中学代数研究__第3章__方程

方程的历史发展及其科学价值方程的定义同解方程几种常见方程的变形解方程的常用方法（第五组报告）一元三次、四次以及高次方程韦达公式、方程根的性质不定方程与中国剩余定理有关方程的问题求解（第六组报告）一方程的历史发展及其科学价值方程发展简史方程在中学 数学 数学高考答题卡模板高考数学答题卡模板三年级数学混合运算测试卷数学作业设计案例新人教版八年级上数学教学计划 中的地位和作用方程的科学价值1方程发展简史公元前1700年时期古埃及数学著作《兰德纸草书》记载：一个量，加上它的1/7，等于19，求这个量。另一部古埃及数学著作《柏林纸草书6619》上有一个题目是“将一个面积为100的大正方形分为两个小正方形，一个边长是另一个的3/4”。古巴比伦泥板书上也有类似的数学问题：“两数互为倒数，二者之差是7，求这两个数”。欧几里得《几何原本》中则有很多问题还要用到解二次方程。中国古代数学著作《九章算术》中有“方程”章，包含了很多关于方程的问题。“今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗。问上、中、下禾实一秉各几何？”《九章算术》没有 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示未知数的符号，而是用算筹将x、y、z的系数和常数项排列成一个（长）方阵，这就是“方程”这一名称的来源。解方程的关键算法叫“遍乘直除”，实质上是我们今天使用的解线性方程组的消元法。西方文献中称之为“高斯消去法”。方程术是世界数学史上的一颗明珠。“勾股”章第20题：“今有邑方不知大小，各中开门。出北门二十步有木。出南门十四步，折而西行一千七百七十五步见木。问邑方几何？”1775x2014利用三角形相似可得方程x2+34x=71000.希腊数学家丢番图《算术》中，讨论了一次方程、二次方程和个别三次方程，还讨论了大量的不定方程。但没给出一元二次方程的解法。印度数学家阿耶波多在《阿耶波多历数书》中给出了二次方程的求解方法。婆罗摩笈多在公元628年完成的《婆罗摩笈多修正体系》一书中，也给出了一般二次方程的求根公式。花拉子米的《代数学》一开头就指出：下列的问题，都是由根、平方与数这三样东西组成的。该书给出了六种类型一、二次方程，分六章来叙述。13世纪的中国，在求高次方程数值解，以及解高次联立方程上有重大贡献。1247年，秦九昭给出了一般高次方程的数值解法。李冶创立的“天元术”（1248年）和朱世杰使用的“四元术”（1303年）能够求解一大类的高次联立方程。16世纪最伟大的数学成就是发现了三次方程和四次方程的求根公式。1545年，卡尔达诺在《大衍术》中给出了三次方程和四次方程的解法。19世纪鲁菲尼和阿贝尔都证明了一般的五次或五次以上的方程的根不可能用方程系数的根式表出。1832年，伽罗瓦在临终前写下了方程的伽罗瓦理论的短文，其中提供了用欧几里得工具解几何作图题的可能性和用根式解代数方程的可能性的判别法则。奠定了群论的基础。进入20世纪：①一般的线性方程组求解和实际算法；②一般的多元高次方程求解；③任意多元高次方程的求解。秦九韶拉格朗日阿贝尔2方程在中学数学中的地位和作用高中阶段对方程学习有较高的要求，重点在于领会方程和函数之间的密切关系以及代数方程与几何图形之间的密切关系。具体包含以下几方面：函数与方程，直线与方程，圆与方程，圆锥曲线与方程，二阶矩阵与二元一次方程组、一阶线性差分方程、参数方程等等。3方程的科学价值自学二方程的定义1.“属+种差”的逻辑定义方式目前中学数学教科书中通用的方程定义是：含有未知数的等式。好处：比较直观、形象，便于初学者理解和掌握。缺点：无法从中获得方程思想的实质；可能使方程概念的外延模糊。在中学，方程等许多概念都不能严格定义，只能加以形象描述。2.一个可以取代的定义：方程是为了求未知数，在未知数和已知数之间建立的一种等式关系。好处在于：它揭示了方程这一数学思想方法的目标：为了求未知数；陈述了“已知数”的存在，解方程需要充分利用已知数和未知数之间的关系；方程的本质是“关系”，而且是一个等式关系。方程的逻辑定义不必深究，需特别关注求未知数的思想。3.用解析式对方程定义：形如的等式叫做方程，其中是在它们定义域的交集内研究的两个解析式，且至少有一个不是常函数。本质上没有给出更多有用信息，只是达到形式化的目的。好处是确定了未知数的取值范围。在实际教学中，不必采用“解析式”的方程定义，只需采取适合中学的通俗定义加以说明就够了。根据解析式的不同形式对方程分类：据方程的解集和定义域的关系对其分类：解集是定义域的真子集恒等方程矛盾方程方程解的情况与所在数域有关。三一元同解方程定义1如果方程⑴f1(x)=g1(x)的任何一个解都是方程⑵f2(x)=g2(x)的解，并且方程⑵的任何一个解也都是方程⑴的解，那么方程⑴和⑵称为同解方程。两个无解方程认为是同解方程。解集相同，且相同的根具有相同的次数，才是同解方程。还要看数域定理1如果函数A(x)对于方程f(x)=g(x)的定义域M中的数都有意义，那么方程⑴f(x)=g(x)与方程⑵f(x)+A(x)=g(x)+A(x)同解。证：设x0∈M，且有f(x0)=g(x0)，从而有f(x0)+A(x0)=g(x0)+A(x0)，即方程f(x)=g(x)的每一个解都是方程f(x)+A(x)=g(x)+A(x)的解。如果f(x0)+A(x0)=g(x0)+A(x0)，由f(x0)+A(x0)-A(x0)=g(x0)+A(x0)-A(x0)，可得f(x0)=g(x0)，即方程f(x)+A(x)=g(x)+A(x)的每一个解也都是方程f(x)=g(x)的解。这两个方程是同解方程。定理2如果函数A(x)对于方程f(x)=g(x)的定义域M中的数都有意义，并且不等于零，那么方程⑴f(x)=g(x)与方程⑵A(x)f(x)=A(x)g(x)同解。定理3如果，那么方程的解集等于下列各个方程：的解集的并集，其中每一个解都属于这k个方程的定义域的交集。定理4略解方程时，如果①按照上面定理将原方程变形，或者在②不改变定义域的前提下做恒等变形后所得到的方程与原方程是同解的，这样的变形称为解方程的同解变形。四几种常见方程的变形在方程变形过程中，会出现定义域变化的情况。若新定义域相对于原定义域有扩大部分，可能产生增根；若新定义域相对于原定义域有缩小部分，可能会失去根。1：2：3：4：5：6：7：五解方程的常用方法同学交流。六一元三次、四次以及高次方程一元三次方程的解法一元四次方程的解法五次及五次以上代数方程无求根公式代数基本定理1一元三次方程的解法将其二次项系数化为0：任何一元三次方程都可以通过<2>式转换成缺二次项的一元三次方程。对实系数一元三次方程根的讨论：一般一元三次方程的解法的思路是化为缺二次项的三次方程，再作变换转换为二次方程来求解。2一元四次方程的解法自学教材。一般四次方程的解法也是转换为缺项的四次方程，再将缺项的四次方程转换为三次方程，解出三次方程后，再求出四次方程的根。3五次及五次以上代数方程无求根公式一般五次及五次以上方程不能用根式求解。自学教材。4代数基本定理七韦达公式、方程根的性质韦达公式方程根的性质1韦达公式2方程根的性质倍根变换（例1：负根变换）差根变换（一元三次、四次方程消去n-1次项）倒根变换重根的含义正根个数的判定（例2）正根个数判定（笛卡尔）设f(x)=a0xn+a1xn-1+a2xn-2+…+an-1x+an的根全为实根，假定a0>0,并写出方程的系数序列a0、a1、a2、…、an，去掉其中等于零的那些项。如果余下的序列中相邻的两个符号相反就叫做一个变号。变号数的总和叫做一个多项式的系数序列的变号数。f(x)=0的正根个数就等于它的系数序列的变号数。八不定方程与中国剩余定理不定方程中国剩余定理1不定方程所谓不定方程，通常是指未知数的个数多于方程的个数的整系数代数方程。一般地，不定方程有无穷多组解，有许多问题可归纳为求不定方程的整数解。求不定方程的一切整数解的过程叫解不定方程。定理1设二元一次不定方程为，其中a，b，c都是整数且a，b都不是0，有一组整数解；又设则一切整数解可以表示成：其中定理2二元一次不定方程有整数解的充分与必要条件是例1求不定方程7x+4y=100的整数解例2求方程42x-29y=5的整数解(x0=74,y0=107)练习2中国剩余定理《孙子算经》的题目解决方法中国剩余定理①《孙子算经》中的题目我国古代数学名著《孙子算经》中有“物不知其数”的题目：今有物不知其数，三三数之剩2，五五数之剩3，七七数之剩2，问物几何？《孙子算经》②解决方法我们先对（*）式作两个方面的简化：一方面是每次只考虑“一个除式”有余数的情况（即另两个除式都是整除的情况）；另一方面是把余数都简化为最简单的1。这样得到三组方程。（1）式意味着，在5和7的公倍数中（35，70，105，…）寻找被3除余1的数；（2）式意味着，在3和7的公倍数中（21，42，63，…）寻找被5除余1的数；（3）式意味着，在3和5的公倍数中（15，30，45，…）寻找被7除余1的数。对（1）式而言，这个数可以取70，对（2）式而言，这个数可以取21，对（3）式而言，这个数可以取15。于是（1）式两边同减70变为这样：第二式右边仍是5的倍数，第三式右边仍是7的倍数，而第一式右边因为减的70是“用3除余1”的数，正好原来也多一个1，减没了。第一式右边也成为了倍数，是3的倍数。（2）式两边同减21变为（3）式两边同减15变为于是得到现在重复一下：所得的x是被3除余1，被5和7除余0的数；y是被5除余1，被3和7除余0的数；z是被7除余1，被3和5除余0的数。那么，凑出，s不就是我们需要求的数吗？因为，用3去除s时，除y及除z均余0除3y及除2z均余0，又除x余1除2x余2，∴用3除s时余2。用5去除s时，除x及除z均余0除2x及除2z均余0，又除y余1除3y余3，∴用5除s时余3。用7去除s时，除x及除y均余0除2x及除3y均余0，又除z余1除2z余2，∴用7除s时余2。于是我们要求的数是这就是《孙子算经》中“物不知其数”一题的解，有无穷多解，最小的正整数解是23（时）。这里，（1），（2），（3）三式分别叫三个“单因子构件”，分别解得每个单因子构件，都是用某一个数去除余1，用另两个数去除均余0的情况。再据题目要求余数分别是2，3，2的情况，凑成所以，上述方法叫“单因子构件凑成法”——解决“由几个平行条件表述的问题”的方法（也称“孙子—华方法”）题：有物不知其数，三三数之剩a，五五数之剩b，七七数之剩c，问物几何？答：解为（的选取应使）.③中国剩余定理1247年南宋的数学家秦九韶把《孙子算经》中“物不知其数”一题的方法推广到一般的情况，得到称之为“大衍求一术”的方法，在《数书九章》中发表。这个结论在欧洲要到十八世纪才由数学家高斯和欧拉发现。所以世界公认这个定理是中国人最早发现的，特别称之为“中国剩余定理”（Chineseremaindertheorem）。该定理用现在的语言表达如下：设两两互素，设分别被除所得的余数为，则可表示为下式其中是的最小公倍数；是的公倍数，而且被除所得余数为1；是任意整数。要注意的是，用上述定理时，必须两两互素。前面的问题中，3，5，7是两两互素的，所以“三三数，五五数，七七数”得余数后可用此公式。但“四四数，六六数，九九数”得余数后就不能用此公式，因为4、6、9并不是两两互素的。“中国剩余定理”不仅有光辉的历史意义，直到现在还是一个非常重要的定理。1970年，年轻的苏联数学家尤里.马季亚谢维奇（Матиясевич）（28岁）解决了希尔伯特提出的23个问题中的第10个问题，轰动了世界数学界。他在解决这个问题时，用到的知识十分广泛，而在一个关键的地方，就用到了我们的祖先一千多年前发现的这个“中国剩余定理”。希尔伯特的第10个问题：丢番图方程的可解性能求出一个整系数方程的整数根，称为丢番图方程可解。希尔伯特问，能否用一种由有限步构成的一般算法判断一个丢番图方程的可解性？1970年，苏联的IO.B.马季亚谢维奇证明了希尔伯特所期望的算法不存在。希尔伯特“韩信点兵”的故事：有兵一队，若列成五行纵队，则末行一人；成六行纵队，则末行五人；成七行纵队，则末行四人；成十一行纵队，则末行十人，求兵数。作业：P92:1、3