11平方根提高知识讲解

平方根（提咼）【学习目标】1•了解平方根、算术平方根的概念，会用根号 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示数的平方根.2•了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根.【要点梳理】要点一、平方根和算术平方根的概念算术平方根的定义如果一个正数x的平方等于a，即X2a,那么这个正数x叫做a的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；a的算术平方根记作..a，读作“a的算术平方根”，a叫做被开方数•要点诠释：当式子.a有意义时，a一定表示一个非负数，即為>0,a>0.平方根的定义如果X2a，那么X叫做a的平方根•求一个数a的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算•a（a>0）的平方根的符号表达为.a（a0），其中._a是a的算术平方根•要点二、平方根和算术平方根的区别与联系1•区别：（1）定义不同；（2）结果不同：a和a2•联系：（1）平方根包含算术平方根；（2）被开方数都是非负数；（3）0的平方根和算术平方根均为0.要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根.（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根•因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根•要点三、平方根的性质a(a0)\a2|a|0(a0)a(a0)要点四、平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：62500250,、62525,6~252.5，'一0.06250.25.【典型例题】类型一、平方根和算术平方根的概念C1、（2015秋？张家港市校级期中）已知2a-1的平方根是土3,3a+b-9的立方根是2,c是：-：的整数部分，求a+b+c的平方根.【思路点拨】首先根据平方根与立方根的概念可得2a-1与3a+b-9的值，进而可得a、b的值；接着估计.一:的大小，可得c的值；进而可得a+b+c，根据平方根的求法可得答案.【答案与解析】解：根据题意，可得2a-仁9,3a+b-9=8;故a=5,b=2;又•••2v%迪v3,c=2,a+b+c=5+2+2=9•••9的平方根为土3.【总结升华】此题主要考查了平方根、立方根、算术平方根的定义及无理数的估算能力，还要掌握实数的基本运算技能，灵活应用.举一反三：【变式】已知2a—1与一a+2是m的两个不同的平方根，求m的值.【答案】2a—1与—a+2是m的平方根，所以2a—1与—a+2互为相反数.解：当2a—1+（—a+2）=0时，a=—1,2o2所以m=2a1[2（1）1]2392、x为何值时，下列各式有意义？(1)'•x2；(2)x4；(3)'X111x；(4)x3【答案与解析】解:(1)因为x20,所以当x取任何值时,■.x2都有意义.⑵由题意可知：x40，所以x4时，•x4有意义.x10⑶由题意可知：解得：1X1•所以1x1时'、x1、、1x有意1x0义.⑷由题意可知：x10，解得x1且x3.x30所以当x1且x【总结升华】（1）当被开方数不是数字，而是一个含字母的代数式时，一定要讨论，只有当被开方数是非负数时，式子才有意义.（2）当分母中含有字母时，只有当分母不为0时，式子才有意义.举一反三：TOC\o"1-5"\h\z.11【变式】已知b4,3a2223a2，求的算术平方根.ab【答案】3a20,21131解：根据题意，得则a所以b=2,•••113丄2,23a0.3ab2211「、.'11--的算术平方根为.：v2.ab、ab类型二、平方根的运算3、求下列各式的值.（1）252242g3242；（2）..20；〉036.900.【思路点拨】（1）首先要弄清楚每个符号表示的意义•（2）注意运算顺序.【答案与解析】解：⑴252242g.'324249g.257535；（2）.2011.0.361900.8110.613090.261.7.V435V4352【总结升华】（1）混合运算的运算顺序是先算平方开方，再乘除，后加减，同一级运算按先后顺序进行.（2）初学可以根据平方根、算术平方根的意义和表示方法来解，熟练后直接根据・.a2a（a0）来解.类型三、利用平方根解方程(1)X231610;(3)93x22640【答案与解析】解：（1）•2••X3610•2-X361■.X,36119(2)•X21289、求下列各式中的x.2(2)x1289；•••x1.289x+1=±17x=16或x=—18.(3)t93x22640•3x2•3x264683146、•x2或x9【总结升华】本题的实质是一元二次方程,(3)小题中运用了整体思想分散了难度开平方法是解元二次方程的最基本方法.(2)举一反三:【变式】求下列等式中的x:(1)若x21.21，贝Ux=(2)169(3)若x29,则x=4(4)若【答案】(1)±1.1;(2)±13;(3)32;(4)±2.类型四、平方根的综合应用、已知a、b是实数，且2a6|b■2|0,解关于x的方程(a2)xb2【答案与解析】解：•••a、b是实数，.2a6|b.,2a60,|b、、2|0,•2a、、2代入(a2)xb21，得一x+2=—4,•x=6.【总结升华】本题是非负数的性质与方程的知识相结合的一道题，应先求出a、b的值，再解方程•此类题主要是考查完全平方式、算术平方根、绝对值三者的非负性，只需令每项分别等于零即可.举一反三：【变式】若x21.y10,求x2011y2012的值.【答案】解：由x21y10，得x210,y10，即x1,y1.当x=1,y=-1时，x2011y201212011(1)20122.当x=-1,y=-1时，x2011y2012(1)2011(1)20120.^^6、小丽想用一块面积为400cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300cm2的长方形纸片，使它长宽之比为3:2，请你说明小丽能否用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片•【答案与解析】解：设长方形纸片的长为3x(x>0)cm，则宽为2xcm，依题意得3x2x300.6x2300.x250.•/x>0,•••x,50.•••长方形纸片的长为3.50cm.•/50>49,•、507.•35021,即长方形纸片的长大于20cm.2由正方形纸片的面积为400cm,可知其边长为20cm,•长方形的纸片长大于正方形纸片的边长.答：小丽不能用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片【总结升华】本题需根据平方根的定义计算出长方形的长和宽，再判断能否用边长为20cm的正方形纸片裁出长方形纸片举一反三：【变式】(2015春？台安县月考)某小区为了促进全民健身活动的开展，决定在一块面积约为1000m2的正方形空地上建一个篮球场，已知篮球场的面积为420吊，其中长是宽的彳|倍,篮球场的四周必须留出1m宽的空地，请你通过计算说明能否按规定在这块空地上建一个篮球场？【答案】28解：设篮球场的宽为xm,那么长为xm,15由题意知,2所以x=225,因为x为正数，所以x=.=15,又因为停|i+2）J（挣15+2）'=900V1000,所以按规定在这块空地上建一个篮球场.