数学第13讲 二次函数的图象和性质第三章 函数及其图象y＝ax2＋bx＋c(其中a，b，c是常数，且a≠0)3．图象与性质4.图象的平移5．抛物线y＝ax2＋bx＋c与系数a、b、c的关系2．抛物线的顶点常见的三种变动方式(1)两抛物线关于x轴对称，此时顶点关于x轴对称，a的符号相反；(2)两抛物线关于y轴对称，此时顶点关于y轴对称，a的符号不变；(3)开口反向(或旋转180°)，此时顶点坐标不变，只是a的符号相反．3．二次函数与二次方程间的关系已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值为k，求自变量x的值，就是解一元二次方程ax2＋bx＋c＝k；反过来，解一元二次方程ax2＋bx＋c＝k，就是把二次函数y＝ax2＋bx＋c－k的函数值看作0，求自变量x的值．4．二次函数与二次不等式间的关系“一元二次不等式”实际上是指二次函数的函数值“y＞0，y＜0或y≥0，y≤0”，从图象上看是指抛物线在x轴上方或x轴下方的情况．1．(2016·怀化)二次函数y＝x2＋2x－3的开口方向、顶点坐标分别是()A．开口向上，顶点坐标为(－1，－4)B．开口向下，顶点坐标为(1，4)C．开口向上，顶点坐标为(1，4)D．开口向下，顶点坐标为(－1，－4)2．(2016·山西)将抛物线y＝x2－4x－4向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的函数
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达式为()A．y＝(x＋1)2－13B．y＝(x－5)2－3C．y＝(x－5)2－13D．y＝(x＋1)2－3ADDD3．(2016·益阳)关于抛物线y＝x2－2x＋1，下列说法错误的是()A．开口向上B．与x轴有两个重合的交点C．对称轴是直线x＝1D．当x＞1时，y随x的增大而减小4．(2016·荆门)若二次函数y＝x2＋mx的对称轴是x＝3，则关于x的方程x2＋mx＝7的解为()A．x1＝0，x2＝6B．x1＝1，x2＝7C．x1＝1，x2＝－7D．x1＝－1，x2＝7D二次函数的图象及性质B【例1】 (2016·齐齐哈尔)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为(－1，0)，其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1＝－1，x2＝3；③3a＋c＞0；④当y＞0时，x的取值范围是－1≤x＜3；⑤当x＜0时，y随x增大而增大．其中结论正确的个数是()A．4个B．3个C．2个D．1个(2)(2016·宁波)如图，已知抛物线y＝－x2＋mx＋3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为(3，0)．①求m的值及抛物线的顶点坐标．②点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当PA＋PC的值最小时，求点P的坐标．解：①把点B的坐标为(3，0)代入抛物线y＝－x2＋mx＋3得：0＝－32＋3m＋3，解得：m＝2，∴y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，∴顶点坐标为：(1，4)．【点评】 (1)对于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线开口向上；当a＜0时，抛物线开口向下；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时(即ab＞0)，对称轴在y轴侧左；当a与b异号时(即ab＜0)，对称轴在y轴侧右．(简称：左同右异)；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于(0，c)；抛物线与x轴交点个数由Δ决定：Δ＝b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有两个交点；Δ＝b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有一个交点；Δ＝b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．(2)此题考查了二次函数的性质、待定系数法求解析式以及距离最短问题．注意找到点P的位置是解此题的关键．C[对应训练]1．(1)(2016·孝感)如图是抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分图象，其顶点坐标为(1，n)，且与x轴的一个交点在点(3，0)和(4，0)之间．则下列结论：①a－b＋c＞0；②3a＋b＝0；③b2＝4a(c－n)；④一元二次方程ax2＋bx＋c＝n－1有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是()A．1B．2C．3D．4待定系数法确定二次函数的解析式【例2】 (1)(2016·淄博)如图，抛物线y＝ax2＋2ax＋1与x轴仅有一个公共点A，经过点A的直线交该抛物线于点B，交y轴于点C，且点C是线段AB的中点．(1)求这条抛物线对应的函数解析式；(2)求直线AB对应的函数解析式．【点评】 根据不同条件，选择不同设法．(1)若已知图象上的三个点，则设所求的二次函数为一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，将已知条件代入，列方程组，求出a，b，c的值；(2)若已知图象的顶点坐标或对称轴，函数最值，则设所求二次函数为顶点式y＝a(x＋m)2＋k(a≠0)，将已知条件代入，求出待定系数；(3)若已知抛物线与x轴的交点，则设抛物线的解析式为交点式y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，再将另一条件代入，可求出a值．结合几何图形的函数综合题【例3】 (2016·贺州)如图，矩形的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为(10，8)，沿直线OD折叠矩形，使点A正好落在BC上的E处，E点坐标为(6，8)，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过O，A，E三点．(1)求此抛物线的解析式；(2)求AD的长；(3)点P是抛物线对称轴上的一动点，当△PAD的周长最小时，求点P的坐标．(2)由题意可知：AD＝DE，BE＝10－6＝4，AB＝8，设AD＝x，则ED＝x，BD＝AB－AD＝8－x，在Rt△BDE中，由勾股定理可知ED2＝EB2＋BD2，即x2＝42＋(8－x)2，解得x＝5，∴AD＝5；【点评】 本题主要考查二次函数的综合应用，涉及知识点有待定系数法、矩形的性质、勾股定理、轴对称的性质及方程思想．在(2)中注意方程思想的应用，在(3)中确定出满足条件的P点的位置是解题的关键．(3)平行四边形OEAF的面积为24时，平行四边形OEAF不能为菱形，理由如下：当平行四边形OEAF的面积为24时，即－4x2＋28x－24＝24，化简，得x2－7x＋12＝0，x1＝3，x2＝4，∵OA＝6，∴当x＝4时，E(4，4)，OE≠EA，∴平行四边形OEAF不能为菱形．当x＝3时，E(3，4)，此时平行四边形OEAF为菱形．13.二次函数错例分析)
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