函数的对称性与函数的图象变换总结

函数的对称性 有些函数 其图像有着优美的对称性， 同时又有着优美的对称关系式 1 -3 -1 -2 1 6 5 4 3 2 7 8 （偶函数）　 Y=f(x)图像关于直线x=0对称 知识回顾 从”形”的角度看， 从“数”的角度看， f(-x)=f(x) X Y 1 -3 -1 -2 1 6 5 4 3 2 7 8 f(x)= f(4-x) f(1)= f(0)= f(-2)= f(310)= f(6) f(4-310) 0 Y=f(x)图像关于直线x=2对称 f(3) f(4) 从”形”的角度看， 从”数”的角度看， x y 1 -3 -1 -2 1 6 5 4 3 2 7 8 x=-1 f(-1+x)= f(-1-x) 思考?若y=f(x)图像关于直线x=-1对称 f(x)= f(-2-x) Y x y=f(x)图像关于直线x=a对称 f(a-x)=f(a+x) y=f(x)图像关于直线x=0对称 特例：a=0 轴对称性 思考？ 若y=f(x)满足f(a-x)=f(b+x), 则函数图像关于 对称 f(-x)=-f(x) y=f(x)图像关于(0,0)中心对称 中心对称性 类比探究 a 从”形”的角度看， 从”数”的角度看， f(x)=-f(2a-x) f(a-x)=-f(a+x) x y o a 从”形”的角度看， 从”数”的角度看， 中心对称性 类比探究 a+x a-x y=f(x)图像关于(a,0)中心对称 b a f(a+x)=2b-f(a-x) f(2a-x)=2b-f(x) b 中心对称性 y=f(x)图像关于(a,b)中心对称 类比探究 x y o 思考？ (1)若y=f(x)满足f(a-x)=-f(b+x), (2)若y=f(x)满足f(a-x)=2c-f(b+x), 则函数图像关于 对称 则函数图像关于 对称 函数图像关于直线x=0对称 f(-x)=f(x) 函数图像关于直线x=a对称 f(a-x)=f(a+x) x=a f(x)=f(2a-x) 函数图像关于(0,0)中心对称 函数图像关于(a,0)中心对称 f(-x)=-f(x) f(a-x)=-f(a+x) f(x)=-f(2a-x) 轴对称 中心对称性 练习: (1)若y=f(x)满足f(-2-x)=f(-2+x), 则函数图像关于 对称 (2)若y=f(x)满足f(3-x)=f(4+x) (4)若y=f(x)满足f(3-x)=-f(4+x) (3)若y=f(x)满足f(-2-x)=-f(-2+x), (5)若y=f(x)满足f(3-x)=3-f(4+x) 函数图象是研究函数的重要工具,它能为所研究函数的数量关系及其图象特征提供一种”形”的直观体现,是利用”数形结合”解题的重要基础. 描绘函数图象的两种基本方法: ①描点法;(通过列表﹑描点﹑连线三个步骤完成) ②图象变换;(即一个图象经过变换得到另一个与 之相关的函数图象的方法) 函数图象的三大变换 平移 对称 伸缩 问题1：如何由f(x)=x2的图象得到下列各函数的图象？ （1）f(x-1)=(x-1)2 （2）f(x+1)=(x+1)2 （3）f(x)+1=x2+1 （4）f(x) -1=x2-1 O y x y=f(x-1) y=f(x+1) y=f(x)-1 y=f(x)+1 函数图象的平移变换： 左右平移 y=f(x) y=f(x+a) a>0,向左平移a个单位 a<0,向右平移|a|个单位 上下平移 y=f(x) y=f(x)+k k<0,向下平移|k|个单位 k>0,向上平移k个单位 1 1 -1 -1 同步练习: ①若函数f(x)恒过定点(1,1),则函数f(x-4)-2恒过 定点 . ②若函数f(x)关于直线x=1对称,则函数f(x-4)-2 关于直线 对称. (5,-1) x=5 y=-f(x) y=f(-x) y=-f(-x) 对称变换 （1）y=f(x)与y=f(-x)的图象关于 对称； （2）y=f(x)与y=-f(x)的图象关于 对称； （3）y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于 对称； x 轴 y 轴 原 点 练习：说出下列函数的图象与指数函数y=2x的图象的关系，并画出它们的示意图. (1)y=2-x (2)y=-2x (3)y=-2-x O y O y O y 1 1 -1 1 -1 x x x 1.函数y=f(-x)与函数y=f(x)的图像关于y轴对称 2.函数y=-f(x)与函数y=f(x)的图像关于x轴对称 3.函数y=-f(-x)与函数y=f(x)的图像关于原点对称 4.函数y=f(x)与函数y=f(2a-x)的图像关于直线 对称 函数图象对称变换的规律: 思考:“函数y=f(x)与函数y=f(2a-x)的图像关于直线x=a对称”与 “函数y=f(x)满足f(x)= f(2a-x),则函数y=f(x)关于直线x=a对称”两者间有何区别? 对称变换是指两个函数图象之间的对称关系,而”满足f(x)= f(2a-x)或f(a+x)= f(a-x)有y=f(x)关于直线x=a对称”是指一个函数自身的性质属性,两者不可混为一谈. x=a 问题3：分别在同一坐标系中作出下列各组函数的图象，并说明它们之间有什么关系？ （1）y=2x与y=2|x| O x y 由y=f(x)的图象作y=f(|x|)的图象： y=2x 保留y=f(x)中y轴右侧部分，再加上y轴右侧部分关于y轴对称的图形. 1 y=2|x| O y x -4 1 4 -1 由y=f(x)的图象作y=|f(x)|的图象： 保留y = f(x)在 x 轴上方部分，再加上x轴下方部分关于x轴对称到上方的图形 函数图象的对称变换规律： （1）y=f(x) y=f(x+a) a>0,向左平移a个单位 a<0,向右平移|a|个单位 上下平移 （2）y=f(x) y=f(x)+k k>0,向上平移k个单位 k<0,向下平移|k|个单位 （1）y=f(x)与y=-f(x)的图象关于 对称； （2）y=f(x)与y=f(-x)的图象关于 对称； （3）y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于 对称； 函数图象的平移变换规律： (4)由y=f(x)的图象作y=f(|x|)的图象：保留y=f(x)中 部分，再加上这部分关于 对称的图形. (6)由y=f(x)的图象作y=|f(x)|的图象：保留y=f(x)中 部分，再加上x轴下方部分关于 对称的图形. x轴 y轴 原点 y轴右侧 y轴 x轴上方 x轴 左右平移 练习：已知函数y=f(x) 的图象如图所，分别画 出下列函数的图象： (1) y = f(-x); (2) y = - f(x). (3) y = f(|x|); (4) y = |f(x)|. 练习：已知函数y=f(x) 的图象如图所，分别画 出下列函数的图象： (1) y = f(-x); (2) y = - f(x). (3) y = f(|x|); (4) y = |f(x)|. y = f(|x|) y = |f(x)| 例1.将函数y=2-2x的图象向左平移1个单位，再作关于原点对称的图形后.求所得图象对应的函数解析式. y=2-2x y=2-2(x+1) -y=2-2(-x+1) y=-22x-2 向左平移1个单位 关于原点对称 x换成-x y换成-y x 换成 x+1 例2.已知函数y=|2x-2| （1）作出函数的图象； （2）指出函数 的单调区间； （3）指出x取何值时，函数有最值。 O x y 3 2 1 1 -1 y=2x y=2x-2 y=|2x-2| y=|2x-2| 例2.已知函数y=|2x-2| （1）作出函数的图象； （2）指出函数 的单调区间； （3）指出x取何值时，函数有最值。 O x y 3 2 1 1 -1 y=|2x-2| 1．函数f(x)＝ln|x－1|的图像大致是(　　) 解析：函数f(x)＝ln|x－1|的图像是由函数g(x)＝ln|x|向右平移1个单位得到的，故选B. 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 ：B 2．为了得到函数y＝3×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x的图像，可以把函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x的图像(　　) A．向左平移3个单位长度 B．向右平移3个单位长度 C．向左平移1个单位长度 D．向右平移1个单位长度 解析：∵y＝3×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x－1，∴y＝3×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x的图像可以把函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x的图像向右平移1个单位长度． 答案：D 答案：C 3．函数y＝5x与函数y＝－eq \f(1,5x)的图像关于(　　) A．x轴对称　　　　　 B．y轴对称 C．原点对称 D．直线y＝x对称 解析：因为y＝－eq \f(1,5x)＝－5－x，所以关于原点对称． 4．使log2(－x)＜x＋1成立的x的取值范围是(　　) A．(－1,0) B．[－1,0) C．(－2,0) D．[－2,0) 解析：作出y＝log2(－x)，y＝x＋1的图像知满足条件的x∈(－1,0)． 答案：A 5．指数函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))x的图像如图所示，则二次函数y＝ax2＋bx的顶点的横坐标的取值范围是__________． 解析：由图可知函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))x是减函数，所以0＜eq \f(b,a)＜1.而二次函数y＝ax2＋bx的顶点的横坐标为－eq \f(b,2a)＝－eq \f(1,2)·eq \f(b,a).所以－eq \f(1,2)＜－eq \f(b,2a)＜0，即二次函数y＝ax2＋bx的顶点的横坐标的取值范围为(－eq \f(1,2)，0)． 答案：(－eq \f(1,2)，0) 易错点一 对“平移”概念理解不深导致失误 【自我诊断①】 把函数y＝log2(－2x＋3)的图像向左平移1个单位长度得到函数__________的图像． 解析：由题意，得所求函数解析式为y＝log2[－2(x＋1)＋3]＝log2(－2x＋1)． 答案：y＝log2(－2x＋1) 易错点二 判断图像的对称性失误 【自我诊断②】 设函数y＝f(x)的定义域为R，则函数y＝f(x－1)与y＝f(1－x)的图像关于(　　) A．直线y＝0对称 B．直线x＝0对称 C．直线y＝1对称 D．直线x＝1对称 解析：方法一：设(x1，y1)是y＝f(x－1)图像上任意一点，则y1＝f(x1－1)，而f(x1－1)＝f[1－(2－x1)]，说明点(2－x1，y1)－定是函数y＝f(1－x)上的一点，而点(x1，y1)与点(2－x1，y1)关于直线x＝1对称，所以y＝f(x－1)的图像与y＝f(1－x)的图像关于直线x＝1对称，所以选D. 方法二：函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图像关于y轴对称，y＝f(1－x)＝f[－(x－1)]．把y＝f(x)与y＝f(－x)的图像同时都向右平移1个单位长度，就得到y＝f(x－1)与y＝f(1－x)的图像，对称轴y轴向右平移1个单位长度得直线x＝1，故选D. 方法三：(特殊值法)设f(x)＝x2，则f(x－1)＝(x－1)2，f(1－x)＝(x－1)2，由图可知(两图像重合)，函数f(x－1)和f(1－x)的图像关于直线x＝1对称，只有D正确． 答案：D 题型二　　函数图像的识别 【例2】 函数y＝f(x)与函数y＝g(x)的图像分别如图①、②所示． 则函数y＝f(x)·g(x)的图像可能是(　　) 解析：从f(x)、g(x)图像可知它们分别为偶函数、奇函数，故f(x)·g(x)是奇函数，排除B. 由g(x)图像不过(0,0)得f(x)·g(x)图像也不过(0,0)，排除C、D. 答案：A 规律方法：注意从f(x)，g(x)的奇偶性、单调性等方面寻找f(x)·g(x)的图像特征． 【预测2】 (1)已知函数y＝f(x)的图像如图①所示，y＝g(x)的图像如图②所示， 则函数y＝f(x)·g(x)的图像可能是下图中的(　　) (2)将f(x)改为奇函数，g(x)也是奇函数，例如，f(x)、g(x)图像分别如图③、④所示，则f(x)·g(x)的图像为(　　) 解析：(1)f(x)，g(x)均为偶函数，则f(x)·g(x)为偶函数，可排除A、D.注意x＜0时图像变化趋势是“负—正—负”，故只能选C.(2)f(x)·g(x)为偶函数，可排除A、C、D，选B. 答案：(1)C　(2)B 题型三　　函数图像的变换 【例3】 (1)指出下列各组函数的图像关系． ①y＝2x与y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－x＋1＋3； ②y＝log2x与y＝－log2(x＋2)； (2)将曲线y＝lgx向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到曲线C.如果曲线C1与C关于原点对称，曲线C2与C1关于直线y＝x对称，求曲线C2所对应的函数式； (3)将曲线y＝ex做怎样的变换可以得到曲线y＝e3x＋5＋2? (2)由题意，有C：y＝lg(x＋1)－2. 因为C1与C关于原点对称， 所以C1：y＝－lg(－x＋1)＋2. 因为C2与C1关于直线y＝x对称(即两函数互为反函数)，故C2：y＝1－102－x(x∈R)． 解析：(1)①因为y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－x＋1＋3＝2x－1＋3，所以将曲线y＝2x向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，就得到曲线y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－x＋1＋3. ②将曲线y＝log2x向左平移2个单位长度，再将它沿x轴翻折，就得到曲线y＝－log2(x＋2)．(或先翻折再左移) 规律方法：(1)化为同底数；(2)翻折、平移；(3)平移、对称、反函数；(4)平移、伸缩． (3)方法一：将y＝ex各点向左平移5个单位长度，得y＝ex＋5，再将各点横坐标压缩为原来的eq \f(1,3)，得y＝e3x＋5，然后向上平移2个单位长度得y＝e3x＋5＋2. 方法二：将y＝ex各点横坐标压缩为原来的eq \f(1,3)得y＝e3x，向左平移eq \f(5,3)个单位长度得y＝e3x＋5，向上平移2个单位长度得y＝e3x＋5＋2. 题型四　　函数图像的应用 【例4】 当x∈(1,2)时，不等式(x－1)2＜logax恒成立，求a的取值范围． 解析：设f1(x)＝(x－1)2，f2(x)＝logax， 要使当x∈(1,2)时，不等式(x－1)2＜logax恒成立，只需f1(x)＝(x－1)2在(1,2)上的图像在f2(x)＝logax的下方即可． 当0＜a＜1时，由图像知显然不成立． 当a＞1时，如图，要使在(1,2)上，f1(x)＝(x－1)2的图像在f2(x)＝logax的下方，只需f1(2)≤f2(2)． 即(2－1)2≤loga2，loga2≥1，∴1＜a≤2. 【预测4】 已知函数f(x)＝|x2－4x＋3|. (1)求函数f(x)的单调区间； (2)求m的取值范围，使得方程f(x)＝mx有四个不等实根． f(x)的图像如图所示． 函数f(x)的单调区间有(－∞，1]、 [1,2]、[2,3]、[3，＋∞)， 其中增区间有[1,2]、[3，＋∞)， 减区间有(－∞，1]、[2,3]． (2)方程f(x)＝mx有四个不相等的实根，就是直线y＝mx与函数y＝f(x)的图像有四个不同的交点．设直线l与f(x)的图像有三个公共点，令它的斜率为k，则0＜m＜k，则方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝kx，,y＝－x2＋4x－3))⇒x2＋(k－4)x＋3＝0.① 令Δ＝(k－4)2－12＝0，得k＝4±2eq \r(3). 当k＝4＋2eq \r(3)时，方程①的两根x1＝x2＝－eq \r(3)∉(1,3)，不符合题意；当k＝4－2eq \r(3)时，方程①的两根x1＝x2＝eq \r(3)∈(1,3)，符合题意．故m的取值范围是(0,4－2eq \r(3))． 小结 1.已学的画函数图像的基本方法 （1）描点法； （2）图象变换法：平移变换、对称变换 2.画函数图像时可先确定函数的定义域、讨论函数 的性质（如单调性、奇偶性、特殊点等），再用描点法或图像变换得出图像