【鼎尖教案】人教版高中数学选修系列：4.2复数的运算(第三课时)

本资料为共享资料来自网络如有相似概不负责PAGE§4.2.3　复数的乘法教学目标一、教学知识点1.理解并掌握复数乘法的运算法则.2.理解并掌握虚数单位i的运算律，in是周期出现的.3.掌握1的立方虚根ω的运算性质：ω2=,ω3=1,ω2+ω+1=0.4.理解并掌握复数的模与共轭的关系：｜z｜2=z·=｜｜2.二、能力训练要求1.能运用乘法运算法则计算有关复数乘法运算的题目.2.会运用in和1的立方虚根ω的运算性质解题.3.灵活运用复数的模与共轭的关系式｜z｜2=｜｜2=z·解题，并深化它的应用.三、德育渗透目标1.培养学生分析问题与解决问题的能力，提高学生的运算能力，培养学生实际动手操作（运算、画图）能力.2.培养学生的数形结合、分类讨论、方程、等价转化（实与虚）等数学思想，训练他们的优良的解题方法，培养他们的辩证唯物主义观点，提高学生的科学文化素质（包括数学素质）.3.培养学生的数学新理念、数学与文化的观念，让学生对数学充满兴趣和欢愉.教学重点复数的代数形式、乘法运算法则、in的周期性变化、1的立方虚根ω的性质是本节课教学的重点内容,乘法运算是四则运算的核心部分，是知识之间衔接的桥梁.教学难点复数的代数形式的乘法运算法则的规定、in的周期性规律、ω的性质是教学的难点.教学方法建构主义观点在高中数学课堂教学中的实践的教学方法.在学生掌握两个多项式的乘法运算法则，“a+b”问题的乘法法则的基础上进行大胆的类比和猜想，让学生主动建构复数的代数形式的乘法运算法则.继续让学生建构z=｜｜2=｜｜2和复数乘法运算所满足的交换律、结合律和分配律.教具准备实物投影仪（或幻灯机、幻灯片）.教学过程Ⅰ.课题导入我们已经学习了复数的代数形式的加法（板书）的运算法则和有关的运算律.当时，同学们都说可以把加法运算看作是关于i的多项式的加法合并同类项.这节课我们将学习复数的代数形式的乘法(课题,只要在已板书的基础上进行修改即可,将“加”修改为“乘”，这样既使学生积极回顾了以前所学的内容，同时又使学生对改换后而提出的新问题积极思考，产生强烈的求知欲望，调动学生的积极性，为积极主动建构新知识而作好准备).Ⅱ.讲授新课(一)知识建构［师］初中学习了多项式乘以多项式，你们能把(a+b)(c+d)化简吗（a、b、c、d是有理数）？积还是无理数吗？［生］按多项式乘法运算法则展开即可.(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd··=(ac+2bd)+(ad+bc).∵a、b、c、d∈Q,∴ac,2bd,ad,bc都是有理数.∴ac+2bd∈Q,ad+bc∈Q.而是无理数，∴（a+b）(c+d)是无理数.［师］若将“”换为“i”，其中i是虚数单位，能化简吗?（a、b、c、d都是实数）［生］可以.∵(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi2=(ac-bd)+(ad+bc)i.(∵i2=-1,∴才能合并)∵a、b、c、d∈R，∴ac-bd∈R,ad+bc∈R.∴(ac-bd)+(ad+bc)i是复数.［师］这就是两个复数的代数形式的乘法运算法则，于是有：规定复数的乘法按照以下的法则进行：设z1=a+bi,z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i.其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i2换成-1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.［师］实数的乘法满足哪些运算律？复数中能类比吗？［生］实数中的乘法运算满足交换律、结合律以及分配律.这些在复数集中的乘法运算也是成立的,即z1、z2、z3∈C,有(1)z1·z2=z2·z1,(2)(z1·z2)·z3=z1·（z2·z3）,(3)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.［师］完全正确，你们能 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 吗？请三位同学到黑板上写，其余同学在下面写.设z1=a1+b1i,z2=a2+b2i,z3=a3+b3i(a1、a2、a3、b1、b2、b3∈R).［生甲］∵z1z2=(a1+b1i)(a2+b2i)=(a1a2-b1b2)+(b1a2+a1b2)i,z2z1=(a2+b2i)(a1+b1i)=(a2a1-b2b1)+(b2a1+a2b1)i,又a1a2-b1b2=a2a1-b2b1,b1a2+a1b2=b2a1+a2b1,∴z1z2=z2z1.［生乙］∵(z1z2)z3=［(a1+b1i)(a2+b2i)］(a3+b3i)=［(a1a2-b1b2)+(b1b2+a1b2)i］(a3+b3i)=［(a1a2-b1b2)a3-(b1a2+a1b2)b3］+［(b1a2+a1b2)a3+(a1a2-b1b2)b3］i=(a1a2a3-b1b2a3-b1a2b3-a1b2b3)+(b1a2a3+a1b2b3+a1a2b3-b1b2b3)i,同理可证z1(z2z3)=(a1a2a3-b1b2a3-b1a2b3-a1b2b3)+(b1a2a3+a1b2a3+a1a2b3-b1b2b3)i,∴(z1z2)z3=z1(z2z3).［生丙］∵z1(z2+z3)=(a1+b1i)［(a2+b2i)+(a3+b3i)］=(a1+b1i)［(a2+a3)+(b2+b3)i］=［a1(a2+a3)-b1(b2+b3)］+［b1(a2+a3)+a1(b2+b3)］i=(a1a2+a1a3-b1b2-b1b3)+(b1a2+b1a3+a1b2+a1b3)i,z1z2+z1z3=(a1+b1i)(a2+b2i)+(a1+b1i)(a3+b3i)=(a1a2-b1b2)+(b1a2+a1b2)i+(a1a3-b1b3)+(b1a3+a1b3)i=(a1a2-b1b2+a1a3-b1b3)+(b1a2+a1b2+b1a3+a1b3)i=(a1a2+a1a3-b1b2-b1b3)+(b1a2+b1a3+a1b2+a1b3)i,∴z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.(学生板演时，教师在教室内巡回指导，与学生共同研究)［师］同学们，这三位同学证明的是否正确？［生］（众生齐声回答）正确！［师］若复数z=a+bi(a、b∈R),求z.［生］=a-bi,∴z=(a+bi)(a-bi)=a2-b·(-b)+［a(-b)+b·a］i=a2+b2+0·i=a2+b2.∴z=a2+b2.［师］由z·=a2+b2,你们能想到什么？［生a］a2+b2是z的模的平方，可以得到·z=｜z｜2.［生b］｜z｜2=z2.［生c］不对.z2=(a+bi)2=a2-b2+2abi,而｜z｜2=a2+b2,∴｜z｜2≠z2.［生d］的模是,∴z=a2+b2,也是的模的平方，即z·=｜z｜2=｜z｜2.［生e］对于实数a、b,a2+b2在实数范围内不能因式分解，但在复数范围内可以有a2+b2=(a+bi)(a-bi)，其中i是虚数单位.［生f］两个互为共轭的复数之积是一个非负实数.……［师］同学们联想的这些内容都是对的.一般地，两个互为共轭复数z、的积是一个实数，这个实数等于每一个复数的模的平方，即z·=｜z｜2=｜｜2.通常也可以写成｜z｜=｜｜=.这个公式很重要，在复数的计算、证明时经常用到，所以我们要熟练地掌握.对于上述命题的逆命题是否成立呢？［生g］成立.因为a2+b2=(a+bi)(a-bi)=z·.［生h］不成立.也就是两个复数的积是一个非负数，则它们是共轭复数.这是个错误命题.例如，z1=i,z2=-2i,z1z2=i·(-2i)=-2i2=-2×(-1)=2＞0.但z1和z2不是共轭复数.［师］由于复数乘法运算满足交换律与结合律，那么，实数集中正整数指数幂的运算律是否可以推广到复数集中去呢？［生i］实数集中，有am·an=am+n;(am)n=amn;(a·b)m=am·bm.在复数集C中，对任何z、z1、z2∈C,都有zm·zn=zm+n,(zm)n=zmn,(z1·z2)m=z1m·z2m.［生j］上述推广中幂指数m、n必须满足m、n∈N*.［师］这三条的证明思想是什么？［生k］根据复数乘法运算法则及交换律和结合律可以求证.［生i］也可以使用数学归纳法进行证明.［师］这些思路都是有用的，请同学们课后研究其具体策略.我们知道i1=i,i2=-1,请问i3,i4,i5,i6,i7,i8,i9,i10,i11,i12分别为什么？［生m］分别是-i,1,i,-1,-i,1,i,-1,-i,1.［师］从这些数中你能总结出什么规律？［生n］数列｛in｝是周期数列，最小周期是4,即如果n∈N*,我们有i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i.［师］如果n是整数0时，是否成立？（片刻，学生开始讨论）［生o］成立.因为i4n=i0=1,i4n+1=i1=i,i4n+2=i2=-1,i4n+3=i3=-i,［师］如果n是负整数时，上述结论还成立吗？［生P］不成立.因为i-1没有定义,所以无法推广.［生Q］成立.取n=-m(m∈N),则i4n=i-4m===1,i4n+1=i-4m+1===i,i4n+2=i-4m+2===-1,i4n+3=i-4m+3===-i.所以n是负整数时，关于in的结论也成立.［师］由上面讨论,知对一切n∈Z,i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i都成立.［师］前面我们证明过：=+,由这个等式你能类比到乘法上去吗？为什么？［生r］可以类比，对于乘法有=·.事实上，设z1=a1+b1i,z2=a2+b2i(a1、a2、b1、b2∈R)，z1z2=(a1+b1i)(a2+b2i)=(a1a2-b1b2)+(a1b2+b1a2)i.∴==(a1a2-b1b2)-(a1b2+b1a2)i.又∵=(a1-b1i)(a2-b2i)=［a1a2-(-b1)·(-b2)］+［a1·(-b2)+(-b1)a2］i=(a1a2-b1b2)+(-a1b2-b1a2)i=(a1a2-b1b2)-(a1b2+b1a2)i,∴=·.［师］这个公式能否推广呢？［生s］可以.z1,z2,…,zn∈C,则=··…·zn.［师］z1、z2∈R,｜z1z2｜与｜z1｜·｜z2｜有何关系？为什么？（讨论一会儿，开始写写画画）［生t］｜z1z2｜=｜z1｜·｜z2｜.设z1=a1+b1i,z2=a2+b2i(a1、a2、b1、b2∈R),∴z1z2=(a1a2-b1b2)+(a1b2+b1a2)i.∴｜z1z2｜==.又｜z1｜·｜z2｜===,∴｜z1z2｜=｜z1｜·｜z2｜.本结论也可以推广到一般形式：z1,z2,z3,…,zn∈C,则｜z1·z2·…·zn｜=｜z1｜·｜z2｜·…·｜zn｜.特殊情况：z1=z2=…=zn=z时，｜zn｜=｜z｜n,即z的乘方的模等于模的乘方.(二)课本例题［例2］（课本P206）计算(1-2i)(3+4i)(-2+i).［生］解：原式=［(3+8)+(4-6)i］(-2+i)=(11-2i)(-2+i)=(-22+2)+(11+4)i=-20+15i.［例3］设ω=-+i,求证：（1）1+ω+ω2=0；(2)ω3=1.(这题的教法是找两位同学到黑板上板演)［生u］(1)证明：1+ω+ω2=1+(-+i)+(-+i)2=+i+(-)-2××i+(i)2=+i+-i-=0.［生v］(2)证明：ω3=(-+i)3=(-)3+3·(-)2·i+3·(-)·(i)2+(i)3==.［生x］对于第（2）小题，也可以这样做，要证ω3=1,只要证ω3-1=0即可.由ω3-1=(ω-1)(ω2+ω+1)=(ω-1)·0=0,利用第（1）题的结论.［师］(1)实数集中的乘法公式在复数集中仍然成立.（2）复数的混合运算顺序也是先乘方、再乘除、最后加减，有括号要先算括号里面的.(三)精选例题［例1］计算：(1)i+2i2+3i3+…+1997i1997;(2).(1)解法一：原式=(i-2-3i+4)+(5i-6-7i+8)+(9i-10-11i+12)+…+(1993i-1994-1995i+1996)+1997i=499·(2-2i)+1997i=998+999i.解法二：设S=i+2i2+3i3+…+1997i1997,则iS=i2+2i3+3i4+…+1996i1997+1997i1998.两式相减，得(1-i)S=i+i2+…+i1997-1997i1998=i1998--1997i1998=-1997·i2=1997+i.∴S==998+999i.(2)解：原式==-i+(-i)1997=-2i.解题回顾：要注意复数a+bi(a、b∈R)与b-ai之间的联系：b-ai=-i(a+bi),题（2）中的第一个公式就利用了这种关系，简化了运算.［例2］已知f(z)=z4+4z3+8z2+8z+5,求f(-1+2i)的值.分析：当z=-1+2i时，(z+1)2=(2i)2=-4,即z2+2z+5=0,因而可考虑充分利用此式将f(z)的次数降低，使计算简便.解：∵z=-1+2i,∴(z+1)2=-4.∴z2+2z+5=0.又f(z)=(z2+2z-1)(z2+2z+5)+10,(*)∴f(-1+2i)=10.解题回顾：本例充分利用了z2+2z+5=0的条件，(*)式的得来是f(z)除以z2+2z+5的结果，此题若将z=-1+2i直接代入计算，将会十分繁杂.Ⅲ.课堂练习补充练习1.(2020年上海高考题)已知复数z1=cosθ-i,z2=sinθ+i,求|z1·z2|的最大值和最小值.解:|z1·z2|=|1+sinθcosθ+(cosθ-sinθ)i|===.故|z1·z2|的最大值为,最小值为.2.若x+=-1,求1+x+x2+…+x2020的值.解法一:由x+=-1可知x2+x+1=0.①∴x=ω或x=ω2.∴x3=1.由①知,连续x的三个方幂之和为0,而原式共2020项,能被3整除,∴原式=0.解法二:可认为是2020项等比数列的和,1+x+x2+…+x2020=,而x2020=1,∴原式=0.Ⅳ.课时小结1.在进行复数的运算时，掌握in和1的立方虚根ω的运算性质，有助于简化运算程序，提高运算速度.当n∈Z时，i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i.设复数,则ω2=ω,ω3=1,1+ω+ω2=0.2.复数的乘法法则是(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i.复数的代数式相乘，可按多项式类似的办法进行，不必去记公式.3.共轭复数的运算性质：=±;()=·;=(z2≠0).4.复数模的性质｜z1·z2｜=｜z1｜·｜z2｜;｜zn｜=｜z｜n;｜｜=.5.学习复数以后，a2+b2(a、b∈R)可在复数范围内因式分解，具体地a2+b2=(a+bi)(a-bi).其实这是共轭复数相乘的性质，z·=｜z｜2的逆变形.Ⅴ.课后作业课本Ｐ154习题4.2　2、3板书设计§4.2.3复数的乘法一、法则的规定1.(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i.2.乘法所满足的交换律、结合律、分配律,z1z2=z2z1,(z1z2)z3=z1(z2z3).3.复数的乘方规定zm·zn=zm+n,(zm)n=zmn,(z1z2)m=z1mz2m.4.｜z1z2｜=｜z1｜｜z2｜,=.交换律、结合律、分配律的证明z1z2=z2z1,(z1z2)z3=z1(z2z3).二、例题例1例2例3