数列的概念及表示方法一、知识点回顾：1.数列的概念数列是按一定的顺序排列的一列数，在函数意义下，数列是定义域为正整数N*或其子集{1，2，3，……n}的函数f(n)．数列的一般形式为a1，a2，…，an…，简记为{an}，其中an是数列{an}的第项．2．数列的通项公式一个数列{an}的与之间的函数关系，如果可用一个公式an＝f(n)来表示，我们就把这个公式叫做这个数列的通项公式．3．在数列{an}中，前n项和Sn与通项an的关系为：4．求数列的通项公式的其它方法⑴公式法：等差数列与等比数列采用首项与公差(公比)确定的方法．⑵观察归纳法：先观察哪些因素随项数n的变化而变化，哪些因素不变；初步归纳出公式，再取n的特珠值进行检验，最后用数学归纳法对归纳出的结果加以证明．⑶递推关系法：先观察数列相邻项间的递推关系，将它们一般化，得到的数列普遍的递推关系，再通过代数方法由递推关系求出通项公式二、典型例题例1.根据下面各数列的前n项的值，写出数列的一个通项公式．⑴－，，－，…；⑵1，2，6，13，23，36，…；⑶1，1，2，2，3，3，解：⑴an＝(－1)n⑵an＝（提示：a2－a1＝1，a3－a2＝4，a4－a3＝7，a5－a4＝10，…，an－an－1＝1＋3(n－2)=3n－5．各式相加得⑶将1，1，2，2，3，3，…变形为∴变式训练1.某数列{an}的前四项为0，，0，，则以下各式：①an＝[1＋(－1)n]②an＝③an＝其中可作为{an}的通项公式的是（）A．①B．①②C．②③D．①②③解：D例2.已知数列{an}的前n项和Sn，求通项．⑴Sn＝3n－2⑵Sn＝n2＋3n＋1解⑴an＝Sn－Sn－1(n≥2)a1＝S1解得：an＝⑵an＝例3.根据下面数列{an}的首项和递推关系，探求其通项公式．⑴a1＝1，an＝2an－1＋1(n≥2)⑵a1＝1，an＝(n≥2)⑶a1＝1，an＝(n≥2)解：⑴an＝2an－1＋1(an＋1)＝2(an－1＋1)(n≥2)，a1＋1＝2．故：a1＋1＝2n，∴an＝2n－1．⑵an＝（an－an－1）＋（an－1－an－2）＋…＋（a3－a2）＋（a2－a1）＋a1＝3n－1＋3n－2＋…＋33＋3＋1＝．(3)∵∴an＝变式训练3.已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，求该数列的通项公式．解：方法一：由an＋1＝得，∴{}是以为首项，为公差的等差数列．∴＝1＋(n－1)·,即an＝方法二：求出前5项，归纳猜想出an＝，然后用数学归纳证明．例4.已知函数＝2x－2－x，数列{an}满足＝－2n，求数列{an}通项公式．解：得变式训练4.知数列{an}的首项a1＝5．前n项和为Sn且Sn＋1＝2Sn＋n＋5（n∈N*）．(1)证明数列{an＋1}是等比数列；一、选择题：1．数列1，3，6，10，……的一个通项公式是（）A．n2－n+1B．C．n(n－1)D．2．已知数列的通项公式为an=n(n－1),则下述结论正确的是（）A．420是这个数列的第20项B．420是这个数列的第21项C．420是这个数列的第22项D．420不是这个数列中的项3．在数列{an}中，已知a1=1,a2=5,an+2=an+1－an,则a2000=（）A．4B．5C．－4D．－54．设数列{an}的首项为1，对所有的n≥2，此数列的前n项之积为n2，则这个数列的第3项与第5项的和是()A．B．C．D．5．在数列{an}中，均为正实数，则an与的大小关系是（）A．anC．an=D．不能确定6．数列{an}的前n项和（）A．(2n－1)2B．(2n－1)C．4n－1D．(4n－1)二、填空题：7．数列{an}中，a1=3,an+1=an+2n+3，则an=8．已知数列{an}满足：a1=1,an=an－1+an－2+…+a2+a1（n≥2），则该数列的通项公式an=9．已知{an}的前n项和Sn=n2－4n+1,则|a1|+|a2|+…+|a10|的值为10．已知{an}中，a1=1,an=，则a12=三、解答题11．已知数列{an}的前n项和为，数列{bn}的前n项和为Tn=3n2－2n+1，（I）若a10=b10，求p的值；（II）取数列{bn}的第1项，第3项，第5项，…，第2n－1项，…作一个新数列{cn}，求数列{cn}的通项公式.13．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1,且对一切正整数n有2Sn=(n+p)an,p为常数,（I）求p值；（II）求数列{an}的通项公式.
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