矩阵的基本性质
矩阵的第⾏第列的元素为。我们⽤或()
表
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⽰的单位矩阵。
1.矩阵的加减法
(1),对应元素相加减
(2)矩阵加减法满足的运算法则
a.交换律:
b.结合律:
c.
d.
2.矩阵的数乘
(1),各元素均乘以常数
(2)矩阵数乘满足的运算法则
a.数对矩阵的分配律:
b.矩阵对数的分配律:
c.结合律:
d.
3.矩阵的乘法
(1),左行右列对应元素相乘后求和为C的第行第列的元素
(2)矩阵乘法满足的运算法则
a.对于一般矩阵不满足交换律,只有两个方正满足且有
b.分配律:
c.结合律:
d.数乘结合律:
4.矩阵的转置,
(1)矩阵的幂:,,…,
(2)矩阵乘法满足的运算法则
a.
b.
c.
d.
5.对称矩阵:即;反对称矩阵:即
(1)设为(反)对称矩阵,则仍是(反)对称矩阵。
(2)设为对称矩阵,则或仍是对称矩阵的充要条件=。
(3)设为(反)对称矩阵,则,也是(反)对称矩阵。
(4)对任意矩阵,则分别是对称矩阵和反对称矩阵且.
(5)
6. Hermite矩阵:即;反Hermite矩阵,即
a.
b.
c.
d.
e.
f.(当矩阵可逆时)
7.正交矩阵:若,则是正交矩阵
(1)
(2)
(3),
8.酉矩阵:若,则是酉矩阵
(1)
(2)
(3),
(4)
9.正规矩阵:若,则是正规矩阵;若,则是实正规矩阵
10.矩阵的迹和行列式
(1)为矩阵的迹;或为行列式
(2);注:矩阵乘法不满足交换律
(3)
(4),为酉矩阵,则
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12),,则 其中为奇异分解值的特征值
11.矩阵的伴随矩阵
(1)设由行列式的代数余子式所构成的矩阵
(2)
12.矩阵的逆(逆矩阵是唯一的)
(1)A的逆矩阵记作,;
(2)(为非奇矩阵)时,
(3)且,则
(4)由,得
(5)
(6)若
(7)若是非奇上(下)三角矩阵,则也上(下)三角矩阵
(8)
(9)
(10)
(11)Woodbury恒等式 :
(12)
12.对角矩阵,矩阵为对称矩阵,正交矩阵,则为对角矩阵或,则;
13.矩阵的导数
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)