 pid K由倒立摆系统的传递函数可知系统为自不稳定的非最小相位系统，故、p KKKKK、均为负值。首先，、分别置零，从小调到大直到仿真图上出现pidid K稳态振荡，即波形在实轴上下作等幅振荡，这时得到=-100。 p K其次，由于系统存在较大的惯性环节，先调节没有效果，这时可先调节i KK，消除稳态振荡，直到示波器上超调量和调节时间在给定范围内，这时也dd 有一个范围。 KK再次，在对应范围内调，在超调量和调节时间在给定范围内的前提下di K减小稳态误差，得到一个范围。 i KKK最后，初步定下、、参数-1000、-700、-102，对应的单位阶跃响应曲pid 线如图3-2所示: 图3-2 MATLAB仿真单位阶跃响应曲线 根据图3-2可以得出系统校正后: 超调量 =(1.05-1.01)/1.01*100%=3.96% ,% 9 武汉理工大学《自动控制原理》课程设计说明书 t调节时间 =0.371 s ,%,4.3%,t,1.5s满足设计要求指标: s 经过验证，PID控制器参数整定正确，符合课程设计的要求。 4 用MATLAB对校正后的系统进行仿真分析 校正后系统的开环传递函数为: 2102s，1000s，700'G(s), 30.68s,15s下面应用MATLAB绘制校正后的系统Bode图和Nyquist图 4.1 绘制校正后的系统Bode图 调出MATLAB，编写程序: num=[102,1000,700]; den=[0.68,0,-15,0]; ys=tf(num,den) s bode(sys); margin(sys); [kg,r,wg,wc]=margin(sys); 得到校正后系统的Bode图如图4-1所示: 图4-1 校正后系统的Bode图 10 武汉理工大学《自动控制原理》课程设计说明书 4.2 绘制校正后系统的Nyquist图 打开MATLAB，编写程序: clear， num=[102 ,1000,700]; den=[0.68,0,-15 0]; nyquist(num,den) 得到校正后系统的Nyquist图如图4-2所示: 图4-2 校正后系统的Nyquist图 4.3 系统校正前后的比较 校正前，系统发散不稳定，加入串联PID校正环节后，比例环节放大时，系统动作灵敏、速度快、稳态误差小，但比例太大时系统震荡次数会增加，调节时间变长;积分控制可以消除系统稳态误差，但会使系统反应速度变慢;微分环节可提高系统动态性能，减少超调量和调节时间。 经过适当的PID参数整定，可以使得校正后的系统动态性能满足设计要求 ,%,4.3%,t,1.5s,指标:。从图4-1和4-2可看出经过校正后系统的动态特s 性得到了明显的改善，系统是稳定的。 11 武汉理工大学《自动控制原理》课程设计说明书 5 结束语 本次课程设计通过研究单级移动倒立摆系统，建立了单级移动倒立摆系统的数学模型，通过忽略摩擦力和把摆角θ取得很小的措施将倒立摆系统线性化，得到倒立摆系统的运动方程组，然后经过拉普拉斯变换得到系统的传递函数。根据设计指标要求设计出PID控制器使倒立摆能稳定运行即维持不倒，应用MATLAB进行仿真分析，运用试探法经过多次试验最终确定PID参数，对MATLAB作出的Bode图和单位阶跃响应曲线进行分析，来验证校正后的动态性能是否满足系统设计要求指标，最后得到系统的单位脉冲函数响应图。 本次课程设计让我收获颇多，通过深入了解和研究倒立摆系统的特点，运用PID控制器控制系统的稳定运行，并且使用MATLAB仿真，学习到了很多知识。尤其是遇到困难时比如在建模的时候遇到很大障碍，经过自己的不断思考和翻阅各种资料加上同学们的帮助顺利完成，其中思考的过程受益匪浅。这次课程设计不但是我加深了对自动控制原理的基础理论知识的掌握，而且让我拥有了一次将理论只是应用到实践中解决实际问题的宝贵经验，对提高我的综合素质有很大帮助，以后我一定会更加珍惜这样的机会。 参考文献 [1] 王万良.自动控制原理.高等教育出版社，2008 [2] 胡寿松.自动控制原理第五版.北京:科学出版社,2007 [3] 黄坚.自动控制原理及其应用.北京:高等教育出版社，2004 [4] 葛哲学.精通MATLAB.北京:电子工业出版社，2008 [5] 刘金琨.先进PID控制及其MATLAB仿真.北京:电子工业出版社，2004 12 武汉理工大学《自动控制原理》课程设计说明书 本科生课程设计成绩评定表 姓 名 性 别 男 专业、班级 自动化0807班 课程设计题目:单级移动倒立摆建模及串联PID校正 课程设计答辩或质疑记录: 成绩评定依据: 评 定 项 目 评分成绩 1(选题合理、目的明确(10分) 2(设计方案正确、具有可行性、创新性(20分) 3(设计结果(例如:系统设计程序、仿真程序) (20分) 4(态度认真、学习刻苦、遵守纪律(15分) 5(设计报告的 规范 编程规范下载gsp规范下载钢格栅规范下载警徽规范下载建设厅规范下载 化、参考文献充分(不少于5篇)(10分) 6(答辩(25分) 总 分 最终评定成绩(以优、良、中、及格、不及格评定) 指导教师签字: 年 月 日 13