指数函数
1、特殊根式
当是奇数时,
当是偶数时,
2.分数指数幂
规定:
3.有理指数幂的运算性质
(1)· ;
(2) ;
(3) .
4、一般地,函数叫做指数函数,其中x是自变量,函数的定义域为R.
5、指数函数的性质
图象特征
函数性质
向x、y轴正负方向无限延伸
函数的定义域为R
图象关于原点和y轴不对称
非奇非偶函数
函数图象都在x轴上方
函数的值域为R+
函数图象都过定点(0,1)
自左向右看,
图象逐渐上升
自左向右看,
图象逐渐下降
增函数
减函数
在第一象限内的图象纵坐标都大于1
在第一象限内的图象纵坐标都小于1
在第二象限内的图象纵坐标都小于1
在第二象限内的图象纵坐标都大于1
图象上升趋势是越来越陡
图象上升趋势是越来越缓
函数值开始增长较慢,到了某一值后增长速度极快;
函数值开始减小极快,到了某一值后减小速度较慢;
函 数
y=f(x)
y=f(x+a)
a>0时,向左平移a个单位;a<0时,向右平移|a|个单位.
y=f(x)+a
a>0时,向上平移a个单位;a<0时,向下平移|a|个单位.
y=f(-x)
y=f(-x)与y=f(x)的图象关于y轴对称.
y=-f(x)
y=-f(x)与y=f(x)的图象关于x轴对称.
y=-f(-x)
y=-f(-x)与y=f(x)的图象关于原点轴对称.
y=f(|x|)
y=f(|x|)的图象关于y轴对称,x0时函数即y=f(x),所以x<0时的图象与x0时y=f(x)的图象关于y轴对称.
y=|f(x)|
∵,∴y=|f(x)|的图象是y=f(x)0与y=f(x)<0图象的组合.
y=
y=与y=f(x)的图象关于直线y=x对称.
对数函数
1、对数的概念:一般地,如果,那么数叫做以为底的对数(Logarithm),记作:(— 底数,— 真数,— 对数式)
说明: 注意底数的限制,且;
;
注意对数的书写格式.
2、两个重要对数:
常用对数(common logarithm):以10为底的对数;
自然对数(natural logarithm):以无理数为底的对数的对数.
3、对数式与指数式的互化
对数式 指数式
对数底数 ← → 幂底数
对数 ← → 指数
真数 ← → 幂
4、对数的性质
(1)负数和零没有对数; (2)1的对数是零:;
(3)底数的对数是1:;(4)对数恒等式:;
(5).
5、如果,且,,,那么:
(1)·+; (2)-;
(3) .
6、换底公式:
(,且;,且;).
(1); (2).
7、对数函数:
(1)定义:函数,且叫做对数函数。其中是自变量,函数的定义域是(0,+∞).
注意:对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,注意辨别.如:, 都不是对数函数,而只能称其为对数型函数.
对数函数对底数的限制:,且.
(2)对数函数的性质
图象特征
函数性质
函数图象都在y轴右侧
函数的定义域为(0,+∞)
图象关于原点和y轴不对称
非奇非偶函数
向y轴正负方向无限延伸
函数的值域为R
函数图象都过定点(1,1)
自左向右看,
图象逐渐上升
自左向右看,
图象逐渐下降
增函数
减函数
第一象限的图象纵坐标都大于0
第一象限的图象纵坐标都大于0
第二象限的图象纵坐标都小于0
第二象限的图象纵坐标都小于0
规律:在第一象限内,自左向右,
图象对应的对数函数的底数逐渐变大.
幂函数
1、定义:一般地,形如的函数称为幂函数,其中为常数.
2、幂函数性质归纳.
(1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图象都过点(1,1);
(2)时,幂函数的图象通过原点,并且在区间上是增函数.特别地,当 时,幂函数的图象下凸;当时,幂函数的图象上凸;
(3)时,幂函数的图象在区间上是减函数.在第一象限内,当从右边趋向原点时,图象在轴右方无限地逼近轴正半轴,当趋于时,图象在轴上方无限地逼近轴正半轴.
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