矩阵的迹及其性质Ý�,oI2017c4�1.Ý,�5e¡Ñ,�{ü5"1.1�A,B∈Cn×n,λ,µ∈C§Ktr(λA+µB)=λtrA+µtrB.1.2�A∈Cn×n,KtrA=trA>.1.3�A∼B,KtrA=trB.ùy²(|^Ý,�½...
Ý�,oI2017c4�1.Ý,�5e¡Ñ,�{ü5"1.1�A,B∈Cn×n,λ,µ∈C§Ktr(λA+µB)=λtrA+µtrB.1.2�A∈Cn×n,KtrA=trA>.1.3�A∼B,KtrA=trB.ùy²(|^Ý,�½Â=¤é{ü§�Ñ�"2.ݦÈ�,�5½n2.1�A∈Cn×n,K��ê§KtrAK=∑ni=1λKi,Ù¥λi´A�A�.(i=1,2,···,n).y²µ�X∈Cn,X6=0,ü>Ó¦±Ak−1,E¦^AX=λX,kAkX=A(AAk−1X)=λkX,�λk´Ak�A�§�trAK=∑ni=1λKi.½n2.2A∈Cm×m,A∈Cn×n,KtrAB=trBA.y²µ�AB��ÜA�λ1,λ2,···,λm,BA��ÜA�µ1,µ2,···,µn,Ktr(AB)=λ1+λ2+···+λm,(1)tr(BA)=µ1+µ2+···+µn.(2)kSylvesterúª,ABÚBAkÓ�"A�§§=«O3u"A��êþ§u´trAB=trBA.5(Sylvesterúúúªªª)A,B©O´n×mÚm×nÝ"K|λEn−AB|=λn−m|λEm−BA|(3)d½n2.1Ú½n2.2ke¡�½n2.3"12½n2.3tr(AB)K=tr(BA)K,K��ê.½n2.4�A,B∈Cm×n,K|tr(BHA)|2≤tr(AHA)tr(BHB).�
=�A=αB�Ò¤á£α?~ê"AO/§�A,B¢é¡Ý9HeimiteÝk0≤|tr(AB)|2≤(trA2)12(trB2)12(4)y²µ½Â¼ê(A|B)=tr(BHA),K¼ê(A|B)´Cm×nþ�SÈ"�A=(a(ij),B=(b(ij),Ktr(BHA)=n∑i=1m∑i=1b¯ija(ij)(5)tr(BHB)=(B|B)=n∑i=1m∑i=1b¯ijb(ij)=n∑i=1m∑i=1b2(ij)(6)(AHA)=(A|A)=n∑i=1m∑i=1a¯ija(ij)=n∑i=1m∑i=1a2(ij)(7)dCauchy-schwarzØ�ª|(x|y)|≤‖x‖‖y‖tr(BHA)=n∑i=1m∑i=1b¯ija(ij)≤n∑i=1m∑i=1b2(ij)12n∑i=1m∑i=1a2(ij)12(8)ü>²�|tr(BHA)|2≤tr(AHA)tr(BHB).w,�
=�A=αB§�Ò¤á"�A!BþHermiteÝ9¢é¡Ý§AH=A,BH=B,Ktr(AB)22≤(trA2)2(trB2)2§ü>m=�(Ø"
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